果农枇杷概率高中数学-肖博高中数学全套
数学选修2-2导数及其应用(定积分)知识点必记
1.函数的平均变化率是什么?
答:平均变化率为
f(x
2
)?f(x
1
)f(x
1
??x)?f(x
1
)
?y?f
??
?
?x?x
x
2
?x
1
?x
注1:其中
?x
是自变量的改变量,可正,可负,可零。
注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念是什么?
答:函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率是
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
,则称
?lim
?x?0
?x
?x?0?x
函数
y?f(x)
在点
x
0
处可导,并把这个极限
叫做
y?f(x)
在
x
0
处的导数,记作
f
'(x
0
)
或
y
'
|
x?x
0
,即
f
'
(x
0
)
=
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
.
?lim
?x
?0
?x
?x?0
?x
3.平均变化率和导数的几何意义是什么?
答:函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线
的斜率。
4导数的背景是什么?
答:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。
5、常见的函数导数和积分公式有哪些?
函数 导函数 不定积分
y?c
y?x
n
?
n?N
*
?
y'?
0
————————
x
n?1
?
xdx?
n?1
n
y'?nx
n?1
y?a
x
?
a?0,a?1
?
y'?alna
y'?e
x
1
xlna
1
x
x
a
x
?
adx?
lna
x
y?e
x
?
edx?e
xx
y?log
a
x
y'?
?
a?0,a?1,x?0
?
y?lnx
y'?
————————
1
?
x
dx?lnx
y?sinx
y?cosx
y'?cosx
?
cosxdx?sinx
?
sinxdx??cosx
y'??sinx
6、常见的导数和定积分运算公式有哪些?
答:若
f
?
x
?
,
g
?
x
?
均可导(可积),则有:
和差的导数运算
?
f(x)?g(x)
?
?
f(x)?g(x)
?
'
'
?f
'
(
x)?g
'
(x)
?f
'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)
积的导数运算
特别地:
?
?
Cf
?
x
?
?
?
'?Cf'
?
x
?
?
f(
x)
?
f
'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)
(g(x)?0)
?
g(x)
?
?
2
??
?
g(x)
?
?
1
?
?g'(x)
特别地:?
?
'?
2
g
?
x
?
?<
br>g
?
x
?
?
'
商的导数运算
复合函数的导数
y
x
?
?y
u
?
?u<
br>x
?
微积分基本定理
?
f
?
x
?
dx?
a
b
(其中
F'
?
x
?
?f
?
x
?
)
和差的积分运算
?
b
a
[f
1
(x)?f
2
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx?
?
f2
(x)dx
aa
bb
特别地:
积分的区间可加性
?
b
a
kf(x)dx?k<
br>?
f(x)dx(k为常数)
a
b
?
b
a
f
(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx(其中a?c?b)
ac
cb
6.用导数求函数单调区间的步骤是什么?
答:①求函数f(x)的导数
f'(x)
②令
f'(x)
>0,解不等式,得x的范围就是递增区间.
③令
f'(x)
<0,解不等式,得x的范围,就是递减区间;
注:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤是什么?
答:(1)确定函数的定义域。(2)
求函数f(x)的导数
f'(x)
(3)求方程
f'(x)
=0的根
(4) 用函数的导数为0的点,顺次将
函数的定义区间分成若干小开区间,
并列成表格,检查
f
(x)
在方
程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在
这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x
)在这个根处取得极小值;如果左
右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤是什么?
答:求
f(x)
在
?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤如下:
⑴求
f(x)
在
?
a,b
?
上的极值;
⑵将
f(x)
的各极值与
f(a),f(b)
比较,其中最大的一个是最大值
,最小的一
个是最小值。
注:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点;
9.求曲边梯形的思想和步骤是什么?
答:分割
?
近似代替
?
求和
?
取极限
(“以直代曲”的思想)
10.定积分的性质有哪些?
根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质:
性质1
?
1dx?b?a
a
b
a
b
b
性质5 若
f(x)?0,x?
?
a,b
?
,则
?
f(x)dx?0
①推广:
?
[f
1
(x)?f
2
(x)?
a
?f<
br>m
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx?
?
f
2
(x)dx?
aa
bb
?
?
f
m
(x)
a
b
②推广:
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
aac
1
bc
1
c
2
?
?
f(x)dx
c
k
b
11定积分的取值情况有哪几种?
答:定积分的值可能取正值,也可能取负值,还
可能是0.
( l
)当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时,定
积分的值取正值,且等于x轴上方的图形面积;
(2)当对应的曲边梯形位于 x
轴下方时,定
积分的值取负值,且等于x轴上方图形面积的相
反数;
(3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于
位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分的
值为
0,且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的
面积.
12.物理中常用的微积分知识有哪些?
答:(1)位移的导数为速度,速度的导数为加速度。
(2)力的积分为功。
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