高中数学选修统计和概率

概率与统计知识点：
1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来 表示，并且X是随着试验的结
果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量． 随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母 ξ、
η等表示。
2、离散型随机变量：在上面的 射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可
以按一定次序一一列出，这样的随机变量 叫做离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x< br>1
,x
2
,..... ,x
i
,......,x
n

X取每一个值 x
i
(i=1,2,.. ....）的概率P(ξ=x
i
）＝P
i
，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，
简称分布列
4、分布列性质① p
i
≥0, i =1，2， … ；② p
1
+ p
2
+…+p
n
= 1．

5、二项分布：如果随机变量X的分布列为：




其中0
6、超几何分布：一般地, 设总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n(n≤N)件,这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，
kn?k
C
M
C
N?M
则它取值为k时的概率为
P(X?k)?(k?0,1,2,
n
C
N
,m)
，
其中
m?min
?
M ,n
?
,且
n≤N,M≤N,n,M,N?N

*
7、条件 概率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫做
条件概率.记作P( B|A)，读作A发生的条件下B的概率
8、公式：
P(AB)
P(B|A)?,P(A)?0.
P(A)

9、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件
叫 做相互独立事件。
P(A?B)?P(A)?P(B)


10、n次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
11、二项分布：

设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是 一个随机
变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n 次独
?C
n
pq
立重复试验中
P(
?
?k)
（其中 k=0,1, ……,n，q=1-p ）
于是可得随机变量ξ的概率分布如下：
kkn?k

1 4

这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ，其中n，p为参数
12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称 Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋… 为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期
望．是离散型随机变量。
13、两点分布数学期望：E(X)=np
14、超几何分布数学期望：E（X）=
n?
15、方差:D(ξ)=(x
1
-Eξ)
2
·P
1+（x
2
-Eξ)
2
·P
2
+......+（x
n
-Eξ)
2
·P
n
叫随机变量ξ的均方差，简
称方差。
16、集中分布的期望与方差一览：
M
.
N

两点分布
期望 方差
Dξ=pq，q=1-p
Eξ=p

超几何分布
M
D（X）=np（1-p）* （N-n）（N-1）
E
?
?n?

?
服从参数为N,M,n的超几何分布

N
（不要求）
二项分布，ξ ～ B（n,p）
Eξ=np



Dξ=qEξ=npq，（q=1-p）
几何分布，p(ξ=k)=g(k，p)
17.正态分布：
若概率密度曲线就是或近似地是函数
1

p
q
D
?
?
2

p
f(x)?

（
?
?0)
是参数，分别表示总体的平均数与标准差． 的图像，其中解析式 中的实数
?
、
?
则其分布叫正态分布
记作：N(
?
,
?
)
，f( x )的图象称为正态曲线。
18.基本性质：
1
e
2
??
(x?
?
)
2
?2
?
2
,x?(??,??)
2 4

①曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
?
②曲线关于直线x=
?
对称，且在x=时位于最高点.

③当时
x?
?
，曲线上升；当时
x?
?
，曲线下降．并且 当曲线向左、右两边无限延伸时，以x
轴为渐近线，向它无限靠近．

④当
?
一定时，曲线的形状由
?
确定．
?
越大，曲线越“矮胖”，表示 总体的分布越分散；
?
越
小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．
⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定.
⑥正态曲线下的总面积等于1.
19. 3
?
原则：
从上表看到,正态总体在
(
?< br>?2
?
,
?
?2
?
)
以外取值的概率 只有4.6%,在
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
以外取值的概率只有0.3% 由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率
事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.
考点：
1、概率的求解
2、期望的求解
3、正态分布概念
★★★1．(本小题满分12分)某项考试按科目
A
、科目
B
依次进行，只有当科目
A
成绩合格时，
才可以继续参加科目
B< br> 的考试。每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获
得该项合格证书，现在某 同学将要参加这项考试，已知他每次考科目
A
成绩合格的概率均为
每次考科目
B
成绩合格的概率均为
2
，
3
1
。假设他在这项考试中不放 弃所有的考试机会，且每次的
2
考试成绩互不影响，记他参加考试的次数为
X
。
(1)求
X
的分布列和均值；
(2)求该同学在这项考试中获得合格证书的概率。
★★★2（本小题满分12分）
济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园4个旅游景点，一位客人浏览这四个景点的概
率分别是0.3，0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设
?
表示客 人离开该
城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。
（1）求
?
=0对应的事件的概率； （2）求
?
的分布列及数学期望。
★★★3. 袋子中装有8个黑球，2个红球，这些球只有颜色上的区别。
3 4

（1）随机从中取出2个球，
?
表示其中红球的个数，求
?
的分布列及均值。
（2）现在规定一种有奖摸球游戏如下：每次取球一个，取后不放回，取到黑球有奖 ，第一
个奖100元，第二个奖200元，…，第
k
个奖
k?100
元，取到红球则要罚去前期所有奖金并结
束取球，按照这种规则，取球多少次比较适宜？说明理由。
第三章 统计案例
知识点：
1、独立性检验
假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x
1
, x
2
}和{y
1
, y
2
}，其样本频数列联表为：

x
1

x
2

总计

y
1

a
c
a+c
y
2

b
d
b+d
总计

a+b
c+d
a+b+c+d
若要推断的论述为H
1
：“X与Y有关系”，可以利用独 立性检验来考察两个变量是否有关系，
并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。具体的做法是，由表中 的数据算出随机变量K^2的
值（即K的平方） K
2
= n (ad - bc)
2
[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d为 样本容量，
2
K的值越大，说明“X与Y有关系”成立的可能性越大。
K
2
≤3.841时，X与Y无关； K
2
>3.841时，X与Y有95% 可能性有关；K
2
>6.635时X与Y
有99%可能性有关


4 4