高中数学选修模块专题_高中生题库网|高考真题|高考试题-「密云二中」

高中数学考试命题建议解读-2020高中数学一模答案

2020年9月20日发(作者：董祖诒)

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

高中数学选修模块专题

考点
极坐标与参数方程
一

1.(优质试题全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为

(θ为

参数),直线l的参数方程为

(t为参数).

(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l距离的最大值为

,求a.
【解析】(1)曲线C的普通方程为
+y
2
=1.

当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.
-
由

解得

或

从而C与l的交点坐标为(3,0),-,

.
(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离
d=
- -

.

当a≥-4时,d的最大值为
.

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

由题设得

=

,所以a=8;
-

当a<-4时,d的最大值为
由题设得
-

.
=

,所以a=-16.
综上,a=8或a=-16.
2.(优质试题全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴
建立极坐标系,曲线C
1
的极坐标方程为ρcos θ=4.
(1)M为曲线C
1
上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|O P|=16,求点P的轨迹C
2
的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为

,点B在曲线C
2
上,求△OAB面积的最大值.

【解析】(1)设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),点M的极坐标为(ρ
1
,θ)(ρ1
>0).
由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ
1
=

.
由|OM|·|OP|=16得C
2
的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0).
因此C
2
的直角坐标方程为(x-2)
2
+y
2
= 4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρ
B
,α)(ρ
B
>0).
由题设知|OA|=2,ρ
B
=4cos α,于是△OAB的面积
S=|OA|·ρ
B
·sin∠AOB=4cos α·

-

=2

-

-

≤2+

.

当α=-时,S取得最大值2+

.
所以△OAB面积的最大值为2+

.

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

3.(优质试题全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中,直线l
1
的参数方程为

(t为

(m为参数).设l
1
与l
2
的交点为P,当k变
参数),直线l
2
的参数方程为

化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l
3
:ρ(cos θ+sin θ)-

=0,M为l
3
与C的交点,求M的极径.
【解析】(1)消去参数t得l
1
的普通方程为y=k(x-2);
消去参数m得l
2
的普通方程为y=
(x+2).

-
设P(x,y),由题设得

消去k得x
2
-y
2
=4(y≠0),
所以C的普通方程为x
2
-y
2
=4(y≠0).
(2) C的极坐标方程为ρ
2
(cos
2
θ-sin
2
θ)=4( 0<θ<2π,θ≠π),

联立得
-

cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).
故tan θ=-,从而cos
2
θ=
,sin
2
θ=.

代入ρ
2
(cos
2
θ-sin
2
θ)=4得ρ
2
=5,
所以交点M的极径为

.

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

4.(优质试题全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C
1
的参数方程为

(t
为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
C
2
:ρ=4cos θ.
(1)说明C
1
是哪一种曲线,并将C
1
的方程化为极坐标方程;
(2)直线C
3
的极坐标方程为θ=α
0
,其中α
0
满足tan α
0
=2,若曲线C
1
与C
2
的公共点都在C
3
上,求a.
【解析】(1)消去参数t得到C
1
的普通方程为x
2
+(y-1)
2
=a
2
,则C
1是以(0,1)为圆
心,a为半径的圆.
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C
1
的普通方程中,得到C
1
的极坐标方程为ρ
2
-
2ρsin θ+1-a
2
=0.
(2)曲线C
1
,C
2
的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0,由方程组得16cos
2
θ-8sin θcos θ+1-a
2
=0,
由已知tan θ=2,可得16cos
2
θ-8sin θcos θ=0,
从而1-a
2
=0,解得a=-1(舍去)或a=1.
当a=1时,极点也为C
1
,C
2
的公共点,且在C
3
上.
所以a=1.
5.(优质试题全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6) 2
+y
2
=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;

(2)直线l的参数方程是

(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=

,求l
的斜率.
【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ
2
+12ρcos
θ+11=0.

(2)(法一)由直线l的参数方程

(t为参数),消去参数得y=x·tan α.
设直线l的斜率为k,则直线l的方程为kx-y=0.

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

由圆C的方程为(x+6)
2
+y
2
=25知,圆心坐标为(-6,0),半径为5.
又∣AB∣=

,由垂径定理及点到直线的距离公式得

-

=

,即
=
,
整理得k
2
=
,解得k=±

,

即l的斜率为±

.

(法二)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).
设A,B 所对应的极径分别为ρ
1
,ρ
2
,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得 ρ+12ρcos α+11=0,
2
于是ρ
1
+ρ
2
=-12cos α,ρ
1
ρ
2
=11.
|AB|=|ρ
1
-ρ
2
|=

-

=

.
由|AB|=

得cos
2
α=
,可得tan α=±

.

所以l的斜率为±

考点
不等式选讲
二

.

6.(优质试题全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=-x
2
+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.
【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

x
2
-x+|x+1|+|x-1|-4≤0. ①
当x<-1时,①式化为x
2
-3x-4≤0,无解;
当-1≤x≤1时,①式化为x
2
-x-2≤0,解得-1≤x≤1;
当x>1时,①式化为x
2
+x-4≤0,
解得1-

.
-

所以f(x)≥g(x)的解集为x-1≤x≤
(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2,
.
所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]等价于当x∈[-1,1]时,f(x)≥2.
又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,
所以f(-1)≥2且f(1)≥2,解得-1≤a≤1.
所以a的取值范围为[-1,1].
7.(优质试题全国Ⅱ卷) 已知a>0,b>0,a
3
+b
3
=2.证明:
(1)(a+b)(a
5
+b
5
)≥4;
(2)a+b≤2.
【解析】(1)(a+b)(a
5
+b
5)=a
6
+ab
5
+a
5
b+b
6

=(a
3
+b
3
)
2
-2a
3
b
3
+ab(a
4
+b
4
)=4+ab(a
2
-b
2
)
2
≥4.
(2)因为(a+b)
3
= a
3
+3a
2
b+3ab
2
+b
3

=2+3ab(a+b)≤2+

(a+b)=2+

,
所以(a+b)
3
≤8,所以a+b≤2.
8.(优质试题全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x
2
-x+m的解集非空,求m的取值范围.
-
【解析】(1)f(x)=

- -

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

当x<-1时,f(x)≥1无解;
当-1≤x≤2时,由f(x)≥1,得2x-1≥1,
解得1≤x≤2;
当x>2时,由f(x)≥1,解得x>2.
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)由f(x)≥x
2
-x+m,得
m≤|x+1|-|x-2|-x
2
+x.
而|x+1|-|x-2|-x
2
+x≤|x|+1+|x|-2-x
2
+|x|
=-

-

+≤
,

且当x=时,|x+1|-|x-2|-x
2
+x=
,

故m的取值范围为

-
.

9.(优质试题全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.

-

- -
【解析】(1)由题意得f(x)=

-

故y=f(x)的图象如图所示.

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

(2)由f(x)的函数表达式及图象可知,
当f(x)=1时,可得x=1或x=3;
当f(x)=-1时,可得x=或x=5.

故f(x)>1的解集为{x|1
f(x)<-1的解集为

或

.

所以|f(x)|>1的解集为

或或

.

10.(优质试题全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=x-+x+
,M为不等式f(x)<2的解集.

(1)求M;
(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.

-

【解析】(1)f(x)=

当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得-1

当-
时,f(x)<2;

当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得
≤x<1.

综上,f(x)<2的解集M={x|-1(2)由(1)知,当a,b∈M时 ,-12
-(1+ab)
2
=a 2
+b
2
-a
2
b
2
-1=(a
2
-
1)(1-b
2
)<0.

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

因此|a+b|<|1+ab|.

高频考点:参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和普通方程的互化、直线
的参数方程中t的几何意义的应用、利用圆锥曲线的参数方程求最值、 ρ的几何
意义、平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化,绝对值三角不等式的应用,
均值不等式的应用,不等式的证明以及柯西不等式的简单应用.
命题特点:1.考查极坐标方程及其应用、参数方程及其应用、参数方程和极坐
标方程与普通方程的转化.
2.直线的参数方程中t的几何意义的应用,注意定点在曲线两交点之间还是在
两交点同侧.
3.直线与曲线相交,求两点之间的距离经常考查ρ的几何意义.
4.图形的伸缩变换,以及求轨迹方程.
5.利用圆锥曲线的参数方程中三角函数的有界性求最值.
6.零点分段法是解决绝对值不等式问题常用的方法,也可以将绝对值函数转化
为分段函数,借助图象解题.
7.利用分析法,综合法,比较法,反证法对不等式进行证明.
8.根据绝对值三角不等式的恒成立问题求最值,进而求解参数的取值范围.
§22.1 坐标系与参数方程

一极坐标系

1.极坐标的概念
(1)极坐标系:

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

如图,在平面内取一个定点O,叫作 ,由O点引一条射线Ox,叫
作 ,选定一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),这样就确
定了一个平面极坐标系,简称为 .
(2)极坐标:对于平面内任意一点M,用ρ表示线段OM的长,θ表示以Ox为始边、
OM为终边的角度,ρ叫作点M的 ,θ叫作点M的 ,有序实数对
(ρ,θ)叫作点M的极坐标,记作M(ρ,θ).
2.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化背景:把平面直角坐标系的原点作为极点 ,x轴的正半轴作为极轴,建立
极坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图.
(2 )互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是
(ρ,θ)(ρ>0, θ∈[0,2π)),则极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点M
直角坐标
(x,y)
互化

公式

在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M所在的象限取最小正角.

二参数方程

1.曲线的参数方程
极坐标
(ρ,θ)
ρ
2
=

tan
θ=
(x≠0)

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

在平面直角坐标系xOy中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变量t的

函数,即

并且对于t的每一个允许值,上式所确定的点M(x,y)都在这条曲

线上,那么称上式为该曲线的 ,其中变量t称为 .
2.一些常见曲线的参数方程
(1)过点P
0
(x
0
,y
0
),且倾斜角为α的直线的参数方程为 .
(2)圆(x-a )
2
+(y-b)
2
=r
2
的参数方程为 .
(3)椭圆

+

=1(a>b>0)的参数方程为 .

3.直线的参数方程的标准形式的应用

(1)已知直线的参数方程为

(t为参数),M
1
,M
2
是直线上的两点,其

对应的参数分别为t
1
,t
2
,则 M
1
M
2
=|t
1
-t
2
|.
(2)若线段M
1
M
2
的中点M所对应的参数为t,则t= ,中点M到定点
M
0
(x
0
,y
0
)的距离MM 0
=|t|=

.
(3 )若M
0
(x
0
,y
0
)为线段M
1
M 2
的中点,则t
1
+t
2
= .

? 左学右考

1 写出下列曲线的极坐标方程
曲线图形极坐标方程

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

圆心在极
点,半径
为r的圆
圆心为
(r,0),半径
为r的圆
圆心为

,半
径为r的
圆
过极点,
倾斜角
为α的
直线
过点
(a,0)(a>0
),与极轴
垂直的
直线
过点

(a>
0),与极
轴平行
的直线
过点
(a,0)(a>0
),倾斜角
为α的
直线

ρ=2rcos θ

-

(1)θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R)

(2)θ=α(ρ≥0)和θ=π+α(ρ>0)

ρcos θ=a

-

2 直角坐标方程x
2
+y
2
-8y=0的极坐标方程为 .
3 极坐标方程ρ=6cos

-

的直角坐标方程为 .

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

4 在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建

立极坐标系,已知射线θ=与曲线

(t为参数)相交于A,B两点,则线段AB

-

的中点的直角坐标为 .

参数t∈R),圆C的参
5 在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为

(

数方程为

(参数θ∈[0,2π)),则圆心C到直线l的距离

是 .

知识清单
一、1.(1)极点极轴极坐标系 (2)极径极角
2.(2)ρcos θ ρsin θ x
2
+y
2

二、1.参数方程参数

2.(1)

(t为参数)

(2)

(θ为参数)

(3)

(θ为参数)

3.(2)

(3)0
基础训练
1.ρ=r(0≤θ<2π) ρ=2rsin θ(0≤θ<π)
ρsin θ=a(0<θ<π) ρsin(α-θ)=asin α(α-π<θ<α)
2.【解析】因为x
2
+y
2
=ρ
2
,y=ρsin θ,所以原方程可化为ρ
2
-8ρsin θ=0.所以
ρ=0或ρ=8sin θ.经检验,得所求的极坐标方程为ρ=8sin θ.
【答案】ρ=8sin θ

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

3.【解析】原方程可化为ρ=6cos θcos +6sin θsin
,

方程两边同乘ρ,得ρ
2
=3ρcos θ+3

ρsin θ,
由ρ
2
=x
2
+y
2
,ρcos θ=x,ρsin θ=y,
得所求的直角坐标方程为x
2
+y
2
-3x-3

y=0.
【答案】x
2
+y
2
-3x-3

y=0
4.【解析】记A(x
1
,y
1
),B(x
2,y
2
),将射线θ=
转化为直角坐标方程为y=x(x≥0),曲线为

y=(x-2)
2
,联立上述两个方程得x
2
-5x+4 =0,所以x
1
+x
2
=5,故线段AB的中点坐标为

.
【答案】

5.【解析】直线方程可化为x-y+1=0,圆的方程可化为(x-1)
2+y
2
=1.由点到直线的距
离公式可得,圆心C(1,0)到直线l的距离为 【答案】

题型
平面直角坐标系中的伸缩变换
一

【例1】将圆x2
+y
2
=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得
曲线C.

=

.

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

(1)求曲线C的标准方程;
(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P
1
,P
2
,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极
轴,取相同长度单位建立极坐标系,求过线段P
1
P
2
的中点且与l垂直的直线的极坐标
方程. 【解析】(1)设(x
1
,y
1
)为圆上的点,在已知变换下变为曲线 C上的点(x,y),

依题意得

由

+

=1得x+

=1,

2
2

故曲线C的标准方程为x
+=1.

(2)由

解得

或

-

不妨设P
1
(1,0),P
2
(0,2),则线段P1
P
2
的中点坐标为

,则所求直线的斜率为k=
,

于是所求直线的方程为y-1=

-

,

化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,
故所求直线的极坐标方程为ρ=

-

.

(1)解答该类问题应明确两点:一是理解平面直角坐标系中的伸缩变换公式
的意义与作用;二是明确变换前的点P(x,y)与变换后的点P'(x',y')的坐标关系,用方
程思想求解.
(2)求交点坐标,得直线方程,最后化为极坐标方程,其实质是将x=ρcos
θ,y=ρsin θ代入转化.

【变式训练1】在平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:

(1)求点A

- 经过φ变换所得点A'的坐标;

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

(2)求直线l:y=6x经过φ变换后所得直线l'的方程.

【解析】(1)设点A'(x',y'),由伸缩变换φ:

∴x'=

×3=1,y'=
-
=-1.

得

∴点A'的坐标为(1,-1).
(2)设P'(x',y')是直线l'上任意一点.

由伸缩变换φ:

得

代入y=6x,得2y'=6·
=2x',即y'=x'.

∴直线l'的方程为y=x.

题型
直角坐标方程和极坐标方程的互化
二

【例2】在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ
2
=

,以极点O为直角坐
标原点,极轴为x轴的正半轴,取相同长度单位建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)设曲线C与x轴,y轴的正半轴分别交于点A,B, P是曲线C上一点,求△ABP
面积的最大值.
【解析】(1)因为曲线C的极坐标方程为ρ
2
=
9ρ
2
+7ρ
2
sin
2
θ =144.
由ρ
2
=x
2
+y
2
,y=ρsin θ,
可得曲线C的直角坐标方程为9x
2
+9y
2
+7y
2
=144,

,所以

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

即曲线C的直角坐标方程为
+=1.

(2)因为曲线C与x轴,y轴的正半轴分别交于点A,B,所以A(4,0),B(0,3).
所以直线AB的方程为3x+4y-12=0.
设P(4cos θ,3sin θ),则P到直线AB的距离
d=
-

-

=

.

.
当θ=时,d
max
=
故△ABP面积的最大值为
×| AB|×

=6(

+1).

(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=ρcos θ及y=ρsin θ直接
代入化简即可.
(2)极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ
的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边平方是常用
的变形方法.
2
【变式训练2】(1)在平面直角坐标系xOy中,圆C
1
:(x-3)
2
+y
2
=9,以坐标原点O为
极点,x轴正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,圆C
2
的圆心的极坐标为

,半径为1.
①求圆C
1
的极坐标方程;
②设圆C
1
与圆C
2
交于A,B两点,求|AB|.
(2)在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l: ρsin

-

=
,以极

点为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴,取相同长度单位建立平面直角坐标系.
①求圆O和直线l的直角坐标方程;
②当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.
【解析】(1)①圆C
1
:(x-3)
2
+y
2
=9,展开可得x
2
+ y
2
-6x=0,

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

可得极坐标方程为ρ
2
-6ρcos θ=0,即ρ=6cos θ.
②圆C
2
的圆心的极坐标为

,

化为直角坐标为(1,1),可得圆C
2
的直角坐标方程为(x-1)2
+(y-1)
2
=1.
由圆C
1
与圆C
2
的方程相减可得公共弦所在的直线方程为4x-2y+1=0.
圆心(1,1)到直线4x-2y+1=0的距离d=
故弦长|AB|=2

=

.

-

=

,
(2)①圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ
2
=ρcos θ+ρsin θ,
则圆O的直角坐标方程为x
2
+y
2
=x+y,
即x
2
+y
2
-x-y=0.
直线l:ρsin

-

=
,即ρsin θ-ρcos θ=1,

则直线l的直角坐标方程为y-x=1,即x-y+1=0.

- -

②由
得

-
故直线l与圆O公共点的一个极坐标为

.

题型
参数方程与普通方程的互化
三

【例3】已知椭圆C:
+=1,直线l:
(t为参数).

(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程;
(2)设A(1,0),若椭圆C上的点 P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等,求
点P的坐标.

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

【解析】(1)椭圆C的参数方程为

(θ为参数),直线l的普通方程

为x-

y+9=0.
(2)设P(2cos θ,

sin θ),则|AP|=

-

=2-cos θ,
点P到直线l的距离d=
- -

=

.
由|AP|=d得3sin θ-4cos θ=5,
又sin
2
θ+cos
2
θ=1,解得sin θ=
,cos θ=-,

故点P的坐标为

-

.

(1)参数方程化为普通方程的基本方法就是消参法,常用的消参技巧有代入消
元、加减消元、平方后再加减消元等.对于与角θ有关的参数方程,经常用到公式
sin
2
θ+c os
2
θ=1.将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注意其中的x,y的取值
范围 ,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.
(2)直线、圆、圆锥曲线的普通方程有其较为固定的参数方程,只需套用公式即
可.

【变式训练3】已知曲线C的参数方程为

(α为参数),直线l的
参数方程为

t(

为参数).
(1)求曲线C与直线l的普通方程;
(2)若直线l与曲线C相交于P,Q

两点,且|PQ|=,求实数

m的值.

【解析】(1)由

得

-
①的平方加②的平方,得曲线C的普通方程为

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

x
2
+(y-m)
2
=1.
由x=1+
t,得t=x-1,代入y=4+

t

得y=4+2(x-1),
所以直线l的普通方程为y=2x+2.
(2)圆心(0,m)到直线l的距离d=
所以由勾股定理,得

-

-

,

+

=1,

解得m=3或m=1.

题型
极坐标与参数方程的综合问题
四

【例4】在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴
建立极坐标系.已知直线l上两点M,N的极坐标分别为(2,0),

程为

(θ为参数).

,圆C的参数方

(1)设P为线段MN的中点,求直线OP的直角坐标方程;
(2)判断直线l与圆C的位置关系.
【解析】(1)因为M,N的极坐标分别为(2,0),

所以M,N的直角坐标分别为(2,0),

.

,

,

又因为P为线段MN的中点,所以点P的直角坐标为

所以直线OP的直角坐标方程为y=
x.

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

(2)因为圆C的参数方程为

(θ为参数),

所以圆C的直角坐标方程为(x-2)
2
+(y+3)
2
=4,
可知圆C的圆心坐标为(2,-3),半径为2.
由直线l上两点M,N的直角坐标分别为(2,0),

程为x+

y-2=0.
所以圆心C到直线l的距离为
所以直线l与圆C相离.

求解参数方程与极坐标方程的综合问题的一般思路:分别化为普通方程和直角
坐标方程后求解.转化后可使问题变得更加直观,它体现了化归思想的具体运用.当
然,还要结合题目本身特点,确定选择何种方程.
【变式训练4】在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知圆C的参数方程为

坐标方程为

ρcos

-

=3.

(1)求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程;
(2)求圆C上的点P到直线l距离的最小值和最大值.
【解析】(1)∵直线l的极坐标方程为

ρcos

-

=3,

∴ρcos θ+ρsin θ=3,即直线l的直角坐标方程为x+y-3=0.

∵圆C的参数方程为

(α为参数),

消去参数得(x-1)
2
+y
2
=1,
即圆C的普通方程为(x-1)
2
+y
2
=1.
(2)由圆C的普通方程为(x-1)
2
+y
2
=1,可知圆心C(1,0),半径r =1.

>2.

-

-

,可知直线l的直角坐标方
=

(α为参数),直线l的极

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

则圆心C到直线l的距离d=
-

==

>1,故直线l与圆C相离,

故圆C上的点P到直线l距离的最小值是

-1,最大值是

+1.

方法
直线参数方程中参数t的几何意义
一

过定点M
0
(x
0 ,y
0
),倾斜角为α的直线的参数方程为

(t为参数).

①
通常称①为直线l的参数方程的“标准式”.
参数t的几何意义:
|t|是直线上任一点M(x,y)到点M
0
(x
0
,y
0
)的距离,即| M
0
M|=|t|.
若t>0,则

的方向向上;若t<0,则

的方向向下;若t=0,则点M与点M
0
重

合.即当点M在M
0
上方时,有t=|

|;当点M在M
0
下方时,有t=-|

|.
该参数t经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中,解题时通常过某定点作一直
线与圆锥曲线相交于A,B两点,所求问题与定点到A,B两点的距离有关.解题时主要
应用定点在直线A B上,利用参数t的几何意义,结合根与系数的关系进行处理,巧妙
求出问题的解.
【突破训练1】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立
极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度.已知曲线C:ρsin
2
θ=2acos θ(a>0),过点
P(-2,-4)的直线l的参数方程为

于M,N两点.

(t

为参数).直线l与曲线C分别交

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

(1)求实数a的取值范围;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求实数a的值.
【解析】(1)由题意 ,可得曲线C的直角坐标方程为y
2
=2ax(a>0),将直线l的参

数方程

(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程,得
t
2
-

(4

+

a)t+16+4a=0,因为直线l与曲线C交于M,N两点,
所以Δ>0,解得a>0或a<-4.
又a>0,所以实数a的取值范围为(0,+∞).
(2)设交点M,N对应的参数分别为t
1
,t
2
.
则由(1)知,t
1
+t
2
=2(4

+

a),t
1
t
2
=2(16+4a),
若 |PM|,|MN|,|PN|成等比数列,则|t
1
-t
2
|
2 =|t
1
t
2
|.
解得a=1或a=-4(舍去),所以实数a的值为1.

方法
ρ的几何意义的应用
二

在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用
极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.同
时,注意数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用 ρ和
θ的几何意义,直接求解,达到化繁为简的目的.

【突破训练2】在直角坐标系xOy中,半圆C的参数方程为

(φ

为参数,0≤φ≤π).以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C的极坐标方程;
(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ+

cos θ)=5

,射线OM:θ=与半圆C

的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

θ, 【解析】(1)半圆C的普通方程为(x-1)
2
+y
2
=1(0≤y ≤1),又x=ρcos θ,y=ρsin
所以半圆C的极坐标方程是ρ=2cos θ,θ∈
.

(2)设(ρ
1
,θ
1
)为点P的极坐标,

解得

则有

设(ρ
2
,θ
2
)为点Q的极坐标,

则有解得

因为θ 1
=θ
2
,所以|PQ|=|ρ
1
-ρ
2
| =4,
所以线段PQ的长为4.

方法
圆锥曲线参数方程的应用
三

椭圆的参数方程的实质是三角代换,有关椭圆上的动点距离的最大值、最小值
以及取值范围的问题,通常利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值
求解. 【突破训练3】在平面直角坐标系xOy中,动圆x
2
+y
2
-4
xcos θ-4ysin
θ+7cos
2
θ-8=0(θ为参数 )的圆心轨迹为曲线C,点P在曲线C上运动.以O为极
点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若直线 l的极坐标方程为2ρcos

π3=35,求点P到直线l的最大距离.
【解析】将动圆的方程配方,得
(x-2

cos θ)
2
+(y-2sin θ)
2
=9+3sin
2
θ,

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

设圆心(x,y),则

(θ为参数),

即曲线C的参数方程为

(θ为参数),

直线l的直角坐标方程为x-

y-3

=0.

-

-

设点P(x
1
,y
1
),则

点P到直线l的距离d=

=
,
其中tan φ=-
.
∴当sin(θ
1
+φ)=-1时,点P到直线l的距离d取得最大值
【答案】

.

1.(优质试题长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为

(α为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程
为ρsin

-

=

.

(1)求C的普通方程和l的倾斜角;
(2)设点P(0,2),l和C交于A,B两点,求|PA|+|PB|的值.

2
【解析】(1)由

(α为参数),消去参数α,得
+y=1,

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

即C的普通方程为
+y
2
=1.

由ρsin

-

=

,得ρsin θ-ρcos θ=2, (*)

将

代入(*),化简得y=x+2,

所以直线l的倾斜角为
.

(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可设直线l的参数方程为

(t为

(t为参数),
参数),即

代入
+y
2
=1并化简,得5t
2
+18

t+27=0,

Δ=(18

)
2
-4×5×27=108>0,
设A,B两点对应的参数分别为t
1
,t
2
,
则t
1
+t
2
=-

 <0,t
1
t
2
=>0,所以t
1
<0,t
2
<0,

.

所以|PA|+|PB|=|t
1
|+|t
2
|=-(t
1
+t
2
)=

2.(优质试题合肥调研)在直角坐标系xOy中,曲线C: (α为参数),

在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l:ρsin θ+ρcos θ=m.
(1)若m=0,判断直线l与曲线C的位置关系;
(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为,求实数m的取值范围.

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

【解析】 (1)曲线C的普通方程为(x-1)
2
+(y-1)
2
=2,其表示圆心为 (1,1),半径为

的圆;直线l的直角坐标方程为x+y=0,
圆心C到直线l的距离d=
所以直线l与圆C相切.
(2)直线l的直角坐标方程为x+y-m=0,
由已知可得,圆心C到直线l的距离d=
所以实数m的取值范围为[-1,5].
3 .(优质试题石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中,曲线C:(x-1)
2
+y
2
=1.直线l经过
点P(m,0),且倾斜角为
.

-

=

=r,
≤

,解得-1≤m≤5.

(1)求圆C和直线l的参数方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|PA|·|PB|=1,求实数m的值.
【解析】(1)由曲线C:(x-1)
2
+y
2
=1,
得参数方程为

(θ为参数),

(t
直线l的参数方程为

为参数).
(2)设A,B两点对应的参数分别为t
1
,t
2
,
将直线l的参数方程代入x
2
+y
2
=2x中,
得t
2
+(

m-

)t+m
2-2m=0,所以t
1
t
2
=m
2
-2m,
由题意得Δ>0,|m
2
-2m|=1,得m=1,m=1+

或m=1-

.

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

4.(优质试题唐山质检)已知曲线C
1
:x+

y=

和C
2
: (φ为参数).以原

点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单
位.
(1)把曲线C
1
和C
2
的方程化为极坐标方程;
(2) 设C
1
与x轴,y轴交于M,N两点,且线段MN的中点为P.若射线OP与C
2交于点Q,
求P,Q两点间的距离.
【解析】(1)曲线C
1
化为ρcos θ+

ρsin θ=

.
即ρsin

=
.

曲线C
2
化为+=1, (*)

将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(*)式,
得
cosθ+sin
2
θ=1,即ρ
2
(cos
2
θ+3sin
2
θ)=6.
2

∴曲线C
2
的极坐标方程为ρ
2
=
(2)∵M(

,0),N(0,1),∴P

.

,

∴OP的极坐标方程为θ=
,
把θ=代入ρsin

=
,得ρ
1
=1,P

.

把θ=代入ρ
2
=

,得ρ
2
=2,Q

.

∴|PQ|=|ρ
2
-ρ
1
|=1,即P,Q两点间的距离为1.
5.(优质试题贵阳调研)以直角坐标系中的原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐
标系中, 已知曲线的极坐标方程为ρ=

.

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)过极点O作直线l交曲线于P,Q两点,若|OP|=3|OQ|,求直线l的极坐标方程.
【解析】(1)∵ρ=

,ρsin θ=y,
ρ=

化为ρ-ρsin θ=2,
∴曲线的直角坐标方程为x
2
=4y+4.
(2)设直线l的极坐标方程为θ=θ
0
(ρ∈R),
根据题意

=3×

,
解得θ
0
=
或θ
0
=
,
∴直线l的极坐标方程为θ=
(ρ∈R)或θ=(ρ∈R).

 6.(优质试题赤峰模拟)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,与
直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线C的参数方程为

(θ为参数),直线l的极坐标方程为ρsin

-

=2.

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)求曲线C上的点到直线l的最大距离.
【解析】(1)由ρsin

-

=2得ρ(

sin θ-cos θ)=4,

所以直线l的直角坐标方程为x-

y+4=0,

2

由

得曲线C的普通方程为x
+=1.

(2)在C上任取一点P(cos θ,

sin θ),则点P到直线l的距离
-

d==
,

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

其中cos φ=

,sin φ=

,
所以当cos(θ+φ)=1

时,d
max
=2+.

7.(优质试题铁岭模拟)在极坐标系Ox中,曲线C
1
的极坐标方程为ρsin θ =2,M是
C
1
上任意一点,点P在射线OM上,且满足|OP|·|OM|=4,记点P的轨迹为C
2
.
(1)求曲线C
2
的极坐标方程;
(2)求曲线C
2
上的点到直线ρcos

=

距离的最大值.

【解析】(1)设P(ρ
1
,θ),M(ρ
2
,θ),
由|OP|·|OM|=4,得ρ
1
ρ
2
=4, (*)
因为M是C
1
上任意一点,所以ρ
2
sin θ=2,代入(*)得ρ
1
=2sin θ.所以曲线C
2
的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(2)由ρ=2sin θ,得ρ
2
=2ρsin θ,即x
2
+y
2
-2y=0,
化为标准方程为x
2
+(y-1)
2
=1,
则圆C
2
的圆心坐标为(0,1),半径为1,
由直线ρcos

=

,

得ρcos θcos
-ρsin θsin =

,即x-y=2,

圆心(0,1)到直线x-y=2的距离
d=
- -

=
,

.

所以曲线C
2
上的点到直线ρcos

=

距离的最大值为1+

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

8.(优质试题南京、盐城、徐州、连云港四市模拟)在平面直角坐标系xOy中,以坐
标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线l的极坐标方程为
ρ

sin

- =
,椭圆

C的参数方程为

(t为参数).

(1)求直线l的直角坐标方程与椭圆C的普通方程;
(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,求线段AB的长.
【解析】(1)由ρsin

- =
得ρ

- =
,所以直线l的直角坐

标方程为
x-y=
,

化简得y=

x-

,即直线l的直角坐标方程为y=

x-

.
由

+

=cost+sint=1得椭圆C的普通方程为+=1.

22

(2)联立直线方程与椭圆方程得

消去y并整理得5x
-8x=0,解得x
1
=0,x
2
=
,所以
2

A(0,-

),B

或

A

,B(0,-

).

-

-

=

.
所以AB=

9.(优质试题邯郸调研)在极坐标系中,已知直线l过点 A(1,0),且其向上的方向与极
轴的正方向所成的最小正角为,求:

(1)直线的极坐标方程;
(2)极点到该直线的距离.

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

【解析】(1)如图,由正弦定理得

=

-
.

即ρsin

- =sin
=
,

∴所求直线的极坐标方程为ρsin

- =
.

(2)作OH⊥l,垂足为H,
在△OHA中,OA=1,∠OHA=,∠OAH=,

则OH=OAsin
=
,

即极点到该直线的距离等于
.

10.(优质试题黑龙江大庆二模)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为

t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的(

极坐标方程为ρ=asin θ.
(1)若a=2,求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程;
(2)设直线l截圆C所得弦的长等于圆C的半径长的

倍,求a的值.
【解析】(1)当a=2时,ρ=asin θ即为ρ=2sin θ,
化为直角坐标方程为x
2
+(y-1)
2
=1,

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

(t为参数)化为普通方程为4x+3y-8=0. 直线

(2)圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为x
+

-

=
,

2

因为直线l截圆C所得弦的长等于圆C的半径长的

倍,
所以圆心C到直线l的距离d=
-

=·
,

即2|3a-16|=5|a|,解得a=32或a=
.
11.(优质试题宁夏银川九中二模)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为

(θ为参数).

(1)以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程;
(2)已知A(-2,0),B(0,2),圆C上任意一点M(x,y),求△ABM面积的最大值.

【解析】(1)圆C的参数方程为

(θ为参数).

所以圆C的普通方程为(x-3)
2
+(y+4)
2
=4.
由x=ρcos θ,y=ρsin θ,可得(ρcos θ-3)
2
+(ρsin θ+4)
2
=4,
化简可得圆C的极坐标方程为ρ
2
-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.
(2)因为x,y满足

离d=
-

(θ为参数),点M(x,y)到直线AB:x-y+2=0的距

,

△ABM的面积S=×|AB|×d=|2cos θ-2sin θ+9|=

- ,
所以△ABM面积的最大值为9+2

.

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

12.(优质试题辽宁抚顺二模)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建

立极坐标系,直线l的参数方程为

(t为参数),曲线C
1
的极坐标方程为ρ(ρ-
4sin θ)=12,定点A(6,0),点P是曲线C
1
上的动点,Q为AP的中点.
(1)求点Q的轨迹C
2
的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C
2
交于M,N两点,且|MN|≥2

,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ,x
2
+y
2
=ρ
2
,
曲线C
1
的极坐标方程为ρ(ρ-4sin θ)=12,
可得曲线C1
的直角坐标方程为x
2
+y
2
-4y=12.
设点P(x',y'),Q(x,y),
-
由中点坐标公式,得

将其代入x
2
+y
2
-4y=12,

得点Q的轨迹C
2
的直角坐标方程为(x-3)
2
+(y-1)
2
=4.
(2)直线l的普通方程为y=ax,
设圆心C
2
到直线l的距离为d,由弦长公式可得,|MN|=2

-

≥2

,即d≤1.
可得圆心(3, 1)到直线l的距离d=
即4a
2
-3a≤0,解得0≤a≤
,

-

≤1,
故实数a的取值范围为
.

§22.2 不等式选讲

全国名校高考数学一轮复习优质学案专题汇编（附详解）

一绝对值三角不等式

1.定理1
如果a,b是实数,那么 ,对于|a+b|≤|a|+|b|,
当且仅当时,等号成立.
2.定理2
如果a,b,c是实数,那么 ,当且仅当
时,等号成立.

二绝对值不等式的解法

1.含绝对值的不等式|x|a的解集
不等
式
|x||x|>a
a>0

a=0
?
a<0
?
R

2.|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:
(1)数形结合法;
(2)零点分段法;
(3)构造函数法.

三不等式证明的方法
(-

∞

,0)∪(0,+∞

)