高中数学选修2-1主要内容

第一章常用逻辑用语
1.1命题及其关系

定义：一般地，我们把 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中
判断为真的语句叫做真命题，判断为 假的语句叫做假命题。

命题的构成――条件和结论
定义：从构成来看，所有的命 题都具由条件和结论两部分构成．在数学中，命题常写成“若
p，则q”或者 “如果p，那么q”这种形式，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命
题的条件,q叫做命题结论．

真命题：如果由命题的条件P通过推理一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题叫
做真命题．
假命题：如果由命题的条件P通过推理不一定可以得出命题的结论q，那么这样的命题< br>叫做假命题．

四种命题：定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结 论分别是另一个
命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题 ，
另一个命题叫做原命题的逆命题．
定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和 结论恰好是另一个命题的条件
的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个 命题叫做原命题，
另一个命题叫做原命题的否命题．
定义３：一般地，对于两个命题，如果一 个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论
的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为 逆否命题．其中一个命题叫做原
命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．

形式：
原命题：若P，则q．则：
逆命题：若q，则P．
否命题：若￢P，则￢q．（说 明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示
p的否定；即不是p；非p）
逆否命题：若￢q，则￢P．

四种命题间的相互关系：

由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

1.2 充分条件与必要条件

定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p ? q,那么我们就说p是q的充分条件；q
是p必要条件．

一般地,如果既有p?q ，又有q?p 就记作 p ? q.
此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要 条件.显然,如果p是q的充要条件,那么
q也是p的充要条件.概括地说,如果p ? q,那么p 与 q互为充要条件.

一般地，
若p?q ,但q ?? p，则称p是q的充分但不必要条件；
若p??q，但q ? p，则称p是q的必要但不充分条件；
若p??q，且q ?? p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

1.3 简单的逻辑连接词

一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q
读作“p且q”。
一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题， 记作p∨q,
读作“p或q”。
一般地，我们规定：
当p，q都是真命题时，p ∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p
∧q是假命题；当p，q两个命题中有一 个是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题
都是假命题时，p∨q是假命题。
一般地 ，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p，读作“非p”或“p
的否定”。
若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题；
命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否
定。

1．4全称量词与存在量词
所有的”“任意一个” 这样的词语，这些词语一般在 指定的范围内都表示整体或全部，
这样的词叫做全称量词，用符号“
?
”表示，含有全 称量词的命题，叫做全称命题。
“存在一个”“至少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体的一 部分的词叫做存
在量词。并用符号“
?
”表示。含有存在量词的命题叫做特称命题（或 存在命题）。
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题P：
?x?M,p(x)

它的否定￢P
￢P(x)

特称命题P：
?x?M,p(x)

它的否定￢P：
?x∈M，￢P(x)
全称命题和否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。


第二章 圆锥曲线与方程
2.1曲线与方程

(二)几种常见求轨迹方程的方法
1．直接法
由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等 式，再用坐
标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．
例1(1)求和定圆x< br>2
+y
2
=k
2
的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；
(2)过点A(a，o)作圆O∶x
2
+y
2
=R
2
(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．
对(1)分析：
动点P的轨 迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R
或|OP|=0．
解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．
即x
2
+ y
2
=4R
2
或x
2
+y
2
=0． 故所求动点P的轨迹方程为x
2
+y
2
=4R
2
或x< br>2
+y
2
=0．
对(2)分析：
题设中没有具体给出动点 所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆
心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜 率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：
设弦的中点为M(x，y)，连结OM，
则OM⊥AM．
∵k
OM
·k
AM
=-1，

其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．
2．定义法
利用所学 过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的
轨迹方程，这种方法叫 做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或

差为定值的条件，或 利用平面几何知识分析得出这些条件．

直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．

分析：
∵点P在AQ的垂直平分线上，
∴|PQ|=|PA|．
又P在半径OQ上．
∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．
故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义
写出P点的轨迹方程．
解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．
又P在半径OQ上．
∴|PO|+|PQ|=2．

由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．

3．相关点法
若 动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x
0
，y
0
)的变动而变动，且x< br>0
、y
0
可用x、y表示，则将
Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即 得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换
法)．
例3 已知抛物线y
2
=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，
且有BP∶PA= 1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．
分析：
P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联
系．
解：设点P(x，y)，且设点B(x
0
，y
0
)

∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．



4．待定系数法
求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．
例4 已知抛物线y
2
=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲

曲线方程．
分析：
因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方


ax
2
-4b
2
x+a
2
b
2
=0
∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方
程ax
2
-4b
2
x+a
2
b
2
=0应有等根． ∴△=166
4
-4Q
4
b
2
=0，即a
2< br>=2b．
(以下由学生完成)

由弦长公式得：

即a
2
b
2
=4b
2
-a
2
．


2.2 椭圆

把平面内与两个定点
F
1< br>，
F
2
的距离之和等于常数（大于
F
1
F
2
）的点的轨迹叫做椭圆
（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离 叫做椭圆的焦距．即当动点
设为
M
时，椭圆即为点集
P?
M|MF< br>1
?MF
2
?2a
．
??
x
2
y
2
焦点在
x
轴上，中心在原点的椭圆的标准方程
2
?
2
?1(a?b?0)
．
ab
y
2
x
2
焦点在
y
轴上，中心在原点的椭圆的标准方程
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
．
ab

椭圆的简单几何性质
y
2
x
2
①范围：由椭圆的标准方程可得，
2
?1 ?
2
?0
，进一步得：
?a?x?a
，同理
ba
可 得：
?b?y?b
，即椭圆位于直线
x??a
和
y??b
所 围成的矩形框图里；
②对称性：由以
?x
代
x
，以
?y< br>代
y
和
?x
代
x
，且以
?y
代y
这三个方面来研究椭
圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以
x
轴和
y
轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义， 即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点
叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有 长短之分，较长的对称轴
叫做长轴，较短的叫做短轴；

④离心率： 椭圆的焦距与长 轴长的比
e?
c
叫做椭圆的离心率（
0?e?1
），
a?
当e?1时
，c
?a
，，b
?0
?
当e?0 时
，c
?0
，b
?a
；
?
．
?
?
椭圆图形越扁
?
椭圆越接近于圆

椭圆的第二定义
c
这
(0?e?1)
时，
a
个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数
e
是椭圆的离 心率．
当点
M
与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数
e?< br>x
2
y
2
a
2
对于椭圆
2
?
2
?1
，相应于焦点
F(c,0)
的准线方程是
x?
．根 据对称性，相应于焦
c
ab
y
2
x
2
a
2
a
2
点
F
?
(?c,0)
的准线方程是
x ??
．对于椭圆
2
?
2
?1
的准线方程是
y??< br>．
cc
ab
可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离 的比，这就是离心率的几
何意义．
由椭圆的第二定义
?
|MF|
? e
可得：右焦半径公式为
d
a
2
a
2
|MF
右
|?ed?e|x?|?a?ex
；左焦半径公式为
|MF
左
| ?ed?e|x?(?)|?a?ex

cc
定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
x
2
y
2
性质一：已知椭圆方程为
2
?
2
?1(a?b ?0),
两焦点分别为
F
1
,F
2
,
设焦点三角形
ab
PF
1
F
2
中
?F
1
PF< br>2
?
?
,
则
S
?F
1
PF
2
?b
2
tan
?
2
。
?(2c)
2< br>?F
1
F
2
2
?PF
1
?PF
2< br>?2PF
1
PF
2
cos
?
22
?(PF< br>1
?PF
2
)
2
?2PF
1
PF
2
(1?cos
?
)

?PF
1
PF
2?
(PF
1
?PF
2
)
2
?4c
2< br>2(1?cos
?
)
4a
2
?4c
2
2b< br>2

??
2(1?cos
?
)1?cos
?
?S
?F
1
PF
2
1b
2
?
?PF
1
PF
2
sin
?
?sin
?
?b
2< br>tan

21?cos
?
2
x
2
y
2
性质二：已知椭圆方程为
2
?
2
?1(a?b?0),
左 右两焦点分别为
F
1
,F
2
,
设焦点三角形
ab< br>PF
1
F
2
，若
?F
1
PF
2最大，则点P为椭圆短轴的端点。
证明：设
P(x
o
,y
o< br>)
,由焦半径公式可知：
PF
1
?a?ex
o
，PF
1
?a?ex
o

在
?F
1
PF
2
中，
cos
?
?
PF
1
?PF
1
?F
1
F
2
2PF
1
PF
2
2 22
?
(PF
1
?PF
2
)
2
?2PF< br>1
PF
2
?4c
2
2PF
1
PF
2

4a
2
?4c
2
4b
2
2b
2

??1??1
=
2
?1

22
2PF
1< br>PF
2
2(a?ex
o
)(a?ex
o
)
a ?ex
o
2
?a
2

??a?x
0
?a

?x
o

x
2
y
2
性质三：已知椭圆方程为
2
?
2
?1(a?b?0),
两焦点分别为
F
1
,
F
2< br>,
设焦点三角形
ab
PF
1
F
2
中
?F
1
PF
2
?
?
,
则
cos
?
?1?2e
2
.

证明：设
PF
1
?r< br>1
,PF
2
?r
2
,
则在
?F
1< br>PF
2
中，由余弦定理得：
r
1
2
?r
2
2
?F
1
F
2
(r
1
?r
2)
2
?2r
1
r
2
?4c
2
2a2
?2c
2

cos
?
????
1

2r
1
r
2
2r
1
r
2
2r
1
r
2
2a< br>2
?2c
2
2a
2
?2c
2
2
?1 ??
1
?
1
?
2
e
.
命题得证。

?
2
r
1
?r
22
2a
2()
2
x
2
y
2
（2000 年高考题）已知椭圆
2
?
2
?
1(
a?b?
0)< br>的两焦点分别为
F
1
,
F
2
,
若椭圆上存在
ab
一点
P,
使得
?F
1
PF
2
?
120,
求椭圆的离心率
e
的取值范围。
简解：由椭圆焦点三角 形性质可知
cos120?1?2e.
即
?
于是得到
e
的取 值范围是
?
02
0
2
1
?1?2e
2
,
2
?
3
?
,1
?
.

??
2
?
x
2
y
2
性质四：已知椭圆方程为2
?
2
?1(a?b?0),
两焦点分别为
F
1
,F
2
,
设焦点三角形
ab
PF
1
F
2
，
?PF
1
F
2
?
?
,?PF
2
F
1
?
?
,
则椭圆的离心率
e?
?PF< br>1
F
2
?
?
,?PF
2
F
1
?
?
,

由正弦定理得：
sin(
?
?
?
)
。
s in
?
?sin
?
F
1
F
2
sin(18 0?
?
?
?
)
o
?
PF
2
sin
?

?
PF
1
sin
?

由等比 定理得：
F
1
F
2
sin(
?
?
?
)
?
PF
1
?PF
2
sin
?
?sin
?

PF
1
?PF
2
2c2a
而，< br>??
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)sin
?
?sin
?
sin
?
?sin?
e?
csin(
?
?
?
)
?
。
asin
?
?sin
?
F
1
F
2
∴
已知椭圆的焦点是F
1
(－1，0)、F
2
(1，0)，P为椭圆 上一点，且｜F
1
F
2
｜是｜PF
1
｜和｜
PF< br>2
｜的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点P在第三象限，且∠P F
1
F
2
＝120°，求tanF
1
PF
2
．

解：(1)由题设2｜F
1
F
2
｜＝｜PF
1
｜＋｜PF
2
｜
x
2
y
2
?
∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝
3
∴椭圆的方程为＝1．
43
(2)设∠F
1
PF
2
＝
θ
，则∠PF
2
F
1
＝60°－
θ

1
1sin(180
o
?
?
)
?
椭圆的离心率
e?
则
??oo
2
2
sin120?sin(60?
?
)
sin< br>?
3
?sin(60
o
?
?
)
2
，
整理得：5sin
θ
＝
3
(1＋cos
θ
) 3
?
3
sin
?
3
5
?
53
． ∴故
tan?
，tanF
1
PF
2
＝tan
θ
＝
?
3
1?cos
?
5
11
25
1?
25

2?
2.3 双曲线

把平面内与两个定点< br>F
1
，
F
2
的距离的差的绝对值等于常数（小于
F< br>1
F
2
）的点的轨迹
叫做双曲线（hyperbola）．其中这两个 定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线
的焦距．即当动点设为
M
时，双曲 线即为点集
P?
MMF
1
?MF
2
?2a
． ??
x
2
y
2
焦点在
y
轴上，中心在原点的双 曲线的标准方程
2
?
2
?1(a?b?0)
．
ab
y
2
x
2
焦点在
y
轴上，中心在原点的双曲线的标准方程
2
?
2
?1(a?b?0)
．
ab
y
2
x
2
①范围：由双曲线的标准方程得，
2
?
2
?1 ?0
，进一步得：
x??a
，或
x?a
．这
ba
说 明双曲线在不等式
x??a
，或
x?a
所表示的区域；

②对称性：由以
?x
代
x
，以
?y
代
y
和
?x
代
x
，且以
?y
代
y
这三个方面 来研究双
曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以
x
轴和
y
轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲 线的交点叫做圆
锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对 称
轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；
x
2
y
2
b
④渐近线：直线
y??x
叫做双曲线
2
?
2
?1< br>的渐近线；
ab
a
c
叫做双曲线的离心率（
e?1
）．
a
a
2
双曲线第二定义:当动点M(x,y) 到一定点F(c,0)的距离和它到一定直线
l:x?
的
c
⑤离心率： 双曲 线的焦距与实轴长的比
e?
距离之比是常数
e?
c
?1
时, 这个动点M(x,y)的轨迹是双曲线。其中定点F(c,0)是双曲线
a
a
2
的一个焦点，定直线
l:x?
叫双曲线的一条准线，常数e是双曲线的离心率。双曲线上c
任一点到焦点的线段称为焦半径。例如PF是双曲线的焦半径。

2.4 抛物线

(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．
(2)抛物 线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重
合，抛物线没有中心．
(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．
(4)抛物线的离心率要 联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结
果是应规定抛物线的离心率为1．

第三章 空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算

如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．
与平面向量一样，空间向 量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向
量或相等的向量．
空间任意两个 向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个
向量是共面的．
空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：
空间向量加法与数乘向量有如下运算律：

⑴加法交换律：
a
+
b
=
b
+
a
；
⑵加法结合律：(
a
+
b
)
+ c
=
a
+ (
b
+
c
)；（课件验证）
⑶数乘分配律：
λ
(
a
+
b
)

=
λa
+
λb
．
空间向量加法的运算律要注意以下几点：
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A1
A
2
?A
2
A
3
?A
3
A
4
???A
n?1
A
n
?A
1
A
n

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
A
1
A
2
?A
2
A
3
?A
3
A
4< br>???A
n?1
A
n
?A
n
A
1
? 0
．
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．



1．共线（平行）向量：
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向 量叫做共线向量或
r
r
r
r
平行向量。读作：
a
平 行于
b
，记作：
ab
．
2．共线向量定理：
r
r
r
rr
r
r
r
对空间任意两个向量
a,b(b? 0),ab
的充要条件是存在实数
?
，使
a?
?
b
（
?
唯一）．
r
推论：如果
l
为经过已知点
A< br>，且平行于已知向量
a
的直线，那么对任一点
O
，点
P
在直线
uuuruuuruuur
r
l
上的充要条件是存在实数
t
，满足等式
OP?OA?tAB
①，其中向量
a
叫做直线
l
的方向
uuur
r
uuuruuuruuur
uuuruuuruu ur
向量。在
l
上取
AB?a
，则①式可化为
OP?OA? tAB
或
OP?(1?t)OA?tOB
②
uuur
1
u uuruuur
1
当
t?
时，点
P
是线段
AB的中点，此时
OP?(OA?OB)
③
22
①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段
AB
的中点公式．

3．向量与平面平行：
l
P
B
a
A
u uur
r
r
已知平面
?
和向量
a
，作
OA ?a
，如果直线
OA
平行于
?
或在
?
内，那么我们 说向
r
rr
a

量
a
平行于平面
?
，记作：
a
?
．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
O
r
a

?

说明：空间任意的两向量都是共面的．
4．共面向量定理：
r
r
r
r
r
如果两个向量< br>a,b
不共线，
p
与向量
a,b
共面的充要条件是存在实数< br>x,y
使
r
rr
p?xa?yb
．
1．空间向量的夹角及其表示：
uuur
r
uuur
r
r
r
r
已知两非零向量
a,b
，在空间任取一点
O
， 作
OA?a,OB?b
，则
?AOB
叫做向量
a
r
r
rr
r
r
r
r
r
与
b
的夹角， 记作
?a,b?
；且规定
0??a,b??
?
，显然有
?a ,b???b,a?
；
r
r
?
r
r
r
r
若
?a,b??
，则称
a
与
b
互相垂直，记作：< br>a?b
；
2

2．向量的模：
uuur
r
uuur
r
r
设
OA?a
，则有向线段
OA
的长 度叫做向量
a
的长度或模，记作：
|a|
；

3．向量的数量积：
r
r
r
rr
r
r
r
已知向量
a,b
，则
|a|?|b|?cos?a,b?
叫做
a,b
的数量积，记
r
r
r
r
r
r
r< br>r
作
a?b
，即
a?b?
|a|?|b|?cos?a,b?
．
uuur
r
r
AB?a
和轴
l
，e
是
l
上与
l
同方向的单位向量，已知向量
uuuur
作点
A
在
l
上的射影
A
?
，作点
B
在
l
上的射影
B
?
，则
A
?
B
?
叫做
uuuruuuur
r
向量
AB
在轴
l
上或在
e
上的正射影；可以证明
A
?
B
?的长度
uuuuruuur
rrrr
??
|AB|?|AB|cos?a ,e??|a?e|
．

4．空间向量数量积的性质：
rrrrr
（1）
a?e?|a|cos?a,e?
．
r
e

B

A
?

B
?

A

C

r
r
r
r
（2）
a?b?a?b?0
．
r
2
rr
（3）
|a|?a?a
．

5．空间向量数量积运算律：
r
r
r
r
r
r（1）
(
?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)
．
r
rr
r
（2）
a?b?b?a
（交换律）．
r r
rrrrr
（3）
a?(b?c)?a?b?a?c
（分配律）．

1．几个概念
(1) 轴上有向线段的值：设有一轴< br>u
，
AB
是轴
u
上的有向线段，如果数
?
满 足
?
?AB
，且当
AB
与轴
u
同向时
?< br>是正的，当
AB
与轴
u
反向时
?
是负的，那么数?
叫
做轴
u
上有向线段
AB
的值，记做AB，即
?
?AB
。设e是与
u
轴同方向的单位向量，则
AB?
?
e

(2) 设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有
AC?AB?BC

(3) 两向量夹角的概念：设有两个非零向量
a
和b，任取空间一点O，作
OA?a
，
OB?b
，规定不超过
?
的
?AOB
称 为向量
a
和b的夹角，记为
(a,b)

(4) 空间一点A在轴< br>u
上的投影：通过点A作轴
u
的垂直平面，该平面与轴
u
的交 点
A
'
叫做点A在轴
u
上的投影。
(5) 向量
AB
在轴
u
上的投影：设已知向量
AB
的起点A和终点B在轴
u
上的投影分别
为点
A
'
和
B
'
，那么 轴
u
上的有向线段的值
A
'
B
'
叫做向量
AB
在轴
u
上的投影，记做
?
Prj
u
AB
。
2．投影定理
性质1：向量在轴
u
上的投影等于向量的模乘以轴与向 量的夹角
?
的余弦：
Prj
u
AB?ABcos
?

性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即
Prj
u
(a
1
?a
2
)?Prja
1< br>?Prja
2

性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即
Prj
u
(
?
a)?
?
Prja

注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。


向量a在坐标轴上的投影是三个数a
x
、a
y
、a
z
，
向量a在坐标轴上的分向量是三个向量a
x
i 、 a
y
j 、 a
z
k.
2．向量运算的坐标表示
设
a?{a
x,a
y
,a
z
}
，
b?{b
x
,b< br>y
,b
z
}
即
a?a
x
i?a
y< br>j?a
z
k
，
b?b
x
i?b
y
j ?b
z
k

则
(1) 加法：
a?b? (a
x
?b
x
)i?(a
y
?b
y
)j? (a
z
?b
z
)k

◆ 减法：
◆ 乘数：
◆ 或
a?b?(a
x
?b
x
)i?(a
y< br>?b
y
)j?(a
z
?b
z
)k

?
a?(
?
a
x
)i?(
?
a
y
)j?(
?
a
z
)k

a?b?{a
x
? b
x
,a
y
?b
y
,a
z
?b
z
}

a?b?{a
x
?b
x
,a
y
?b
y
,a
z
?b
z
}

?
a ?{
?
a
x
,
?
a
y
,
?
a
z
}

◆ 平行：若a≠0时，向量
ba
相当于
b?
?
a
，即
{b
x
,b
y
,b
z
}?
?
{a
x
,a
y
,a
z
}

也相当于向量的对应坐标成比例即
b
x
b
y
b
z

??
a
x
a
y
a
z
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
设< br>a?{a
x
,a
y
,a
z
}
，可以用它与三 个坐标轴的夹
角
?
、
?
、
?
（均大于等于0，小于 等于
?
）来表示它
的方向，称
?
、
?
、
?
为非零向量a的方向角，见图7
－6，其余弦表示形式
cos
?
、c os
?
、cos
?
称为方向余
弦。
1． 模
222
a?a
x
?a
y
?a
z

图 7－6

2． 方向余弦
?
a?MMcos?
?acos
?
12
?
x
?
222
由 性质1知
?
a
y
?M
1
M
2
cos
?
?acos
?
，当
a?a
x
?a
y
? a
z
?0
时，有
?
a?M
1
M
2
cos
?
?acos
?
?
?
z

?
aa
x
?
cos
?
?
x
?
22< br>a
?
a
x
?a
y
?a
z
2
?
a
y
a
y
?

cos
?
??< br>?
222
a
a
x
?a
y
?a
z?
?
aa
z
?cos
?
?
z
?
222
a
?
a?a?a
xyz
?
◆ 任意向量的方向余弦 有性质：
cos
?
?cos
?
?cos
?
?1
◆ 与非零向量a同方向的单位向量为：
222
a
0
?

a
a
?
1
a
{a
x
,a
y
,a
z
}?{cos
?
,cos
?
,cos
?
}

3.2 立体集几何中的向量方法
利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．
例１如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是 AB、AD的中点，
GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
分析： 由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐
标系．用向量法求解，就是求出过 B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点
B到平面EFG的距离．
解：如图，设
CD?
4i，
CB?
4j，
CG?
2k，
以i、j、k为坐 标向量建立空间直角坐标系C－xyz．
由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4, 0)，D(4,0,0)，
E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
uuuruuur
∴
BE?(2,0,0)
，
BF?(4,?2,0)
，
uuuuruuur

BG?(0,?4,2)
，
GE?(2,4,?2)
，
uuur
EF?(2,?2,0)
．
设
BM?
平面EFG ，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定
uuuuruuuruuuruuuur
理知，存在实数a、b、c，使得
BM?aBE?bBF?cBG
(a?b?c?1)
，
uuuur
∴
BM?a(2,0,0)?b(4,?2,0)?c(0,?4 ,2)
＝(2a+4b,－2b－4c,2c)．
由
BM
平面EFG，得< br>BM?GE
，
BM?EF
，于是
?
uuuuruuuruuuuruuur

BM?GE?0
，
BM?EF?0
．
?
(2a?4b,?2b?4c,2c)?(2,4,?2)?0
?
∴
?
(2a?4b,?2b?4c,2c)?(2,?2,0)?0

?
a?b?c?1
?

15
?
a?
?
11a?5c?0
?
?
7
?
?
整理得：
?
a?3b?2c?0
，解得
?
b??
．
11
?
a ?b?c?1
?
?
3
?
c?
?
11
?226
∴
BM
＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝
(,,)
．
111 111
222
uuuur
211
?
2
??
2
??
6
?
∴
|BM|?
??
?
??
?
??
?

11111111
??????
故点B到平面EFG的距离为
211
． < br>11
说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在
平面内、 共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以
了．
例2已知正方体A BCD－
A'B'C'D'
的棱长为1，求直线
DA

'
与 AC的距离．
分析：设异面直线
DA'
、AC的公垂线是直线l，则线段
AA '
在直线l上的射
影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求
解．
解：如图，设
B'A'?
i，
B'C'?
j，
B'B?
k，以i、j、k为坐标向量建立空间
直角坐标系
B'
－xyz， 则有
A'(1,0,0)
，
D(1,1,1)
，
A(1,0,1)
，
C(0,1,1)
．
uuuuruuuuruuuur
∴ DA'?(0,?1,?1)
，
AC?(?1,1,0)
，
A'A?(0 ,0,1)
．
设n
?(x,y,z)
是直线l方向上的单位向量，则
x
2
?y
2
?z
2
?1
．
∵ n
?DA'
，n
?AC
，
?
?y?z?0
3
3
?
∴
?
?x?y?0
，解得
x?y?
．
?z?
或x?y??z??
3
3
?
x
2
?y
2
?z
2
?1
?
取n
?(
333
,,?)
， 则向量
A'A
在直线l上的投影为
333
(

n·
A'A
?
3333
,,?)
·
(
．
0,0,1)
??
3333

由两个向量的数量积的几何意义知，直线
DA'
与AC的距离为
3
3
．

向量的内积与二面角的计算
在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中 ，讲到几何空间的
内积时，有一个例题（见[1]，p53）要求证明如下的公式：
cos< br>?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin< br>?
cos
?
,
(1)
其中点O是二面角P-MN-Q的棱MN上的点，OA、OB分别在平面P和平面Q
内。
?AON?
?
，
?BON?
?
，
?AOB?
?
。
?
为二面角P-MN-Q（见图1）。
z
D
P
A
?
a
?
M
O
?
?
b
x
y
N
B
Q

图1

公式（1）可以利用向量的内积来加以证明：
以Q为坐标平面，直线MN为y轴，如图1建立直角坐标系。 记xOz平面
与平面P的交线为射线OD，则
OD?MN
，得
?AOD?< br>?
2
?
?
，
?DOx?
?
，
?DO z?
?
2
?
?
。
?
?
?
?分别沿射线OA、OB的方向上作单位向量
a
，
b
，则
a,b?
?
。
?
?
由计算知
a
，
b
的坐标分别为
(s in
?
cos
?
,cos
?
,sin
?
s in
?
)
，
(sin
?
,cos
?
,0)
，
于是，
?
?
?
?
a?b
cos?
?
?
?
?a?b?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
cos
?
。
|a|?|b |
公式（1）在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的
两个应用。

例1．立方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的边长为1，E、F、G、H、I分别为A
1
D
1
、< br>A
1
A、A
1
B
1
、B
1
C
1
、B
1
B的中点。
求面EFG和面GHI的夹角
?
的大小（用反三角函数表示）。
解 由于图 2中所画的两平面EFG和GHI只有一个公共点，没有交线，所
以我们可以将该立方体沿AB方向平移 1个单位。这样就使平面EFG平移至平
面
HIG
?
。而
?
就是二面角G-IH-
G
?
（见图3）。利用公式（1），只要知道了
?，
?
和
?
的大小，我们就能求出
?
。
D1
C
1
E
G
H
A
1
B
1F
D
I
C
A
B

图2
由已知条件，
?GHI
和
?HIG
?
均为等边三角形，所以
?
?
?
?
?
3
，
?
??GIG
?
?< br>?
2
。因此，
D
1
C
1
E
HG
G'
A
1
B
1
F
D
I
C< br>AB

图3

cos
?
?cos
?
cos
?
?sin
??
2333
sin
3
cos< br>?
，
即
0?
1
2
?
1
2
?
33
2
?
2
cos
?
。
解得
而

11
cos
?
??
，
?
?
?
?arccos
。
33
当然，在建立了直 角坐标系之后，通过计算向量的外积可计算出两平面的法
向量，利用法向量同样也可算出夹角
?
来。
例2．计算正十二面体的两个相邻面的夹角
?
的大小。
解 我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形，且在正十二面
体的每个顶点上均有3个面围绕。 设P和Q是两个相邻的面，MN是它们的交线
（如图4），则公式（1）中的
?
，?
，
?
分别为：
?
??AMN
，
?
??BMN
，
?
??AMB
，
因此它们均为正五边形的内角。所以
?
?
?
?
?
?108?
。
N
P
M
A
B
Q

图4
所以，由公式（1）知
cos108??cos108??cos108??sin108? ?sin108??cos
?
，
或
cos
?
?
cos108?(1?cos108?)5
??
。
5
sin
2108?
因此，
?
?
?
?arccos
5
，或
?
?116?33
?
54
??
。
5
如果不使用公式（1），要求出例2中的夹角
?
的大小在计算上要复杂很多。
利用例2的结果，我们可以容易地计算出单位棱长正十二面体的体积V。
设单位棱长正十二面 体的中心为O，则该十二面体可以切割成十二个全等的
正五棱锥，每个五棱锥以该多面体的一个面为底面 、以O为其顶点。设该正五
棱锥为
?
，从而可知：
V?12V
?。
再设
?
的底面积为S、高为h，设
O
?
为单位边长 正五边形（即
?
的底）的中

心，A、B为该五边形的两个相邻的顶点， H为AB的中点，
|O
?
H|?a
，则
11a5
tan?O'AH?tan54?
，
S?5??tan54?
。
2224
h
?
仍设
?
为正十二面体两相邻面的夹角，则
?tan
。所以
?O'AH?54?
，
a?
但是，
从而




或
V?7.6631


a2
h?
1
2
tan54?tan
?
2
。
tan
?
1?cos
?
5?
2
?
1?co s
?
?
1
2
，
V?12V
?
?4Sh


?4?
?
?
5
?
4
tan54?
?
?
?
?
?
1
?
2
tan54?tan
?
?
2?
?


?
5
(tan54?)
2
?
2
tan
2


?
55?255?
2
?
5
?
1
2


?
15?75
4
，