(完整版)高中数学选修不等式选讲

不等式选讲（高考试题汇编）
一、知识点整合：
1． 含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|0)?－a(3)对形如|x－a|＋|x －b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值的几何意义求解．
2． 含有绝对值的不等式的性质
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.
3． 柯西不等式
(1)设a，b，c，d均为实数，则(a
2
＋b
2
) (c
2
＋d
2
)≥(ac＋bd)
2
，当且仅当ad＝bc 时等号
成立．
(2)若
nnn
aaa
*222
，当且仅 当
1
＝
2
＝…＝
n
(当某a
i
，b
i
(i∈N)为实数，则(
i
∑a)(∑b)≥(∑ab)
iiii
＝
1i
＝
1i
＝
1
b
1
b
2< br>b
n
b
j
＝0时，认为a
j
＝0，j
＝1, 2，…，n)时等号成立．
(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|· |β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量共线时等号
成立．
4． 不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．
二、典型题型
题型一 含绝对值的不等式的解法
例1 (2013·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)a1
－，
?
时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围． (2)设a>－1 ，且当x∈
?
?
22
?
a1
－，
?
时去绝 对值，利用函数最值求a的范围． 审题破题 (1)可以通过分段讨论去绝对值；(2)在x∈
?
?
22
?
解 (1)当a＝－2时，不等式f(x)设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
1
－5x，x<，
2< br>?
?
1
则y＝
?
－x－2，≤x≤1，
2
?
?
3x－6，x>1，
{x|0a1
(2)∵a>－1，则－<，
22
∴f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|


其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y<0，所以原不等式的解集是

a1
－，
?
时，f(x)＝a＋1， 当x∈
?
?
22
?
a1
－，
?
上恒成立． 即a＋1≤x＋3在x∈
?
?
22
?
a4
∴a＋1≤－＋3 ，即a≤，
23
4
－1，
?
. ∴a的取值范围为
?
3
??

反思归纳 这类不等式的解法是高考的热点．
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：
①求零点； ②划区间、去绝对值；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要
遗漏区间 的端点值．
(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易 懂，又简洁直观，
是一种较好的方法．
变式训练1 已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|－m.
(1)当m＝5时，求f(x)>0的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R，求m的取值范围．
题型二 不等式的证明
例2 (2012·福建)已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．
(1)求m的值；
111
＋
(2)若a，b，c∈R，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
a2b3c
审题破题 (1)从解不等式f(x＋2)≥0出发，将解集和[－1,1]对照求m；(2)利用柯西不等式证明．
(1)解 因为f(x＋2)＝m－|x|，
f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．
又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.
111
(2)证明 由(1)知＋＋＝1，
a2b3c
又a，b，c∈R，由柯西不等式得
111?
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)
?
?
a
＋
2b
＋
3c
?

111
≥
?
a·＋2b·＋3c·
?
2
＝9.
a2b3c
??
反思归纳 不等式证明的基本方法是比较法、综合法、分析法、反证法 、放缩法和数学归纳法，其中以比较
法和综合法最为基础，使用综合法证明不等式的关键就是通过适当的 变换后使用重要不等式，证明过程注意
从重要不等式的形式入手达到证明的目的．
变式训练2 已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)<4的解集为M.
＋

(1)求M；
(2)当a，b∈M时，证明：2|a＋b|<|4＋ab|.
题型三 不等式的综合应用
例3 (2012·辽宁)已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x |－2≤x≤1}．
(1)求a的值；
?
x
??
≤k恒成立，求k的取值范围． (2)若
?
f?x?－2f
??
2
??
审题破题 (1)|ax＋1|≤3的解集为[－2,1]，对照即可；(2)可通过函数最值解决恒成立
问题．
解 (1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.
又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，
所以当a≤0时，不合题意．
42
当a>0时，－≤x≤，得a＝2.
aa
x
?
(2) 记h(x)＝f(x)－2f
?
?
2
?
，
?
?< br>－4x－3，－11
，
2
则h(x)＝
?
1
?
－1，x≥－，
?
2
所以|h(x)|≤1，因此k≥1.
1，x≤－1，


反思归纳 不等式f(a)≥g(x)恒成立时，要看是 对哪一个变量恒成立，如果对于?a∈R恒成立，则f(a)的最
小值大于等于g(x)，再解关于x的 不等式求x的取值范围；如果对于?x∈R不等式恒成立，则g(x)的最大值
小于等于f(a)，再解 关于a的不等式求a的取值范围．
变式训练3 已知函数f(x)＝log
2
(|x－1|＋|x－5|－a)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的最小值；
(2)当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围．
变式训练4 设f(x)＝|x|＋2|x－a|(a>0)．
(1)当a＝1时，解不等式f(x)≤8；
(2)若f(x)≥6恒成立，求正实数a的取值范围．
三、专题限时规范训练
一、填空题
1． 不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为________．
x＋y
xy
2． 设x>0，y>0，M＝，N＝＋，则M、N的大小关系为__________．
2＋x＋y2＋x2＋y
3． 对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．
4． 若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．
二、解答题
5． 设不等式|2x－1|<1的解集为M.
(1)求集合M；