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高中数学人教版选修2-2导数及其应用(定积分)知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 08:32
tags:高中数学选修

果农枇杷概率高中数学-肖博高中数学全套

2020年9月20日发(作者:穆僖)


数学选修2-2导数及其应用(定积分)知识点必记
1.函数的平均变化率是什么?
答:平均变化率为
f(x
2
)?f(x
1
)f(x
1
??x)?f(x
1
)
?y?f
??

?
?x?x
x
2
?x
1
?x
注1:其中
?x
是自变量的改变量,可正,可负,可零。
注2:函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念是什么?
答:函数
y?f(x)

x?x
0
处的瞬时变化率是
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
,则称
?lim
?x?0
?x
?x?0?x
函数
y?f(x)
在点
x
0
处可导,并把这个极限 叫做
y?f(x)

x
0
处的导数,记作
f
'(x
0
)

y
'
|
x?x
0
,即
f
'
(x
0
)
=
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
.
?lim
?x ?0
?x
?x?0
?x
3.平均变化率和导数的几何意义是什么?
答:函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率;函数的导数的几何意义是切线
的斜率。
4导数的背景是什么?
答:(1)切线的斜率;(2)瞬时速度;(3)边际成本。
5、常见的函数导数和积分公式有哪些?
函数 导函数 不定积分
y?c

y?x
n
?
n?N
*
?

y'?
0
————————
x
n?1
?
xdx?
n?1

n
y'?nx
n?1


y?a
x
?
a?0,a?1
?

y'?alna

y'?e
x

1

xlna
1

x
x
a
x
?
adx?
lna

x
y?e
x

?
edx?e
xx

y?log
a
x
y'?
?
a?0,a?1,x?0
?
y?lnx

y'?
————————
1
?
x
dx?lnx

y?sinx

y?cosx

y'?cosx

?
cosxdx?sinx

?
sinxdx??cosx

y'??sinx

6、常见的导数和定积分运算公式有哪些?

答:若
f
?
x
?

g
?
x
?
均可导(可积),则有:
和差的导数运算
?
f(x)?g(x)
?
?
f(x)?g(x)
?
'
'
?f
'
( x)?g
'
(x)

?f
'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)

积的导数运算
特别地:
?
?
Cf
?
x
?
?
?
'?Cf'
?
x
?

?
f( x)
?
f
'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)
(g(x)?0)

?
g(x)
?
?
2
??
?
g(x)
?
?
1
?
?g'(x)
特别地:?

?
'?
2
g
?
x
?
?< br>g
?
x
?
?
'
商的导数运算
复合函数的导数
y
x
?
?y
u
?
?u< br>x
?

微积分基本定理
?
f
?
x
?
dx?

a
b
(其中
F'
?
x
?
?f
?
x
?

和差的积分运算
?
b
a
[f
1
(x)?f
2
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx?
?
f2
(x)dx
aa
bb



特别地:
积分的区间可加性
?
b
a
kf(x)dx?k< br>?
f(x)dx(k为常数)
a
b
?
b
a
f (x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx(其中a?c?b)
ac
cb
6.用导数求函数单调区间的步骤是什么?
答:①求函数f(x)的导数
f'(x)

②令
f'(x)
>0,解不等式,得x的范围就是递增区间.
③令
f'(x)
<0,解不等式,得x的范围,就是递减区间;
注:求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤是什么?
答:(1)确定函数的定义域。(2) 求函数f(x)的导数
f'(x)

(3)求方程
f'(x)
=0的根
(4) 用函数的导数为0的点,顺次将 函数的定义区间分成若干小开区间,
并列成表格,检查
f

(x)
在方 程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在
这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x )在这个根处取得极小值;如果左
右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值


8.利用导数求函数的最值的步骤是什么?
答:求
f(x)

?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤如下:
⑴求
f(x)

?
a,b
?
上的极值;
⑵将
f(x)
的各极值与
f(a),f(b)
比较,其中最大的一个是最大值 ,最小的一
个是最小值。
注:实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点;
9.求曲边梯形的思想和步骤是什么?
答:分割
?
近似代替
?
求和
?
取极限 (“以直代曲”的思想)
10.定积分的性质有哪些?
根据定积分的定义,不难得出定积分的如下性质:
性质1
?
1dx?b?a

a
b
a
b
b
性质5 若
f(x)?0,x?
?
a,b
?
,则
?
f(x)dx?0

①推广:
?
[f
1
(x)?f
2
(x)?
a
?f< br>m
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx?
?
f
2
(x)dx?
aa
bb
?
?
f
m
(x)

a
b
②推广:
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx?
aac
1
bc
1
c
2
?
?
f(x)dx

c
k
b
11定积分的取值情况有哪几种?
答:定积分的值可能取正值,也可能取负值,还
可能是0.
( l )当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时,定
积分的值取正值,且等于x轴上方的图形面积;

(2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时,定
积分的值取负值,且等于x轴上方图形面积的相
反数;

(3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于
位于 x 轴下方的曲边梯形面积时,定积分的 值为
0,且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的
面积.

12.物理中常用的微积分知识有哪些?
答:(1)位移的导数为速度,速度的导数为加速度。
(2)力的积分为功。

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