高中数学选修22主要内容

百度文库 - 让每个人平等地提升自我

第一章 导数及其应用

变化率与导数

问题中的变化率可用式子

若设
?x?x
2
?x
1
,
?f?f(x
2
)?f(x
1
)
(这里
?x看作是对于x
1
的一个“增量”可用x
1
+
?x
代替x
2
,同样
f(x
2
)?f(x
1
)
表示,
x
2
?x
1

称为函数f(x)从x
1
到x
2
的平均变化率
?f??y ?f(x
2
)?f(x
1
)
)则平均变化率为
f(x
2
)?f(x
1
)f(x
1
??x)?f(x
1
)
?y?f
?

??
x
2
?x
1
?x
?x?x

在前面我们解决的问题：
1、求函数
f(x)?x
在点（2，4）处的切线斜率。
2
?yf(2??x)?f(x)
??4??x
，故斜率为4
?x?x
2
2、直线运动的汽车速度V与时间t的关系是
V?t?1
，求
t?t
o
时的瞬时速度。
?V
v(t
o
?? t)?v(t
o
)
??2t
o
??t
，故斜率为4
?t?t
二、知识点讲解
上述两个函数
f(x)
和
V(t )
中，当
?x
(
?t
)无限趋近于0时，
一个常数。 归纳：一般的，定义在区间（
a
，
b
）上的函数
f(x)
，
x
o
?(a，b)
，当
?x
无限趋近于0
?V ?V
()都无限趋近于
?t?x
时，
?y
f(x
o
??x)?f(x
o
)
?
无限趋近于一个固定的常数A，则称
f(x )
在
x?x
o
处可导，
?x?x
并称A为
f(x)
在
x?x
o
处的导数，记作
f'(x
o
)
或
f'(x)|
x?x
o
，

函数y=f(x)在x=x
0
处的瞬时变化率是:
?x?0
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?f
?lim
?x?0
?x?x
'
'
我们称它为函数
y?f(x)
在
x?x
0
出的导数，记作
f(x
0
)
或
y|
x?x
0
，即
1

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f
?(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)

?x
f(x)?f(x
0
)
x?x
0
说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x
0
处的瞬时变 化率
（2）
?x?x?x
0
，当
?x?0
时，
x?x
0
，所以
f
?
(x
0
)?lim< br>?x?0
当点
P
n
沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线
PP
n
趋近于确定的位置，这个确定位置
的直线PT称为曲线在点P处的切线.
函数y=f(x)在x=x
0
处的导数等于在该点
(x
0< br>,f(x
0
))
处的切线的斜率，
即
f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x< br>0
)
?k

?x
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②求出函数在点
x
0
处的变化率
f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)?k
，得到曲线在点
?x
(x
0
,f(x
0
))
的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
由函数f(x)在x=x
0
处求导数的过程可以看到,当时,
f
?
(x
0
)
是一个确定的数，那么,当x
变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：
f
?
(x)
或
y
?
，
即:
f
?
(x)?y
?
?lim
?x?0
f(x??x)?f(x)。
?x
函数
f(x)
在点
x
0
处的导数f
?
(x
0
)
、导函数
f
?
(x)< br>、导数 之间的区别与联系。
1）函数在一点处的导数
f
?
(x0
)
，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，
它是一个常数， 不是变数。
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数
'
3）函数
f(x)
在点
x
0
处的导数
f (x
0
)
就是导函数
f
?
(x)
在
x?x
0
处的函数值，这也是 求函
数在点
x
0
处的导数的方法之一。
1．函数
y?f(x)?c
的导数
根据导数定义，因为
?yf(x??x)?f(x)c?c
???0

?x?x?x
?y
?lim0?0
所以
y
?
?lim
?x?0
?x
?x?0
函数 导数
2

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y?c

y
?
?0

y
?
?0< br>表示函数
y?c
图像（图）上每一点处的切线的斜率都为0．若
y?c
表示路程关于时
间的函数，则
y
?
?0
可以解释为某物体的瞬时速度 始终为0，即物体一直处于静止状态．
2．函数
y?f(x)?x
的导数
因为
?yf(x??x)?f(x)x??x?x
???1

?x? x?x
?y
所以
y
?
?lim?lim1?1

?x?0
?x
?x?0
函数 导数
y?x

y
?
?1

y
?
?1
表示函数
y ?x
图像（图）上每一点处的切线的斜率都为1．若
y?x
表示路程关于时
间 的函数，则
y
?
?1
可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．


3．函数
y?f(x)?x
的导数
2
?yf (x??x)?f(x)(x??x)
2
?x
2
??
因为
?x?x?x
x
2
?2x?x?(?x)
2
?x
2
??2x??x

?x
所以
y
?
?lim
?y?lim(2x??x)?2x

?x?0
?x
?x?0
函数 导数
y?x
2

y
?
?2x

y
?
?2x
表示函数
y?x
2
图像（图）上点
(x,y)< br>处的切线的斜率都为
2x
，说明随着
x
的变
化，切线的斜率也 在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当
x?0
时，随着
x
的增加，函数
y?x
2
减少得越来越慢；当
x?0
时， 随着
x
的增加，函数
y?x
2
增加得越来越快．若
y?x< br>2
表示路程关于时间的函数，则
y
?
?2x
可以解释为某物体
做变速运动，它在时刻
x
的瞬时速度为
2x
．
3

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4．函数
y?f(x)?
1
的导数
x
11
?
?yf(x??x)?f(x)
x??xx
因为
??
?x?x?x
?
x?(x??x)1
??
2

x(x??x)?xx?x??x
所以
y
?
?lim
?y1 1
?lim(?
2
)??
2

?x?0
?x
?x?0
x?x??xx
n*n?1
（2）推广：若
y?f(x)?x(n ?Q)
，则
f
?
(x)?nx


导数的计算





y?















导数的运算法则
函数 导数
y?c

f(x)?x
n
(n?Q
*
)

y
'
?0

y
'
?nx
n?1

y
'
?cosx

y
'
??sinx

y
'
?a
x
?lna(a?0)

y?sinx

y?cosx

y?f(x)?a
x

y?f(x)?e
x

f(x)?log
a
x

y
'
?e
x


f(x)?lnx

f
'
(x)?
1

x
导数运算法则
1．
?
f(x)?g(x)
?
?f(x)?g(x)
''
'
2．
?
f(x)?g(x)
?
?f(x)g(x )?f(x)g(x)

''
'
?
f(x)
?
f< br>'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)
(g(x)?0)
3．
??
?
2
g(x)
??
?
g(x)
?

4
'

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复合函数的概念 一般地，对于两个函数
y?f(u)
和
u?g(x)
，如果通过变量
u
，
y
可
以表示成
x
的函 数，那么称这个函数为函数
y?f(u)
和
u?g(x)
的复合函数，记作< br>y?f
?
g(x)
?
。
复合函数的导数 复合函数
y?f
?
g(x)
?
的导数和函数
y?f(u)
和
u?g(x)
的导数间的
关系为
y
x
?
?y
u< br>?
?u
x
?
，即
y
对
x
的导数等于
y
对
u
的导数与
u
对
x
的导数的乘积．
?
若
y?f
?
g(x)
?
，则
y
?
?
?
?
f
?
g(x)
?
?
?< br>?f
?
?
g(x)
?
?g
?
(x)


1．3 导数在研究函数中的应用

在某个区间
(a,b)< br>内，如果
f(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间内单调递增 ；如
果
f(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间内单调递减 ．
特别的，如果
f(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间 内是常函数．
求解函数
y?f(x)
单调区间的步骤：
（1）确定函数
y?f(x)
的定义域；
（2）求导数
y?f(x)
；
（3）解不等式
f(x)?0
，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式
f(x)?0
，解集在定义域内的部分为减区间．
一般的， 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的
快，这时，函数的图像就比 较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．
'
'
''
'
'
'

一般地，在闭区间?
a,b
?
上函数
y?f(x)
的图像是一条连续不断的曲线， 那么函数
y?f(x)
在
?
a,b
?
上必有最大值与最小值 ．
5

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“最值”与“极值”的区别和联系
⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的 ，具有绝对性；而“极值”是个
局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．
⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
⑶函数在其定义区间 上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也
可能没有一个
⑷极值只能 在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有
最值的未必有极值；极值 有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
利用导数求函数的最值步骤:
由 上面函数
f(x)
的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值
进行比较，就可以得出函数的最值了．
一般地，求函数
f(x)
在
?a,b
?
上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求
f(x)
在
(a,b)
内的极值；
⑵将
f( x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
、
f(b)
比较，其中最大 的一个是最大值，
最小的一个是最小值，得出函数
f(x)
在
?
a, b
?
上的最值

生活中的优化问题举例

解决优化问 题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关
系，并确定函数的定义域，通 过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当
的函数关系。再通过研究相应函数的性质， 提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，
导数是一个有力的工具．

定积分的概念


回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：
分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）
定积分的概念
a
,
b
]
上连续，用分点 一般地，设函数
f(x)
在区间
[
ax
0
x
1
x
2
x
i
1
x
i
x
n
b

将区间
[a,b ]
等分成
n
个小区间，每个小区间长度为
x
（
x
b
n
a
），在每个小区间
x
i
1
,
x
i
上任取一点
i
i
1,2,,
n
，作和式：
6

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nn
S
n
i
1
f
(
i
)
x
i
1
b
n
a
f
(
i
)

如果
x
无限接近于
0
（亦即
n
）时，上述和式
S
n
无限 趋近于常数
S
，那么称该常
b
a
数
S
为函数
f(x)
在区间
[a,b]
上的定积分。记为：
S
其中
f
(
x
)
dx
，
积分号，
b
－积分上限，
a
－积分下限，
f(x)
－被积函数，
x
－积分变量，[a,b]
x
)
dx
－被积式。 －积分区间，
f
(< br>说明：（1）定积分
b
a
b
a
f
(
x
)
dx
是一个常数，即
S
n
无限趋近的常数
S
（
n
时）记为
f
(
x
)
dx
，而不是
S
n
．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：
n等分区间
n
a
,
b
；②近似代替：取点
n
i< br>x
i
1
,
x
i
；③求和：
i
1b
n
a
f
(
i
)
；④取极限：
ba
f
(
x
)
dx
t
2
t
1< br>n
lim
i
1
f
b
i
a
n

（3）曲边图形面积：
S
b
a
fxdx
；变速运动路程Sv
(
t
)
dt
；变力做功
W
b
a< br>F
(
r
)
dr


定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间
a
,
b
上函数
f
(
x
)
连续且恒有
f
(
x
)0
，那么定积分
b
a
fxdx
表示由直线
f
(
x
)
所围成的 曲边
b
a
xa
,
xb
(
ab
),
y
0
和曲线
y
梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分
说明 ：一般情况下，定积分
b
a
fxdx
的几何意义。
f
(< br>x
)
dx
的几何意义是介于
x
轴、函数
f(x)的图形以及直线
xa
,
xb
之间各部分面积的代数和，在
x轴上方的面积取正号，在
x
轴下方的面积去
负号。
分析：一般的，设被 积函数
y
考察和式
f
f
(
x
)
，若
yf
(
x
)
在
[a,b]
上可取负值。
x
1
xfx
2
x
0

f
(
x
i
)
xfx
n
x

,
f
(
x
i
1
),,
f
(
x< br>n
)
不妨设
f
(
x
i
)
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于是和式即为
f x
1
b
a
xfx
2
xf
(
x
i< br>1
)
x
{[
f
(
x
i
)
x
][
fx
n
x
]}

f
(
x)
dx
阴影
A
的面积—阴影
B
的面积（即
x< br>轴上方面积减
x
轴下方的面积）
思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？

3．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1
性质2
b
a
kdxk
(
ba
)
；
b< br>a
kf
(
x
)
dx
b
a
k
b
a
；
f
(
x
)
dx
(
k为常数)
（定积分的线性性质）
b
a
性质3
性质4
[< br>f
1
(
x
)
f
2
(
x
)]
dxf
1
(
x
)
dx
b
c
ba
；
f
2
(
x
)
dx
（定积分的线 性性质）
b
a
f
(
x
)
dx
a
b
c
a
f
(
x
)
dxf
(
x
)
dx
(其中
acb
)
（定积分对积分区间
的可加性）
(1)
b
a
f
(
x
)
dxf
(
x
)
dx
； (2)
a
a
f
(
x
)
dx
0
；
b
a
b
a
b
c
k
说明：①推广： b
a
[
f
1
(
x
)
f
2(
x
)
b
a
f
m
(
x
)]< br>dx
c
1
a
b
a
f
1
(
x
)
dx
c
2
c
1
f
2
(
x
)
dxf
m
(
x
)

②推广 :
f
(
x
)
dxf
(
x
)
dxf
(
x
)
dxf
(
x
)
dx

③性质解释：
y
性质4
性质1
y=1
M< br>Oa
P
y
A
C
B
O
a
b
x
N
b
x

S
曲边梯形
AMNB
S
曲边梯形
AMPC
S
曲边梯形
CPNB


8

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第二章 推理与证明

合情推理与演绎推理

●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一
般的推理。
归纳推理的一般步骤：（部分—整体，个别—一般）
通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中
推出一个明确表述的一般命题（猜想）


类比推理的一般步骤：（特殊—特殊）
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。即
观察、比较 联想、类推 猜想新结论

归纳推理和类比推理是常用的合情推理。

演绎推理的定义（一般—特殊）：从一般性的原理出发，推出某个特殊情
况下的结论 ，这种推理称为演绎推理．
１．演绎推理是由一般到特殊的推理；
２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括
9

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⑴大前提---已知的一般原理；
⑵小前提---所研究的特殊情况；
⑶结论----- 据一般原理，对特殊情况做出的判断．

直接证明与间接证明

分析法 和综合法（直接证明）：是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析
法是从数学题的待证结论 或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。
综合法则是从数学题的已知条件出发 ，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。
对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综 合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路
的两种基本思考方法，应用十分广泛。


反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假
设出发， 经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方
法。反证法可以分为归 谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。
用反证法证明一个命题的步骤 ，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。
反设是反证法的基础，为了正确 地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式
是有必要的，例如：是不是；存在不存在；平行于不平 行于；垂直于不垂直于；等于不
等于；大(小)于不大(小)于；都是不都是；至少有一个一个也没有； 至少有n个至多有(n
一1)个；至多有一个至少有两个；唯一至少有两个。
归谬是反证法的 关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导
将成为无源之水，无本之木。推理 必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；
与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反 设矛盾；自相矛盾。

数学归纳法



第3章 数系的扩充与复数的引入

数系的扩充和复数的概念

10

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因生产和 科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解
决了在原有数集中某种运算 不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛
盾，负数解决了在正有理数集中不够减的 矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数
集扩到实数集R以后，像x
2
=－1 这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－
1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数< br>i
，叫做虚数单位.并由此产生的了复数
讲解新课：
1.虚数单位
i
:
(1)它的平方等于-1，即
i??1
;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2.
i
与－1的关系:
i
就是－1的一个平方根，即方程x
2
=－1的一个根，方程x
2
=－1的
另一个根是－
i
!
3.
i
的周期性：
i
4n+1
=i,
i
4n+2
=-1,
i
4n+3
=-i,
i
4n
=1
2
4.复数的定义：形如
a?bi(a,b? R)
的数叫复数，
a
叫复数的实部，
b
叫复数的虚部全
体复 数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*
3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即< br>z?a?bi(a,b?R)
，把复数表示成a+bi
的形式，叫做复数的代数形式
4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数
a?bi(a,b?R)
，当 且仅当b=0
时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当 a=0且b≠0时，
z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.

5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.
6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个
复数相等
这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di
?
a=c，b=d

几何意义：复平面、实轴、虚轴：
复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对 (a，b)是一一对应
y
Z(a，b)
关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi( a、b∈R)，由复
b
数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确
定 ，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i
可以由有序实数对(－2，1) 来确定；又因为有序实数对(a，
11
o
a
x

百度文库 - 让每个人平等地提升自我

b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点
A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标
系中的点集之间可以建立一一对应的关系.
点Z的横坐标是 a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立
了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴
实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数
是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
在 复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－
1)表 示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i
非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2， 3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的
点(－5，－3)在第三象限等等.
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
?
复平面内的点
Z(a,b)
复数
z?a?bi
????
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个
点，有惟 一的一个复数和它对应.
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.
一一对应
?
平面向量
OZ
复平面内的点
Z(a,b)
????

一一对应
复数代数形式的四则运算


复数代数形式的加减运算 < br>１．复数z
1
与z
2
的和的定义：z
1
+z
2
=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
2. 复数z
1
与z
2
的差的定义：z
1
-z
2
=(a+bi)- (c+di)=(a-c)+(b-d)i.
3. 复数的加法运算满足交换律: z
1
+z
2
=z
2
+z
1
.
证 明：设z
1
=a
1
+b
1
i，z
2
=a< br>2
+b
2
i(a
1
，b
1
，a
2< br>，b
2
∈R).
∵z
1
+z
2
=(a1
+b
1
i)+(a
2
+b
2
i)=(a1
+a
2
)+(b
1
+b
2
)i.
z
2
+z
1
=(a
2
+b
2
i)+(a< br>1
+b
1
i)=(a
2
+a
1
)+(b2
+b
1
)i.
又∵a
1
+a
2
= a
2
+a
1
，b
1
+b
2
=b
2
+b
1
.
∴z
1
+z
2
=z
2
+z
1
.即复数的加法运算满足交换律.
4. 复数的加法运算满足结合律: (z
1
+z
2
)+z
3
=z
1
+(z
2
+z
3
)
证明：设z
1=a
1
+=a
2
+b
2
i，z
3
=a
3
+b
3
i(a
1
，a
2
，a
3
，b
1
，b
2
，b
3
∈R).
∵(z< br>1
+z
2
)+z
3
=［(a
1
+b
1
i)+(a
2
+b
2
i)］+(a
3
+b
3
i)
=［(a
1
+a
2
)+(b
1
+b
2
)i］+(a
3
+b
3
)i
=［(a1
+a
2
)+a
3
］+［(b
1
+b
2
)+b
3
］i
=(a
1
+a
2
+a< br>3
)+(b
1
+b
2
+b
3
)i.
z
1
+(z
2
+z
3
)=(a
1
+b< br>1
i)+［(a
2
+b
2
i)+(a
3
+b
3
i)］
=(a
1
+b
1
i)+［(a
2
+a
3
)+(b
2
+b
3
)i］
=［ a
1
+(a
2
+a
3
)］+［b
1
+(b
2
+b
3
)］i
=(a
1
+a
2
+a
3
)+(b
1
+b
2
+b
3
)i
∵(a
1
+a
2
)+a
3
=a
1
+(a
2
+a
3
)，(b
1
+b
2
)+b
3
=b
1
+(b
2
+b
3
).
∴(z
1
+z
2
)+z
3
=z
1
+(z< br>2
+z
3
).即复数的加法运算满足结合律
12

百度文库 - 让每个人平等地提升自我

复数加法的几何意义：
设复数z
1
=a+bi，z
2
=c+di，在复平面上所对应的向量 为
OZ
1
、
OZ
2
，即
OZ
1
、
OZ
2
的
坐标形式为
OZ
1
=(a，b)，
OZ
2
=(c，d)以
OZ
1
、
OZ
2
为邻边作平行四边形
OZ
1
ZZ
2
，则对角线OZ对应的向量是OZ
，
∴
OZ
=
OZ
1
+
OZ< br>2
=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i
复数 减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a－c)+(b－d)i，所
以z－z
1
=z
2
，z
2
+z
1
=z，由复数加法几何意义， 以
OZ
为一条对角线，
OZ
1
为一条边画平行四
边形，那么 这个平行四边形的另一边OZ
2
所表示的向量
OZ
2
就与复数z－z
1
的差(a－c)+(b
－d)i对应由于
OZ
2
?Z1
Z
，所以，两个复数的差z－z
1
与连接这两个向量终点并指向被减< br>数的向量对应.

１．乘法运算规则：
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z
1
=a+bi，z
2< br>=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－
bd)+(bc+ad)i.
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果 中把i
2
换成－1，并且
把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
2.乘法运算律：
(1)z
1
(z
2
z
3
)=(z
1
z
2
)z
3

证明：设z
1
=a
1
+b
1
i，z
2
=a
2
+b
2
i，z
3
=a
3
+b
3
i(a1
，a
2
，a
3
，b
1
，b
2
，b
3
∈R).
∵z
1
z
2
=(a
1
+b
1
i)(a
2
+b
2
i)=(a
1< br>a
2
-b
1
b
2
)+(b
1
a2
+a
1
b
2
)i，
z
2
z
1
=(a
2
+b
2
i)(a
1
+b
1< br>i)=(a
2
a
1
-b
2
b
1
)+ (b
2
a
1
+a
2
b
1
)i.
又a
1
a
2
-b
1
b
2
=a
2< br>a
1
-b
2
b
1
，b
1
a
2
+a
1
b
2
=b
2
a
1
+a< br>2
b
1
.
∴z
1
z
2
=z
2
z
1
. (2)z
1
(z
2
+z
3
)=z
1
z
2
+z
1
z
3
证明：设z
1
=a
1
+b
1
i，z
2
=a
2
+b
2
i，z
3
=a
3
+b
3
i(a
1
，a< br>2
，a
3
，b
1
，b
2
，b
3∈R).
∵(z
1
z
2
)z
3
=［(a
1
+b
1
i)(a
2
+b
2
i)］(a< br>3
+b
3
i)=［(a
1
a
2
-b
1
b
2
)+(b
1
b
2
+a
1
b
2
)i］(a
3
+b
3
i)
=［(a
1
a
2
-b
1
b
2
)a
3
-(b< br>1
a
2
+a
1
b
2
)b
3
］+［(b
1
a
2
+a
1
b
2
)a
3
+(a
1
a
2
-b
1
b
2
) b
3
］i
=(a
1
a
2
a
3
- b
1
b
2
a
3
-b
1
a
2
b
3
-a
1
b
2
b
3
)+(b
1
a
2
a
3
+a
1
b
2
b
3
+a
1
a
2
b
3
-b
1
b< br>2
b
3
)i，
同理可证：
z
1
(z2
z
3
)=(a
1
a
2
a
3
-b
1
b
2
a
3
-b
1
a
2b
3
-a
1
b
2
b
3
)+(b
1
a
2
a
3
+a
1
b
2
a3
+a
1
a
2
b
3
-b
1
b
2
b
3
)i，
∴(z
1
z
2
) z
3
=z
1
(z
2
z
3
).
( 3)z
1
(z
2
+z
3
)=z
1
z
2
+z
1
z
3
.
证明：设z
1
=a< br>1
+b
1
i，z
2
=a
2
+b
2< br>i，z
3
=a
3
+b
3
i(a
1
， a
2
，a
3
，b
1
，b
2
，b
3
∈R).
∵z
1
(z
2
+z
3
)=(a
1
+b
1
i)［(a
2
+b
2
i)+(a
3
+b
3
i)］=(a
1
+b
1
i)［( a
2
+a
3
)+(b
2
+b
3
)i］ < br>=［a
1
(a
2
+a
3
)-b
1
( b
2
+b
3
)］+［b
1
(a
2
+a3
)+a
1
(b
2
+b
3
)］i
= (a
1
a
2
+a
1
a
3
-b
1< br>b
2
-b
1
b
3
)+(b
1
a2
+b
1
a
3
+a
1
b
2
+ a
1
b
3
)i.
13

百度文库 - 让每个人平等地提升自我

z
1
z
2
+z
1z
3
=(a
1
+b
1
i)(a
2
+b
2
i)+(a
1
+b
1
i)(a
3
+b< br>3
i)
=(a
1
a
2
-b
1
b< br>2
)+(b
1
a
2
+a
1
b
2)i+(a
1
a
3
-b
1
b
3
)+( b
1
a
3
+a
1
b
3
)i
=( a
1
a
2
-b
1
b
2
+a
1a
3
-b
1
b
3
)+(b
1
a
2
+a
1
b
2
+b
1
a
3
+a
1
b
3
)i
=(a
1
a
2
+a
1
a
3
-b
1
b
2
-b
1
b
3
)+(b
1
a
2
+b
1
a
3
+a
1
b
2
+a
1
b
3
)i
∴z
1
(z
2
+z
3
)=z
1
z
2
+z
1
z
3
.
例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)
解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.
例2计算：
（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)
2
.
解：（1）(3+4i) (3-4i) =3
2
-（4i）
2
=9-(-16)=25;
(2) （1+ i)
2
=1+2 i+i
2
=1+2 i-1=2 i.
3.共轭 复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复
数虚部不等于0的两个共 轭复数也叫做共轭虚数
通常记复数
z
的共轭复数为
z
。
4. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫 复数a+bi除以复数c+di
的商，记为：(a+bi)
?
(c+di)或者
a?bi

c?di
5.除法运算规则：
①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，
即(a+bi)÷(c+di)=x+yi
∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.
∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.
由复数相等定义可知
?
?
cx?dy?a,

?
d x?cy?b.
ac?bd
?
x?,
22
?
?
c? d
解这个方程组，得
?

?
y?
bc?ad
.?
c
2
?d
2
?
于是有:(a+bi)÷(c+di) =
ac?bdbc?ad
?
2
i.
222
c?dc?d
②利用(c+di)(c－di)=c
2
+d
2
.于是将
a ?bi
的分母有理化得：
c?di
原式=
a?bi(a?bi)(c?di )[ac?bi?(?di)]?(bc?ad)i
??

c?di(c?di)(c ?di)c
2
?d
2
?
(ac?bd)?(bc?ad)iac?b dbc?ad
?
2
?i
.
c
2
?d
2< br>c?d
2
c
2
?d
2
∴(a+bi)÷(c+di) =
14
ac?bdbc?ad
?
2
i
.
222
c?dc?d

百度文库 - 让每个人平等地提升自我

点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理
化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的
3?2
的对偶式
3?2
，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c
2
+d
2
是正实数.所以可以分母实数化.
把这种方法叫做分母实数化法

15