高中数学选修中的重点知识内容

2020年9月20日发(作者：尚和玉)

高中数学选修中的重点知识内容
以及内容解析
王艳坤
选修课程是 必修课程的进一步拓展和延伸，是在学生修完必修课程之后自
主选择的课程。数学选修课程的教学应在进 一步夯实数学基础知识、基本技
能、基本体验和基本思想的理念下体现选择性，以满足学生的数学兴趣和 对
未来发展的需求，为学生进一步学习、获得较高数学素养奠定基础。在选修
课的教学中，要重 点关注数学的科学价值、应用价值和人文价值，数学探究、
数学建模等新的学习方式应当贯穿于过程的始 终。这样更有利于促进学生更
加主动地钻研数学，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，形成
科学的世界观和方法论。
高中文科数学选修课程结构
类别
必选
模块
模块（专题）名称
选修1—1
选修1—2
选修4—4
总课时
36
36
18
18
或专
选修4—7
题

选
选修3—1；选修3—2；选修3
—3；选修3—4；

各学校根据本学校 实际
情况从任选专题中选择若
干专题实施教学，每专题建

专
题
选修3—5；选修3—6；选修4议18课时。
—1；选修4—2；
选修4—3；选修4—5；选修4
—6；选修4—8；
选修4—9；选修4—10。


高中理科数学选修课程结构
类别
必
选
模
块
或
专
题
任
选
模块（专题）名称
选修2—1
选修2—2
选修2—3
选修4—1
选修4—4
选修4—5

选修4—7
总课时
36
36
36
18
18
18
18
选修3—1；选修3—2；选修3各学校根据本学校实际情况
—3；选修3—4；
选 修3—5；选修3—6；选修4
从任选专题中选择若干专题
实施教学，每专题建议18

专
题
—2；选修4—3；
选修4—6；选修4—8； 选修4
—9；选修4—10。
课时。


（1）《选修1-1》（常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应
用）
重点知识内容
①常用逻辑用语包括命题及其关系；充分条件与必要条件；简单的逻辑联
结词；全称量词与存在量词。
②圆锥曲线与方程在这一章学习椭圆；双曲线；抛物线三种曲线定义及性
质。

③导数及其应用包括变化率与导数；导数的计算；导数在研究函数中的应
用；生活中的优化问题举例。

内容解析
常用逻辑用一章中了解命题的逆命题、否命题与逆否命题以及四种命题之
间的关系，会分析四种命题的相互关系。理解必要条件、充分条件与充要条
件的意义，对逻辑联 结词“或”“且”“非”的含义，只要求通过数学实例
加以了解，使学生正确地表述相关的数学内容。通 过生活和数学中的丰富实

例，理解全称量词与存在量词的意义。能正确地对含有一个量词 的命题进行
否定。
圆锥曲线与方程在这一章经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程，掌握
椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质。了解双曲线的定义、几何图形和
标准方程，知道它们 简单几何性质。了解抛物线的定义、几何图形和标准方
程，知道它们简单几何性质。
导数及其 应用这一章通过事例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率
的过程，了解导数概念的实际背景，知道 瞬时变化率就是导数，体会导数的
思想及其内涵。通过函数图象直观地理解导数的几何意义。能根据导数 定义，
求函数 的导数。利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法
则，求简单函 数的导数。会使用导数公式表。结合实例，借助几何直观探索
并了解函数的单调性与导数的关系；能利用 导数研究函数的单调性，会求不
超过三次的多项式函数的单调区间。结合函数的图象，了解函数在某点取 得
极值的必要条件和充分条件，会利用导数求不超过三次的多项式函数的极大
值，极小值，以及 在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值，最小值。
通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问
题中的作用。
（2）《选修1-2》（统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的
引入、框图）
重点知识内容
统计案例这一章主要内容回归分析的基本思想及其初步应用独立性检验
的基本思想及其初步应用。

推理证明这一章主要内容合情推理与演绎推理直接证明与间接证明。
数系的扩充与复数的引入这一章主要内容数系的扩充和复数的概念，数代
数形式的四则运算。
框图这一章主要内容流程图，结构图。
内容解析
统计案例通过对典型案例的探究， 进一步了解回归的基本思想、方法及初
步应用。通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求 ）的基本思想、
方法和初步应用，更符合学生的认知规律。
推理证明结合已学过的数学和生活 中的实例，了解合情推理的含义，能利
用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现 中的作
用。结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握
演绎推理的基 本方法，并能运用它们进行一些简单推理。通过具体实例，了
解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 结合已经学过的数学实例，了解
直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考 过
程、特点。结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反
证法；了解反证法 的思考过程、特点。对学生今后学习非常重要，这章编写
加大了弹性，好学生可对自己提出较高的要求， 通过思考与讨论、探索与研
究，适当加大解题的训练，初步形成用推理论证、解决问题的能力。
数系的扩充与复数的引入是在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际
需求与数学内部的矛盾在数系 扩充中的作用，感受人类理性思维的作用以及
数与现实世界的联系。理解复数的基本概念以及复数相等的 充要条件。了解
复数代数形式的加、减运算的几何意义，能进行复数代数形式的四则运算。

< p>
框图通过具体实例，进一步认识程序框图。通过具体实例，了解工序流程
图（即统筹图）。 能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问
题中的作用。通过实例，了解结构图；运用结构 图梳理已学过的知识、整理
收集到的资料信息。结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示< br>事物联系中的作用。
(3)《
选修2-1
》
（常用逻辑用语、圆锥曲 线与方程、空间中的向量与立
体几何）
重点知识内容
①常用逻辑用语包括命题及其 关系；充分条件与必要条件；简单的逻辑联
结词；全称量词与存在量词。
②圆锥曲线与方程在 这一章学习椭圆；双曲线；抛物线三种曲线定义及性
质直线与圆锥曲线的位置关系，曲线与方程。
③空间向量与立体几何一章空间向量与其运算，体几何中的向量方法。
内容解析
常 用逻辑用一章中了解命题的逆命题、否命题与逆否命题以及四种命题之
间的关系，会分析四种命题的相互 关系。理解必要条件、充分条件与充要条
件的意义，对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，只要求通 过数学实例
加以了解，使学生正确地表述相关的数学内容。通过生活和数学中的丰富实
例，理解 全称量词与存在量词的意义。能正确地对含有一个量词的命题进行
否定。
圆锥曲线与方程在 这一章经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程，掌握
椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质。了解双 曲线的定义、几何图形和

标准方程，知道它们简单几何性质。了解抛物线的定义、几何图 形和标准方
程，知道它们简单几何性质。能用坐标法解决直线与圆锥曲线的位置关系问
题。结合 已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一
步感受数形结合的基本思想。
空间向量与立体几何一章经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。了
解空间向量的概念，了解空间 向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正
交分解及其坐标表示。掌握空间向量的线性运算及其坐标表 示。掌握空间向
量的数量积及其坐标表示，运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。理解
直线 的方向向量与平面的法向量。能用向量语言表述线线、线面、面面的垂
直、平行关系。能用向量方法证明 有关线、面位置关系的一些定理。能用向
量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法 在研究几何
问题中的作用。
(4)《选修2-2》（导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复
数的引入）
重点知识内容
导数及其应用内容变化率与导数，导数的计算，导数在研究函数中的应用，生活中的优化问题举例，定积分的概念微积分基本定理。推理证明这一章主
要内容合情推理与演绎推 理，直接证明与间接证明，数学归纳法。数系的扩
充和复数的引入内容数系的扩充和复数的概念，复数代 数形式的四则运算。
内容解析
通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率 的过程，了
解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内

< br>涵。通过函数图象直观地理解导数的几何意义。能根据导数定义，求函数 的
导数。利用给出的基 本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单
函数的导数。会使用导数公式表。
结合 实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用
导数研究函数的单调性，会求不超过 三次的多项式函数的单调区间。
结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会 利
用导数求不超过三次的多项式函数的极大值，极小值，以及在给定区间上不
超过三次的多项式 函数的最大值，最小值。
通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际
问题中的作用。 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积
分的实际背景；借助几何直 观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概
念。通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路 程的关系），直观
了解微积分基本定理的含义。了解定积分在几何、物理中的简单应用。
结合 已学过的数学和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和
类比等进行简单的推理，体会并认识 合情推理在数学发现中的作用。结合已
学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演 绎推理的
基本方法，并能运用它们进行一些简单推理。通过具体实例，了解合情推理
和演绎推理 之间的联系和差异。结合已经学过的数学实例，了解直接证明的
两种基本方法：分析法和综合法；了解分 析法和综合法的思考过程、特点。
结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法； 了解

反证法的思考过程、特点。了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一
些简单的数学命题。
在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数
系扩充中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。理解
复数的基本概念以及复数相等 的充要条件。了解复数代数形式的加、减运算
的几何意义，能进行复数代数形式的四则运算，
（5）《选修2-3》（计数原理、随机变量及其分布、统计案例）
重点知识内容
计数原理内容分类加法计数原理与分步乘法计数原理。排列与组合内容，
二项式定理内容。随机变量及其 分布内容离散型随机变量及其分布列二项分
布及其应用，离散型随机变量的均值与方差，正态分布。统计 案例内容回归
分析的基本思想及其初步应用，独立性检验的基本思想及其初步应用。
内容解析
计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根
据具体问题的特征，选 择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简
单的实际问题。通过实例，理解排列、组合的概念； 能利用计数原理推导排
列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。能用计数原理证明二项
式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
随机变量及其分布在对具体问题的分析 中，理解取有限值的离散型随机变
量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。通过实 例（如
彩票抽奖），理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。在具体
情境中，了解 条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验

的模型及二项分布，并能解 决一些简单的实际问题。通过实例，理解取有限
值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散 型随机变量的均值、
方差，并能解决一些实际问题。通过实际问题，借助直观，认识正态分布曲
线的特点及曲线所表示的意义。
统计案例通过对典型案例的探究，进一步了解回归的基本思想、方法及 初
步应用。通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求 ）的基本思想、
方法和初步应用。
（6）《选修4-1（几何证明选讲）》
内容
相似三角
形的判定
及有关性
质
直线与圆
的位置关
系

①证明圆周角定理、圆内接四边形的性质与判定定理、
圆的切线的判定定理及性质定理。
②证明相交弦定理、切割线定理。了解弦切角的性质。
①了解平行投影的含义，通过圆柱与平 面的位置关系，
圆锥曲线
体会平行投影；证明平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊
性质的 探
情形是圆）。②通过观察平面截圆锥面的情境，体会教
讨
材中给出的定理。
学习总结完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：①
教学基本要求
复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理，证
明直角三角形射影定理。

报告 知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，对数学
证明的认识。②拓 展。通过查阅资料、独立思考，对某
些内容和应用进行进一步探讨。③学习本专题的感受、
体会 。
（7）《选修4-4（坐标系与参数方程）》
内 容 教学基本要求
①回 顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会
坐标系的作用。②通过具体例子，了解在平面直角坐标
系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。③能在极坐标
系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐 标系和平面直
角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角
坐
坐标的互化。④能在极坐标系中给出简单图形（如过极
标
系
会在用方程刻 画平面图形时选择适当坐标系的意义。⑤
借助具体实例（如圆形体育场看台的座位、地球的经纬
度等）了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位
置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的 方法
相比较，体会它们的区别。
点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比
较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体

①通过分析抛物运动中时间与运 动物体位置的关系，写
出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。②分析
直线、圆和圆锥曲 线的几何性质，选择适当的参数写出
参
数
方
程
它们的参数方 程。③举例说明某些曲线用参数方程表示
比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性。④
借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定
点的轨迹（平摆线）、直线在圆上滚动时直线上定 点的
轨迹（渐开线），了解平摆线和渐开线的生成过程，并
能推导出它们的参数方程。⑤通过阅 读材料，了解其他
摆线（变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环
摆线）的生成过程；了 解摆线在实际中应用的实例；了
解摆线在刻画行星运动轨道中的作用。
完成一个学习总结报告 。报告应包括三方面的内容：①
知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，对数学
学习总结
证明的认识。②拓展。通过查阅资料、独立思考，对某
报告
些内容和应用进行进一步探讨。③学习本专题的感受、
体会。
（8）《选修4-5（不等式选讲）》
内 容
不等式和
绝对值
教学基本要求
①回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。②理解
绝对值的几何意 义，并能利用绝对值不等式的几何意义

不等式 证明几个常见不等式。
< br>证明不等
通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、
式的基本
综合 法、分析法、反证法、放缩法。
方法
柯西不等
式与排序
不等式
①认识柯西不等式的几种不同形式。理解它们的几何意
义。②用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况。 ③用
向量递归方法讨论排序不等式。
①了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳
数学归纳
法证明
不等式
法证明一些简单问题。②会用数学归纳法证明贝努利不
等式，了解当n为大于 1的实数时贝努利不等式也成立。
③会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值
不等式 、柯西不等式求一些特定函数的极值。
完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容：①
知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，对数学
学习总结
证明的认识。②拓展。通过查阅 资料、独立思考，对某
报告
些内容和应用进行进一步探讨。③学习本专题的感受、
体会。

（6）《选修4-7 （优选法与试验设计初步）》
内 容 教学基本要求

< p>
①通过丰富的生活、生产案例，使学生感受在现实生活
中存在着大量的优选问题。②通过分 析和解决具体实际
问题，使学生掌握分数法、0.618法及其适用范围，可
以利用计算机（或 计算器）进行试验，并能思考和尝试
优
选
数法最佳性的证明，通过连分数知道

和黄金分割的关
法
系。④通 过一些具体的实例，使学生知道对分法、爬山
法、分批试验法，以及目标函数为多峰情况下的处理方法。⑤通过丰富的实例，了解多因素优选问题，了解处
理双因素问题的一些优选方法，进一步体会优 选的思想
方法。
试
①通过丰富的生活、生产案例，使学生感受在现实生活
验
设
计
初
步
学习总结
报告
完成一个学习总结报告。报告应包括三方面 的内容：①
知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解，对数学
中存在着大量的试验设计问题 。
②通过对具体案例（因素不超过3，水平不超过4）的分
析，理解运用正交试验设计方法解 决简单问题的过程，
了解正交试验的思想和方法，并能运用这种方法思考和
解决一些简单的实际 问题。
运用这些方法解决一些实际问题，体会优选的思想方法。
③了解斐波那契数列

，理解在试验次数确定的情况下分

证明的认识。②拓展。通过查阅资料、独立思 考，对某
些内容和应用进行进一步探讨。③学习本专题的感受、
体会。