高中数学选修1-1知识与题型章章清

高中数学选修1-1知识与题型章章清
第一章 常用逻辑用语
一、知识要点
1．命题：可以判断真假的陈述句。真命题、假命题；“若…，则…”的形式；命题的条件、结论。 < br>2．四种命题：原命题、逆命题、否命题、逆否命题；原命题
?
逆否命题；反证法（反设 、推理、矛盾）。
3．四个条件：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件。
4．三个逻辑联结词：且（p∧q）、或（p∨q）、非（┒p）。简单命题、复合命题。
5 ．两个量词：全称量词、存在量词；全称命题、特称命题；全称（
特称
）命题的否定是特称（< br>全称
）命题。
二、重点题型
1．判断命题的真假——①反例法；②逆否法； ③推导法。
命题“若x
2
-1≠0，则x≠1且x≠-1”是 命题。

2．充分条件与必要条件——①大小法；②推导法。
x?1
是
1
?1
的 条件。
x
3．判断复合命题的真假——①真值表法；②逆否法。命题“5＞3或5=3”是 命题。
4．含有一个量词的命题的否定——①化量词法；②加不法。
所有能被3整除的整数都 是奇数”的否定是 。

三、思维训练
1．有下列四个命题，其中是真命题的是 (填上你认为正确的所有命题的序号)。
①命题“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题； < br>③命题:“若m≤1,则x
2
-2x+m=0有实根”的逆否命题；④命题:“若A∩B =B,则A? B”的逆否命题。
2．命题“若ab不为零,则a、b都不为零”的逆否命题是 。
3．“b
2
=ac”是“a,b,c成等比数列”的 条件。
4．p∨q为真命题是p∧q为真命题的 条件。
5．设p：关于x的 不等式a
x
>1的解集为{x|x<0}；q：函数y=lg(ax
2
-x+ a)的定义域为R。若p∨q为真命题，
p∧q为假命题，则a的取值范围是 。 < br>2
6．已知命题p：“?x∈[1,2]，x
2
-a≥0”；命题q
；
“?x
0
∈R，
x
0
+2ax
0
+2-a =0”。若命题“p且q”是真命题，
则实数a的取值范围是 。
第二章 圆锥曲线与方程
一、知识要点
1．求动点轨迹方程的基本步骤：①建系；②设点；③列式；④化简；⑤检验。
2．圆锥曲线 的定义——椭圆：
PF
；双曲线：
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
.
；抛物线：
PF?d.
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
.
3． 圆锥曲线的标准方程：椭圆看大，双曲看正，抛物一次。
4．圆锥曲线的几何性质：①范围；②对称性 ；③顶点、焦点、长轴(实轴)、短轴(虚轴)、焦距、焦准距；
④离心率
e?
c；⑤渐近线方程
y??
b
x或y??
a
x

a
ab
4. 弦长公式：
l?1?k
2
x
1
?x
2
?1?
1
y
1
?y
2
k
2

5. 点差法：①设交点；②代方程；③差分解；④中点代；⑤化斜率。
6．解析法：①设点线；②联方程；③化一元；④用韦达；⑤解参数。
二、重点题型
1．求标准方程——①待定系数法；②定义法。
与
x
?
y
?1有共同渐近线且焦距为12的双曲线方程为 。

54
22
2．求离心率——①特殊法；②平方法。椭圆一焦点与短轴两顶点组成一等腰直角三角形，则离心率为 。
3．几何性质等问题——①图解法；②定义法；③解析法。
抛物线
x?ay
的焦点坐标为（-1，0），则
a
为 。
22
4． 最值问题——①异侧法；②切线法；③解析法。
F
1
、F
2
是双曲线
x
?
y
?1
的左、右焦点，P是它的右支上一点，
2
169
已知A（2，4），则|PF
1
|+|PA|的最小值为 。

22
5．轨迹方程——①直接法（建设列化限）；②定义法；③相关点法。F1
、F
2
是椭圆
x
?
y
?1
的焦点，
1612
P为椭圆上任一点，则OP的中点轨迹方程是 。
22
6．直线与圆锥曲线综合题——①图解法；②解析法；③点差法。一直线与椭圆4x+9y =36交于A、B两点，
AB的中点为M（1，1），求直线AB方程及线段AB的长。

三、思维训练
1．已知F
1
,F
2
为两定 点,|F
1
F
2
|=4,动点M满足|MF
1
|+|MF< br>2
|=4,则动点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
x
2
y
2
2．过椭圆
2+
2
=1(a>b>0)的左焦点F
1
作x轴的垂线交椭圆于点P,F< br>2
为右焦点,若∠F
1
PF
2
=60°,则椭圆的
a
b
23
11
离心率为( ) A. B. C. D.
23
23
y
2
x
2
3．k >3是方程+=1表示双曲线的( )
3?k
k?1
A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4．已知F
1
,F
2
为双曲线C:x
2
-y
2
=1的左、右 焦点,点P在C上,∠F
1
PF
2
=60°,则P到x轴的距离为( )
A.
36
B. C.
3
D.
6

22
5．已知双曲线的一条渐近线方程是
x?2y?0，若双曲线过点
M(25,1)
，则双曲线的标准方程为________。
6．在抛物线y
2
=2px上,且横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为( )
A.0.5 B.1 C.2 D.4
x
2
y
2
1
??1
的离心率为，则m 的值等于（ ） 7．若椭圆
9m?9
2
9
1
9
1
A．
?
B． C．
?或3
D．
或3

44
44
8．动点到点(3,0)的距离比它到直线x+ 2=0的距离大1,则动点的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线
9．抛物线y=-x
2
上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是 .
10．已知A是圆x
2
+y
2
=4上一动点，B点坐标为（- 2，0），则线段AB中点P的轨迹方程是 。
x
2
y2
11．已知双曲线C:
2
-
2
=1(a>0,b>0)的一个 焦点是F
2
(2,0),离心率e=2.
a
b
(1)求双曲线C的方程；
(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与 双曲线C相交于两个不同的点M,N,线段MN的垂直平分线与两坐标轴
围成的三角形的面积为4,求实 数k的取值范围.

12．已知抛物线
y?2px
与过点M（m，o）的直 线交于A（
x
1
,y
1
），
B(x
2
,y
2
)
两点，且
y
1
?y
2
??2m(m? 0)
。
（1）求抛物线方程；
y
（2）若
OA?OB??1
求m的值
B

P
2
x
2
y
2
13．设椭圆E:
2
?
2
?1
（a,b>0）过M（2，
2
） ，N (
6
,1)两点。
ab
（I）求椭圆E的方程；
O
x
A
uuuruuur
（II）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭 圆E恒有两个交点A,B,且
OA?OB
？若存在，
写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

14．在平面 直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率
之 积等于
?
1
.
3
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设 直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使△PAB与△PMN的面积相等？若存在，
求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

第三章 导数及其应用
一、知识要点
1．导数的定义：①求增量
?y?f
?
x??x?
?f
?
x
?
；②求平均变化率
2．导数的表示：函数 在
x?x
0
处的导数
y
?
3．导数的几何意义：切线的斜率 k=
y
?
x?x
0
x?x
0
?y
?y；③取极限
lim
。
?x?0
?x
?x
或
f
?
?
x
0
?
；函数
f
?
x
?
的导数
y
?
或
f
?
?
x
?< br>
（切点
P
?
x
0
,y
0
?
）；切点三用——求斜率，在切线上，在曲线上。
x
??
n
?
n ?1
?
1
,4．求导公式
?
c
?
?
?0< br>,
x?nx
,
?
log
a
x
?
?< br>?
lnx
?
?
?
1
,
?
a
x
?
?
?a
x
lna,
?
e
x
?
?
?e
x
,
?
sinx
?
?cosx,
?
cosx
?
??sinx

??
xlna
?
?
u
?
u
?
v?uv
?
?5．求导的四则运算法则：
?
u?v
?
?u
?
?v?
；
?
uv
?
?u
?
v?uv
?；
?
cu
?
?cu
?
；
?

??
?
2
?
v
?
v
?
6．单调性：
y
?
?0?增,y
?
?0?减；增?y
?
?0,减?y< br>?
?0
；原增导上减导下。
7．极值：
y
?
?0
左正右负极大值，左负右正极小值。
8．最值：求出极值，将极值与端点纵坐标比较大小，最大的为最大值，最小的为最小值。
二、重点题型
1．求导数——①定义法；②公式法；③图象法。如右图是函数f(x)及f(x)在
点P处切线的图象，则f(2)+f'(2)= .
2．求切线方程——①判别式法；②导数法。已知直线y=kx是曲线y=ln x的一条切线,则k= 。
3．求瞬时速度或加速度——导数法。
一物体的运动方程为s(t)=1-t+t
2
，那么物体在3 s末的瞬时速度是 。

3．单调性问题——① 图象法；②导数法；③复合法。
若f(x)=x
3
-ax
2
-x+6 在(0,1)内单调递减,则实数a
∈ 。
5．求极值——①图象法；②导数法。函数f(x)=aln x+bx
2
+3x的一个极值点为（1, 2）,则a= ,b= 。
6．求最 值——①图象法；②两端法；③导数法。
函数f(x)=x
3
-3x+1在闭区间[- 3,0]上的最大值,最小值分别是 。
7．导数综合题型：
（1）恒成立或存在问题 ——①分离法（最值）；②主元法。
若x
2
-4x≥m对任意x∈[0,1]恒成立, 则m∈ 。

（2）证不等式——①最值法；②放缩法。证明不等式：
lnx?x?1

（ 3）零点或交点个数——①图象法；②单调性法；③极值法。
若f(x)=x
3
-3x -k在R上只有一个零点,则k 。

（4）图象位置——①求差法；②最值法。
若函数
y?e
的图象在直线
y?ex?a
上方，则
a
∈ 。
（5）最优化应用题——①导数法；②线性规划。
一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm， 在四个角上截去四个相同的
小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最 大？
x

三、思维训练
y
2
1．质点运动规律s=5-3t，则在时间[1，1+△t]内相应的平均速度为 。
4
2．如图是函数
f
?
x
?
图象，则下列正确 的是（ ）
-
3
A、
0?f
?
?
2
?
?f
?
3
?
?f
?
2?
?f
?
?
3
?
；B、
0?f
??
3
?
?f
?
3
?
?f
?
2
?
?f
?
?
2
?
；
-
2
-
C、
0?f
?
?
3
?
?f
?
?
2
?
?f
?
3
?
?f
?
2
?
；D、
0?f
?
3
?
?f
?
2
?
?f
?
?
3
?
?f
?< br>?
2
?

1
-
1 2 3 4 5 O
f(1)?f(1?x)
3．设f (x)为可导函数，且满足
lim
=－1，
x
- -
-
-
- -
x?0
2x
则y=f (x)在点(1, f(1)) 处的切线的斜率是（ ）
（A）2 （B）－1 （C）
4．函数y=
1
（D）－2
2
sinx
的导数为_________________。
x
1 11
x'x
2'
'
?
)?1?(logx)?
B、 C、
(xcosx)
=-2x sinx D、
(3)?3log
3
e

2
23
xln2
xx
3
5．下列求导运算正确的是（ ）
A、
(x?
6．曲线
y?x?x?2
在点P
0
处的切线平行于直线y=4x，则点P
0
的坐标是 。

7．若
y?x?1与y?ln
?
x?a
?
相切， 则
a
的值为（ ）
A、1； B、2； C、-1； D、-2
8.设函数f ( x ) 在定义域内可导，y = f ( x ) 的图象如图所示， 则
y?f
?
(x)
的图象可能为（ ）









9．函数
f(x)
的定义域为
(a,b)
，导函数
f
?
(x)
在
(a,b)
内的图象如图
所示，则函数
f(x)
在开区间
(a,b)
内有极小值点（ ）
A．1个； B．2个；
C．3个； D．4个.


y
y?f
?
(x)
b

a
O


x
10．一物体运动方程为
s=1-t+t
2
其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）
A、 7米秒 B、6米秒 C、 5米秒 D、 8米秒
11．函数
f(x )?x?ax
在[1，+∞)递增，则
a
的最大值是 . 12．
f
(
x
)
=x
(
x-c
)在x = 2处有极大值，则常数c 的值为_________；
13．如果函数
f< br>?
x
?
?x
3
?
3
x
2
? a
在[-1,1]上最大值是2，那么f (x)在[-1,1]上最小值是 。 2
2
3
14．函数
f(x)?
1
x
?
e(sinx?cosx)
在区间
[0,]
的值域为（ ）
22< br>?
11
11
A．
[,e
2
]
； B．
(,e
2
)
； C．
[1,e
2
]
； D．
(1,e
2
)
.
22
22
15．曲线y = x
3
在点 ( 1 , 1 ) 处的切线与x轴、直线x = 2所围成的三角形面积为_______.
16．对任意实数
x
，有
f(? x)??f(x)，g(?x)?g(x)
，且
x?0
时，
f
?(x)?0，g
?
(x)?0
，则
x?0
时（ ）
A．
f
?
(x)?0，g
?
(x)?0

C．
f
?
(x)?0，g
?
(x)?0

32
?
?
?




B．
f
?
(x)?0，g
?
(x)?0

D．
f
?
(x)?0，g
?
(x)?0

17．已知函数
f(x)?x?ax?bx?c
在
x??
(1)求
f (x)
的单调区间；
2
与
x?1
时都取得极值，
3(2)若对
x?[?1,2]
，不等式
f(x)?c
恒成立，求
c
的取值范围。

18．设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a
?
-1.
（1）求f(x)的单调区间.
（2）若
f(x)
在
x=1
处有极值，直线y=m与
y?f(x)
图象有二个不同交点，求m取值范围。


19．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x（吨）与每吨产品的价格p（元吨）之间 的关系式为
1
p?24200?x
2
，且生产x吨的成本为 R＝ 5000 0＋200x元．问该厂每月生产多少吨产品才能使利
5
2
润达到最大？最大利润是多 少？（利润=收入一成本）

20．已知函数
f(x)?x?x
．（1）求 曲线
y?f(x)
在点
M(t，f(t))
处的切线方程；
（2） 设
a?0
，如果过点
(a，b)
可作曲线
y?f(x)
的三 条切线，证明：
?a?b?f(a)

3