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高中数学选修常用公式

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 08:25
tags:高中数学选修

高中数学黄冈视频-全国高中数学联赛获奖编号

2020年9月20日发(作者:元雅)


高中(理科)数学选修部分常用公式(全国卷版)


一、常用逻辑用语
1.四种命题:(1)原命题:若
p

q
(2)逆命题: 若
q

p

(3)否命题:若
?p

?q
(4)逆否命题:若
?q

?p

(互为逆否关系的两个命题同真假:原命题与逆否命题,逆命题与否命题同真假)
2.如果< br>p?q
,那么
p

q
的充分条件,
q
p
的必要条件
注意:(1)小范围
?
大范围,大范围
?
小范围,
(2) “
p
的充分不必要条件是
q

?

q
是< br>p
的充分不必要条件”
?

q?p

p?q

3.复合命题
p ?q

p?q

?p
的真假性(
?p
即命题的否定 ):
(1)当
p

q
为一真一假时,
p?q
为假,
p?q
为真; (2)
p

?p
的真假性相反
4.全称命题与特称命题. 若
p

?x?M,q(x)
成立,则< br>?p

?x
0
?M,?q(x
0
)
成立
二、圆锥曲线
1.椭圆
定义
动点
M
到两定点
F
1
,F
2
的距离之和为
2a

F
, < br>1
F
2
?2a

即:
MF

c?a

1
?MF
2
?2a

图形
标准方程
范围
长轴长
短轴长
焦点、焦距
顶点
离心率
准线
焦半径
x
2
y
2
?2
?1
(a?b?0)

2
ab
y
2
x
2
?
2
?1
(a?b?0)

2
ab
?a?x?a

?b?y?b

2a

2b

(?c,0)

2c

(?a,0)

(0,?b)

?b?x?b

?a?y?a

(0,?c)

2c

(?b,0)

(0,?a)

e?
a
2
x??

c
c

0?e?1

a
a
2
y??

c
MF
1
?a? ex
0

MF
2
?a?ex
0

S
?MF
1
F
2
?b
2
tan
MF
1?a?ey
0

MF
2
?a?ey
0

?MF
1
F
2

面积公式
通径的长
2.双曲线
?
2
(其中
?
??F
1
MF
2

2b
2

a


定义
动点
M
到两定点
F
1
,F
2
的距离之差的绝对值为
2a

F
1
F
2
?2a

即:
MF
1
?MF
2
?2a

c?a

图形
标准方程
范围
实轴长
虚轴长
焦点、焦距
顶点
渐近线
离心率
准线
焦半径
x
2
y
2
?
2
?1

2
ab
y
2
x
2
?
2
?1

2ab
x??a

x?a

y?
R

2a

2b

(?c,0)

2c

(?a,0)

x?
R

y??a

y?a

(0,?c)

2c

(0,?a)

y??
b
x

a
e?
c

e?1

a
y??
a
x

b
a
2
x??

c
a
2
y??

c
MF
1
?ex
0
?a

MF
2
?ex
0
?a

S
?MF
1
F
2
?
b
2
tan< br>MF
1
?ey
0
?a

MF
2
?e y
0
?a

?MF
1
F
2

面积公式
通径的长
小秘密
?
2
(其中
?
??F
1
MF
2

2b
2

a
?
ab
?
焦点到渐近线的距离 为
b
;双曲线上的点到两渐近线的距离之积为
??

?
c
?
2

注意:直线与圆锥曲线相交的弦长公式:(和韦达定理结合使用)
AB?1?k
2< br>?x
1
?x
2
?1?k
2
?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
快速公式:
AB?1?k
2
AB?1?
?

A
1?
11
2
AB?1?
?y?y?1??(y?y)?4yy

121212
快速公式:
k
2
A
k
2k
2
(其中
A
是指消去
y

x
后得到 一元二次方程中的二次项系数)
3.抛物线


定义
标准
方程
动点
P
到定点
F
的距离等于到定直线
l
的距离 < br>即:
PF?PP
?
,(
F

l
的距离为p

y
2
?2px
(p?0)

y
2
??2px
(p?0)

x
2
?2py
(p?0)

x
2
??2py
(p?0)

图形

范围
对称轴
焦点
准线
准线
方程
离心率
焦半径
焦点弦
公式
x?0

x

x?0

(
?
p
,0)

2
p
x?

2
y?0

y?0

y

p
(0,)

2
p
y??

2
p
(0,
?
)

2
p
y?

2
PF?
p
?y
0

2
p
(,0)

2
p
x??

2
PF?
p
?x
0

2
e?1

PF?
p
?x
0

2
PF?
p
?y
0

2
AB?p?(x
1
?x
2
)

AB?p?(x
1
?x
2
)

AB?p?(y
1
?y
2
)

AB?p?(y
1
?y
2
)

三个圆:以
AB
为直径的圆与准线相切;以
AF

BF
为直径的圆都与坐标轴相 切.
角平分线:设
M
为准线与坐标轴的交点,则
x
轴(或
y
轴)是
?AMB
的角平分线
焦点弦
的秘密
112p
2
pp2p
??
S?

BF?

A B?
,,
AF?
?AOB
AFBFp
2sin
?
1?cos
?
1?cos
?
sin
2
?
(其中< br>?
为直线
AB
的倾斜角)
三、导数及其应用
1. 概念:
f(x)

x
0
处的导数(或变化率或微商)
f
?
(x
0
)?y
?
x?x
0
?lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
.
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
瞬时速度
v?s
?
( t)
. 瞬时加速度
a?v
?
(t)
.(注意这个物理意义)
2. 函数< br>y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)

P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f?
(x
0
)
,相应的切线方程是
y?f(x
0
)?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
3. 几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0

C
为常数 ).(2)
(x)
?
?nx
(5)
(lnx)
?
?
nn?1
.(3)
(sinx)
?
?cosx
.(4)(cosx)
?
??sinx
.
1
1
xx
x x

(log
a
x)
?
?
. (6)
(e )
?
?e

(a)
?
?alna
.
x< br>xlna
1
11
最好记住这三条常用的公式:
()
?
??
2

(x)
?
?

(xlnx)
?
?1?lnx

xx
2x
4. 导数的运算法则:(1)
[Cf(x)]
?
?Cf
?
(x)
(2)
[f(x)?g(x)]
?
?f
?
(x)?g
?(x)

f(x)f
?
(x)g(x)?f(x)g
?
(x)
[]
?
?
[f(x)?g(x)]
?
?f
?
(x)g(x)?f(x)g
?
(x)
(3)(4)
2
g(x)[g(x)]
5. 复合函数的求导法则


y ?f(u),u?g(x)
,则
y
x
?
?f
?
(u )g
?
(x)


6. 函数的单调性:设函数
y?f (x)
在某个区间
(a,b)
可导,若
f
?
(x)?0,则
y?f(x)

(a,b)
上单调递增;若
f
?< br>(x)?0
,则
y?f(x)

(a,b)
上单调递减. < br>逆命题:若
f(x)

(a,b)
上是增函数,则
f'(x) ?0
; 在
(a,b)
上是减函数,则
f'(x)?0
.
7. 求函数
y?f(x)
极值的方法与步骤:
(1)求导数
f
?
(x)
; (2)求方程
f
?
(x)?0
的根;
(3)画出
x

f
?
(x)

f(x)
的分布表格,并判断极大值、极 小值
四、推理与证明
1. 推理
(1)合情推理:包含归纳推理(由特殊到一般的推理)和类比推理(由特殊到特殊的推理).
(2)演绎推理:三段论(大前提、小前提和结论),由一般到特殊的推理.
(3)合情推理得到的结论不一定正确,需要证明.
演绎推理得到的结论一定正确(大前提和小前提正确的情况下).
2. 证明
(1 )直接证明:综合法(条件
?
结论)与分析法(结论
?
条件(恒成立))
(2)间接证明:反证法(反设
?
矛盾
?
推翻反设)
(3)数学归纳法:
① 证明当
n
取第一个值
n
0

n
0
?
N
)时结论成立.
*
② 假设当n?k

k?
N
,且
k?n
0
)时结论成立, 证明当
n?k?1
时结论也成立.
*
由①②可知,对任意
n?n< br>0
,且
n?
N
时,结论都成立.
五、计数原理
*
n!

(n?m)!
n(n?1)(n?2)
L
(n?m?1)n!
m
?
2. 组合数:
C
n
?

m!m!(n?m)!
1. 排列数:
A
n
?n(n?1)(n?2 )
L
(n?m?1)?
m
3. 组合数的性质:
mn?m
(1)
C
n
?C
n

mmm?1
(2)
C
n?1
?C
n
?C
n

012nn135024n?1
(3)
C
n
?C
n
?C
n
?L?C
n
?2

C
n
? C
n
?C
n
?L?C
n
?C
n
?C
n
?L?2

n
m?1
123n
?2C
n
?3C
n
?L?nC
n
?n?2
n?1

C
n?1

C
n
m
rrrrr?1
(5)
C
r
?C
r?1
?C
r?2
?L?Cn
?C
n?1

(4)
C
n
?
m
n0n1n?1rn?rrnn
4. 二项式定理:
(a?b)?C
na?C
n
ab?L?C
n
ab?L?C
n
b

rn?rr
(1)展开式中的通项(第
r?1
项):
T
r? 1
?C
n
ab

(2)二项式系数:
C
n

r?1,2,L,n
),

n
为偶数,则展开式的中间一项
T
n
的二项式系数最大;
2
?1
r

n
为奇数,则展开式的中间两项
T
n ?1

T
n?1
的二项式系数最大;
2
2
?1
(3)二项式系数和与各项系数和
二项式系数和:
2
各项系数和的计算方法:令
(a?b)
中的变量等于1
n
n
(2? )
的二项式系数和为
2?16
,例如:各项系数和为
(2?)?3?81(令
x?1

六、概率
1. 古典概型与几何概型
1x
4
4
1
1
44


m
,基本事件 有限,每个基本事件出现的可能性相同.
n
m
表示事件
A
包含的基 本事件数,
n
表示所有基本事件数.
?
(2)几何概型的概率
P( A)?
A
,基本事件无限,每个基本事件出现的可能性相同.
?
?
A
表示事件
A
发生区域的几何度量,
?
表示总区域的几何度量(如长 度、面积、体积)
(1)古典概型的概率
P(A)?
2. 互斥事件与对立事件
(1)概念理解:互斥事件——
AIB??
; 对立事件——
AIB??

P(A)?P(B)?1
.
(2)关系:对立的两个事件一定互斥,互斥的两个事件不一定对立.
(3)概率加法公式: 若事件
A

B
互斥,则
P(AUB)?P(A)?P(B)
.
3. 相互独立事件
A,B
及其同时发生的概率:
P(AB)?P(A)P(B)
.
4. 条件概率:设
A

B
为两个事件,且
P(A)?0< br>,则
P(B|A)?
P(AB)

P(A)
其中
P (B|A)
表示事件
A
发生的条件下事件
B
发生的概率.
5. 离散型随机变量及其分布列
(1)分布列性质:
p
i
?0< br>,
?
p
i?1
n
n
i
?p
1
?p
2
?
L
?p
n
?1
.
(2)随机 变量
X
的数学期望(均值):
EX?
(3)随机变量
X
的方 差:
DX?
?
xp
i
i?1
n
i
?x1
p
1
?x
2
p
2
?
L
?x
n
p
n
.
?
(x?EX)
i
i?12
p
i
?(x
1
?EX)
2
p
1?(x
2
?EX)
2
p
2
?L?(x
n
?EX)
2
p
n
.
2
(4)随机变量
X
的均值与方差的性质:
E(aX?b)?aEX?b

D(aX?b)?aDX
.
(5)二项分布(独立重复实验):
X~B(n ,p)

EX?np

DX?np(1?p)

kkn?k

n
次试验中恰好成功
k
次的概率< br>P(X?k)?C
n
p(1?p)

k?0,1,L,n

注意:
X
表示试验成功的次数
(6)超几何分布:在含有
M
件次品的
N
件产品中,任取
n
件,其中恰有
X
件次品数,则
kn?k
C
M
C
N?M

P(X?k)?
,其中
n?N,M?N

n
C
N
6. 正态分布:
X~N(
?
,
?
)
,其中
?
表示总体平均值,
?
表示标准差
(1 )正态总体函数
f
?
x
?
?
2
1

x?
?
??,??
?

e
2
??
①在正 态分布中,当
?
?0

?
?1
时,叫做标准正态分布,记作
X~N(0,1)
.
1
②函数
f
?
x
?
的图象关于
x?
?
对称,
f(x)?0

f
?
x
?
max
?

2
??
③函数
f
?
x
?
的图象与
x
轴围成的总面积为1,
P( X?
?
)?P(X?
?
)?0.5


?
越大,函数
f
?
x
?
的图象越“矮肥”;
?
越小, 函数
f
?
x
?
的图象越“高瘦”
(x?
?
)
2
? 
2
2
?
(2)几个重要的概率:
P(
?
?
?
?X?
?
?
?
)?0.6826< br>
P(
?
?2
?
?X?
?
?2
?< br>)?0.9544

P(
?
?3
?
?X?
?
?3
?
)?0.9974

七、数系的扩充与复数的引入
1. 数系:
N?N?Z?Q?R?C

*


2. 复 数的概念:形如
a?bi
(a,b?R)
的数叫做复数,其中
i
叫做 虚数单位,
i??1

2
a

b
分别叫做复数
a?bi
的实部和虚部.
3. 复数
a?bi?c?di
的充要条件是
a?c

b?d
. 特例
a?bi?0
?
a?b?0
.
4. 对于复数
a?b i
,当
b?0
时,它是实数;当
a?0

b?0
时 ,它是纯虚数.
uuur
5. 复数的模:向量
OZ
的模,叫做复数
z?a?bi
的模,即
z?a?bi?
a
2
?b
2
.
6. 复数所在象限的确定:
z?a?bi
对应点
(a,b)
,判断点
(a,b)
所在的象限.
7. 共轭复数:
z?a?bi
的共轭复数为
z?a?bi
.
8. 复数 加、减法法则:(
a?bi
)
?
(
c?di
)=
( a?c)?(b?d)i
.
9. 复数乘、除法法则:(
a?bi
)(c?di
)=
(ac?bd)?(bc?ad)i
.
a?bi
(a?bi)(c?di)(ac?bd)?(bc?ad)i
?
.
?
c
2
?d
2
c?di
(c?di)(c?di)
八、统计案例
?
?a
?
?bx
?
用最小二乘法求 得的线性回归方程系数公式:
1. 回归直线方程为
y
?
?b
?< br>(x?x)(y?y)
?
xy?nxy
iiii
i?1
nn< br>?
(x?x)
i
i?1
n
=
2
i?1
n
?
x
i?1
2
i
?nx
2
?

y
?
?a
?
?y?bx
?
?bx
?必过样本中心点
x,y

,a

n
??
i?
i
?y
i
?y
?
i
;衡量模型拟合效果的一 个指标:相关指数
R?1?
2. 残差公式:
e
n
2
?)
?
(y?y
i
2
?
(y?y)
i
i ?1
i?1
n

2
残差平方和
?
)
?(y?y
ii
i?1
2
2
越小,
R

0?R?1
)越接近于1,回归效果越好.
2
R
2

r< br>的区别:
R
2
为相关指数,
r
为相关系数,
r?0< br>时为负相关,
r?0
时为正相关,
?1?r?1

r
越接近于1,变量间的相关性就越强.
3. 独立性检验的解题步骤:
(1)写出列联表;
(2)据公式代数求解
K
的值;
2
2
(3)根据观测值< br>K
查表,如果
K?k
0
,就推断两变量有关系,犯错误概率不超过P
(即
2

1?P
的把握推断两变量有关系);否则就认为在犯 错误的概率不超过
P
的前提下不能推
断两变量有关系
P
(
K
2

k
0
)




















k
0

2
n(ad?bc)
2
K?,n?a?b? c?d
,(上表中的概率
P
是指犯错误的概率)
...
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
九、坐标系与参数方程选讲


1. 极坐标系的公式:
x?
?
cos
?
, y?
?
sin
?
,
?
?x?y,tan
?
?

?
表示极点
O
和曲线上的点的连线与极轴的正方向所成的角)
2. 参数方程:
(1)圆
(x?a)?(y?b)?r
的参数方程:?
222
222
y
(x?0)
.
x

?
表示圆心和曲线上的点的连线与
x
轴的正方向所成的角)
?
x?a?rcos
?

?
为参数);
?
y?b?rsin
?
?
x?acos
?
x
2
y< br>2
(2)椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的参数方程 :
?

?
为参数);
ab
?
y?bsin?
?
x?2pt
2
*(3)抛物线
y?2px
的参数方 程:
?

t
为参数);
?
y?2pt
?
x?asec
?
x
2
y
2
1
*(4)双曲线
2
?
2
?1
的参数方程:
?

?
为参数 ).(
sec
?
?
);
ab
cos
?
y ?btan
?
?
2
?
x?x
0
?tcos
?
(5)直线
y?y
0
?tan
?
(x?x
0)
的参数方程:
?

t
为参数).
y?y?tsin
?
0
?

t
表示点
P
?
x
0
,y
0
?
到直线
l
上的任意一点
M(x,y)
的有向距离)
圆心和曲线上的点的连线与
x
轴的正方向所成的角)
3. 空间直角坐标系:已知向量
a=
(x
1
,y
1
,z
1
)

b=
(x
2
,y
2
,z
2
)

xyz
(1)空间向量的平行与垂直:
a

b
?
1
?
1
?
1

x
2
,y
2
,z
2
?0

x
2
y
2
z
2

a
?
b
?
a
g
b
?0
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1z
2
?0

x
1
2
?y
1
2
?z
1
2
,
AB?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2

(3)点
(x,y,z)
关于
x
轴对称的点为
(x,?y,?z)
,关于
y
轴对称的 点为
(?x,y,?z)

(2)空间向量的模、距离公式:
a=
关 于
z
轴对称的点为
(?x,?y,z)
,关于原点
(0,0)
对称的点为
(?x,?y,?z)

关于平面
xOy
对称的点为< br>(x,y,?z)
,关于平面
yOz
对称的点为
(?x,y,z)
关于平面
xOz
对称的点为
(x,?y,z)

十、空间的角与空间的距离(向量法):
设直线
a

b
的 方向向量分别为
a,b
,平面
?

?
的法向量分别为
n
1
,n
2

(1)异面直线
a

b< br>所成的角
?
:则
cos
?
?
a?b
?

?
?(0,]

2
a?b
a?n
1
?

?
?[0,]

2
a?n
1
(2)直线
a
与平面
?
所成的角
?

sin
?
? cos?a,n
1
? ?
(3)二面角
?
?l?
?< br>的平面角
?

cos
?
?
n
1
?n
2

?
?[0,
?
]

n
1
?n
2
注意:二面角的平面角需要根据实际图形,判断“锐角”还是“钝角”
(4)点
P
到 平面
?
的距离:
d?
十一、补充公式与定理
uuur
PA ?n
1
n
1
,其中
A?
?


1. 斜率
k
、比率
?
、离心率
e

e?
?
?1
?1?k
2

?
?1
(焦点在
x
轴上的所有圆锥曲线都成立,若焦点在
y
轴,则改为
e ?

2. 斜率
k
1
k
2
为定值的两个定理:
?
?11
?1?
2

?
?1k
x
2
y
2
椭圆
2
?
2
?1
?
a? b?0
?
上的关于原点对称的两定点为
A,B
,点
M
是椭圆 上的动点,
ab
b
2
b
2
直线
PQ
交椭圆 于
P,Q
两点,点
N

PQ
的中点,则
k
MA
k
MB
??
2

k
PQ
k
O N
??
2

aa
x
2
y
2
双曲 线
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?
关于原 点对称的两定点为
A,B
,点
M
是双曲线上的动点,
ab
b
2
b
2
直线
PQ
交双曲线于
P,Q
两点, 点
N

PQ
的中点,则
k
MA
k
MB?
2

k
PQ
k
ON
?
2
.
aa
(以上两个定理若把椭圆和双曲线的焦点改在
y
轴上,则
a,b
的位置互换)

3. 神奇的置换缔造完美的切线(适用于圆和圆锥曲线)
(1)曲线上任意一点
P
?
x
1
,y
1
?
的切线方程为:
22
将原曲线方程按照以下方式“
x?x
1
x< br>,
y?y
1
y

?
x?a
?
??
x
1
?a
??
x?a
?

2
x?x
1
y?y
1

y?
”置换得到.
22< br>(2)过曲线外任意一点
P
?
x
0
,y
0
?
引曲线的两条切线,切点
A
,
B
所在的直线方程为:
?< br>y?b
?
2
?
?
y
1
?b
??y?b
?

x?
2
2
将原曲线方程按照以下方式“x?x
0
x

y?y
0
y

?
x?a
?
?
?
x
0
?a
??
x?a?

2
?
y?b
?
2
?
?
y
0
?b
??
y?b
?

x?
x?x
0
y?y
0

y?
”置换得到.
22

4. 求点
A
关于直线
x?y?m?0

x?y?m?0< br>)的对称点
A
?
可以用“
x
,
y
交叉置换法 ”
快速求解. 例如求
A
?
3,2
?
关于
x?y? 3?0
的对称点
A
?
?
x
0
,y
0
?
,①把
x?y?3?0
进行
?
x
0
?y?3< br>,②
A
?
3,2
?
代入即可求得
A
?
?
x
0
,y
0
?

A
?
??1,6
?
.
?
y
0
?x?3
(注意:当对 称轴的斜率
k??1
时才可以用此绝技,否则只能用传统的解方程组的方法).
交叉置换
?

5. 复杂的导数问题常考“整体法”,关键是要想到整体函数
g
?
x
?
,常见的
g
?
x
?
g
?
x
?
?xf
?
x
?
?g
?
?
x
?
?xf
?
?
x
?< br>?f
?
x
?

f
?
x
?
xf
?
?
x
?
?f
?
x
?
g?
x
?
??g
?
?
x
?
?

xx
2
g
?
x
?
?f
?
x
?
?x
2
?g
?
?
x
?
?x
2
f
?
?
x
?
?2xf
?
x
??x
?
?
xf
?
?
x
?
?2f
?
x
?
?
?

g
?
x
??e
x
f
?
x
?
?g
?
?
x
?
?e
x
?
?
f
?
?
x
?
?f
?
x
?
?
?

f
?x
?
f
?
?
x
?
?f
?
x< br>?
?
g
?
x
?
?
x
?g
?
x
?
?
.
ee
x

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