高中数学选修3-1知识点

数学选修1－1知识点
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句.
假命题：判断为假的语句.
2、“若
p
，则
q
”形式的命 题中的
p
称为命题的条件，
q
称为命题的结论.
3、对于两个命题 ，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，
则这两个命题称为互逆命题.其中一个命 题称为原命题，另一个称为原命题的逆
命题.
若原命题为“若
p
，则
q
”，它的逆命题为“若
q
，则
p
”.
4、对于两个命 题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定
和结论的否定，则这两个命题称为互否命 题.中一个命题称为原命题，另一个称
为原命题的否命题.
若原命题为“若
p
，则
q
”，则它的否命题为“若
?p
，则
?q
”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定
和条件的否定，则这 两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另
一个称为原命题的逆否命题.
若原 命题为“若
p
，则
q
”，则它的否命题为“若
?q
，则?p
”.
6、四种命题的真假性：
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 真
假 假 假 假
四种命题的真假性之间的关系：
?
1
?
两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
?
2
?
两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
7、若
p?q
，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必要条件．
若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件（充分必要条件）．
8、用联结词“且”把命题
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、< br>q
都是真命题时，
p?q
是真命题；当
p
、
q
两个命题中有一个命题是假命
题时，
p?q
是假命题．
用联结词“或”把 命题
p
和命题
q
联结起来，得到一个新命题，记作
p?q
．
当
p
、
q
两个命题中有一个命题是真命题时，
p?q
是真命题；当
p
、
q
两个命
题都是假命题时，
p?q是假命题．
对一个命题
p
全盘否定，得到一个新命题，记作
?p
．
若
p
是真命题，则
?p
必是假命题；若
p
是假命题，则
?p
必是真命题．
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用 “
?
”表
示．
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题“对
?
中任意一个
x
，有
p
?
x
?
成 立”，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“
?
”表示．

1

含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题“存在
?
中的一个
x
，使
p
?
x
?
成立 ”，记作“
?x??
，
p
?
x
?
”．
1 0、全称命题
p
：
?x??
，
p
?
x
?< br>，它的否定
?p
：
?x??
，
?p
?
x?
．全称命题
的否定是特称命题．
11、平面内与两个定点
F
）的点的轨迹
1
，
F
2
的距离之和等于常数（大于
F
1
F
2
称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
12、椭圆的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程
范围
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
?a?x?a
且
?b?y?b


y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
?b?x?b
且
?a?y?a

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?0,a
?

?
1
?
?b,0
?
、?
2
?
b,0
?

F
1
?
0 ,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?

F
1
?
?c,0
?
、
F2
?
c,0
?

短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1
F
2
?2c
?c
2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?

aa
a
2
x??

c
a
2
y??

c
准线方程
13、设< br>?
是椭圆上任一点，点
?
到
F
1
对应准线的距离为< br>d
1
，点
?
到
F
2
对应准线
的距离 为
d
2
，则
?F
1
d
1
?
?F< br>2
d
2
?e
．

2

14 、平面内与两个定点
F
）的
1
，
F
2
的距离之差的 绝对值等于常数（小于
F
1
F
2
点的轨迹称为双曲线．这两个定点称 为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线
的焦距．
15、双曲线的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
a
2
x??

c
y??

y
2
x
2
??1
?< br>a?0,b?0
?

a
2
b
2
y??a或
y?a
，
x?R

x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
x??a
或
x?a
，
y?R

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

F
1
?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1< br>F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b2
?

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
a
2
y??

c
准线方程
渐近线方程
ba
x

y??x

ab
16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
17、设
?
是双曲线上任一点，点
?
到
F
1
对应准线的距离为
d
1
，点
?
到
F
2
对应准
线的距离为
d< br>2
，则
?F
1
d
1
d
2
18、平面 内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定
点
F
称为抛物线的焦点，定直线
l
称为抛物线的准线．



3
?
?F
2
?e
．

19、抛物线的几何性质：
y
2
?2px

y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

标准方程
?
p?0
?

图形

顶点
?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?




?
0,0
?

x
轴
?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
x??
p

2
y
轴
对称轴
焦点
?
p
?
F
?
?,0
?

?
2
?
x?
p

2
p
??
F
?
0,
?

2
??
y??
p

2
p
??
F
?
0,?
?

2
??
y?
p

2
准线方程
离心率
e?1

范围
x?0

x?0

y?0

y?0

20、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线 于
?
、
?
两点的线段
??
，称为
抛物线的“通径” ，即
???2p
．
21、焦半径公式：
p
；
2
p
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛 物线
y
2
??2px
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F??x
0
?
；
2
p
若点< br>?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
x2
?2py
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则?F?y
0
?
；
2
p
若点
?
?x
0
,y
0
?
在抛物线
x
2
??2p y
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F??y
0
?
．
2
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y
2
?2px
?
p?0?
上，焦点为
F
，则
?F?x
0
?
22、若某 个问题中的函数关系用
f
?
x
?
表示，问题中的变化率用式子
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
x
2
?x
1
?
f
?
x
2< br>?
?f
?
x
1
?
?f
表示，则式子称为函数
f
?
x
?
从
x
1
到
x
2
的平均变化率．
?x
x
2
?x
1
4

23、函数
f
?
x
?
在
x?x0
处的瞬时变化率是
lim
?x?0
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
?f
，则称它为
?lim
?x?0
x
2
?x
1
?x
函数
y ?f
?
x
?
在
x?x
0
处的导数，记作
f
?
?
x
0
?
或
y
?
x?x
，即
0
f
?
?
x
0
?
?lim
f
?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?
．
?x
?x?0
24、函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
处的导数的几何意义是曲线
y?f
?
x
?
在点
?
?
x
0
,f
?
x
0
?
?
处的切线的斜率．曲线
y?f
?
x?
在点
?
?
x
0
,f
?
x
0
?
?
处的切线的斜率是
f
?
?
x
0
?
，切
线的方程为
y?f
?
x
0
?
?f
?
?
x
0
??
x?x
0
?
．若函 数在
x
0
处的导数不存在，则说明斜率
不存在，切线的方程为
x?x
0
．
25、若当
x
变化时，
f
?
?x
?
是
x
的函数，则称它为
f
?
x
?
的导函数（导数），记作
f
?
?
x
?
f
?
x??x
?
?f
?
x
?
．
?x?0
?x
26、基本初等函数的导数公式：
或
y
?< br>，即
f
?
?
x
?
?y
?
?lim< br>?
1
?
若
f
?
x
?
?c
， 则
f
?
?
x
?
?0
；
?
2
?
若
f
?
x
?
?x
n
?
x?Q
*
?
，则
f
?
?
x
?
?nxn?1
；
?
3
?
若
f
?
x
?
?sinx
，则
f
?
?
x
?
?cosx
；
?
4
?
若
f
?
x
?
? cosx
，则
f
?
?
x
?
??sinx
；
?
5
?
若
f
?
x
?
?a
x
，则
f
?
?
x
?
?a
x
lna
；
?
6
?
若
f
?
x
?
? e
x
，则
f
?
?
x
?
?e
x；
?
7
?
若
f
?
x
?
?l og
a
x
，则
f
?
?
x
?
?27、导数运算法则：
11
；
?
8
?
若
f< br>?
x
?
?lnx
，则
f
?
?
x?
?
．
xlnax
?
?
1
?
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?< br>?
?
?f
?
?
x
?
?g
?
?
x
?
；
?
?f
?
xgx?fxg
?
x
；
fx?gx
?
????????????
?
2
?

?
??
?
f
?
x
?
?
?
f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
?
g
?
x
?
?0
?
．
?
3
?
?< br>gx
?
?
2
?
?
??
?
?
g
?
x
?
?
?
28、对于两个函数
y?f
?
u
?
和
u?g
?
x
?
，若通过变量u
，
y
可以表示成
x
的函数，
则称这个函数为函数y?f
?
u
?
和
u?f
?
x
?
的复合函数，记作
y?f
?
g
?
x
?
?
．
复合函数
y?f
?
g
?
x
?
?
的导数与函数
y?f
?
u
?
，
u?g
?
x
?
的导数间的关系是

5

??
y?
x
?y
u
?u
x
．
29、在某个区间?
a,b
?
内，若
f
?
?
x
?
?0
，则函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调递增；若
f
?
?
x
?
?0
，则函数
y?f< br>?
x
?
在这个区间内单调递减．
30、点
a
称为函 数
y?f
?
x
?
的极小值点，
f
?
a?
称为函数
y?f
?
x
?
的极小值；点
b称为函数
y?f
?
x
?
的极大值点，
f
?b
?
称为函数
y?f
?
x
?
的极大值．极小值 点、
极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
31、求函数
y?f?
x
?
的极值的方法是：解方程
f
?
?
x?
?0
．当
f
?
?
x
0
?
? 0
时：
?
1
?
如果在
x
0
附近的左侧< br>f
?
?
x
?
?0
，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0
?
是极大值；
?
2
?
如果在
x
0
附近的左 侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧
f
?< br>?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0
?
是极小值．
32、求函数
y?f
?
x
?
在< br>?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤是：
?
1
?
求函数
y?f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的极值；
?
2
?
将函数
y?f
?
x
?
的各极值与端点处的函数值
f
?
a
?
，
f
?
b
?
比较，其中最大的
一个是最大值，最小的一个是最小值．


6