高中数学选修1-1、1-2、4-1、4-4知识点归纳

选修1－1、1-2数学知识点 第一部分 简单逻辑用语
1.原命题：“若
p
，则
q
”；逆命题： “若
q
，则
p
”；
否命题：“若
?p
，则
?q
”；逆否命题：“若
?q
，则
?p
”
2.四种命题的真假性之间的关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
3.若
p?q，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必 要条件．
若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件（充分 必要条件）．
集合间的包含关系：若
A?B
，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；
若A=B，则A是B的充要条件；
4. ⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“
?
”表示；
全称命题
p
：
?x?M,p(x)
； 全称命题
p
的否定
?
p
：
?x?M,?p(x)
。
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“
?
”表示；
特称命题
p
：
?x?M,p(x)
； 特称命题
p
的否定
?
p
：
?x?M,?p(x)
；
第二部分 复数
1．概念： (1)
z
=
a
+
bi
是虚数
?
b
≠0；
(2)
z
=
a+b
i是纯虚数
?
a
=0 且
b
≠0；
(3)
a
+
b
i=
c+
di
?
a
=
c
且
c
=
d< br> ；
2．复数的代数形式及其运算：设
z
1
=
a
+
bi
, z
2
=
c
+
di
，则：
(1)
z

1
±
z
2
= (
a
+
b
)± (
c
+
d
)i；
(2)
z
1
.
z
2
= (
a
+
bi< br>)?(
c
+
di
)＝（
ac
-
bd
）+ (
ad
+
bc
)
i
；
(a?bi)(c? di)
ac?bdbc?ad
?
?
2
i
(3)
z
1
÷
z
2
=
222
(
z
2
≠0)
(c?di)(c?di)
c?dc?d
第三部分 圆锥曲线
1.椭圆的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程
轴长
焦点

x
2
y
2
??1
?
a?b?0
?

a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?b?0
?

a
2
b
2
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1
?
?c,0
?
、< br>F
2
?
c,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

离心率
2.双曲线的几何性质：
焦点的位置
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?

aa
焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上

图形

标准方程
轴长
焦点

x
2
y
2
?
2
?1
?
a?0,b?0< br>?

2
ab
F
1
?
?c,0
?、
F
2
?
c,0
?

y
2
x
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?

2
ab
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

离心率
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
渐近线方程
y??
b
x

a
y??
a
x

b
注：实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
3.抛物线的几何性质：
标准方程
y
2
?2px

y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

图形

焦点



p
??
F
?
0,?
?
2
??
?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
?
p
?
F
?
?,0
?

?
2
?
p
??
F
?
0,< br>?

?
2
?
准线方程
离心率
范围
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
e?1

x?0

x?0

y?0

y?0

第四部分 导数及其应用
1.函数y?f
?
x
?
在点
x
0
处的导数的几何意义是 曲线

2.常见函数的导数公式：
①
C
'
y?f
?
x
?
在点
?
?
x
0
,f
?x
0
?
?
处的切线的斜率．
n'n?1
?0
； ②
(x)?nx
； ③
(sinx)
'
?cosx
； ④
(cosx)
'
??sinx
；
x'
⑤
(a) ?a
x
lna
；⑥
(e)?e
x'x
； ⑦
(log
a
x)?
'
1
1
'
； ⑧
(lnx)?

x
xlna
3.导数运算法则：
??
?
1
?

?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?f
??
x
?
?g
?
?
x
?
；
?< br>2
?

?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
；

?
f
?
x
?
?
?
f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
g
?
x
?
?0
??
??
?< br>2
?
?
3
?
?
g
?
x
?< br>?
?
g
?
x
?
?
?
．
4 .在某个区间
?
a,b
?
内，若
f
?
?
x
?
?0
，则函数
y?f
?
x
?
在这个区间 内单调递增；
若
f
?
?
x
?
?0
，则函 数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调递减．
5.求函数y?f
?
x
?
的极值的方法是：解方程
f
?
?
x
?
?0
．当
f
?
?
x
0
?
?0
时：
?
1
?
如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧
f< br>?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0
?
是极大值；
?
2
?
如果在
x
0< br>附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x< br>0
?
是极小值．
6.求函数
y?f
?
x
?
在
?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤是：
?
1
?
求函数
y?f
?
x
?
在
?
a ,b
?
内的极值；
?
2
?
将函数
y?f
?
x
?
的各极值与端点处的函数值
f
?
a
?
，
f
?
b
?
比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是
最小值．
第五部分 统计案例
1．线性回归方程 注意：线性回归直线经过定点
(x,
2．相关系数
y)
。
r
：⑴
r
>0时，变量
x,y
正相关；
r
<0时，变量
x,y
负相关；
|r|
越接近于1，两个变量的线性相关性越强；
②
|r|
接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
2
(y?y)
?
ii
n
?
i?1
n
i?1
⑵①

2
R ?1?
3．回归分析中回归效果的判定：相关指数
?
(y
i
?yi
)
2
：
注：①
R
得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；
②
R
越接近于1，，则回归效果越好。
4．独立性检验（分类变量关系）：
随机变量
K
越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。
第六部分 推理与证明
一．推理：
⑴合情推理：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
②类比推理：类比推理是特殊到特殊的推理。
2
2
2

⑵演绎推理：演绎推理是由一般到特殊的推理。
“三段论”：⑴大前提---已知的一般结论；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论--- 根据一般原理，对特殊
情况得出的判断。
二．证明： ⒈直接证明：
⑴综合法：又叫顺推法或由因导果法。⑵分析法：又叫逆推证法或执果索因法。
2.间接证明：
反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此 说明假设错误，从而证明原命题
成立，这种证明方法叫反证法。
数学选修4-1《几何证明选讲》
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的 线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
相似三角形的判定：
（1）两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似。
射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；
两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

圆内接四边形的性质与判定定理:
定理1：圆的内接四边形的对角互补。
定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。


弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条 切线的夹角。
选修4-4数学知识点
1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点
O
，叫做极点；自极点
O
引一条射线
Ox
叫做极轴；再选定一个长度< br>单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 < br>2．点
M
的极坐标：有序数对
(
?
,
?
)< br>叫做点
M
的极坐标，记为
M(
?
,
?
).


3.极坐标与直角坐标的互化：
?
2
?x
2
?y
2
,x?
?
cos
?
,


y


y?
?
sin
?
,tan
?
?(x?0)

x

?
x?a?rcos
?
,
(
?
为参数)
. 3．圆
(x?a)?(y?b)?r
的参数方程可表示为
?
?
y?b ?rsin
?
.
222
x
2
y
2
椭 圆
2
?
2
?1
(a?b?0)
的参数方程可表示为
?
ab
?
y
?
x?acos
?
,
(
?
为参数)
.
?bsin
?
.
?
x?2px< br>2
,
(t为参数)
.
2
抛物线
y?2px< br>的参数方程可表示为
?
?
y?2pt.
经过点
M
O< br>(x
o
,y
o
)
，倾斜角为
?
的直线
l
的参数方程可表示为
?
?
x?x
o
?tcos
?
,
（
t
为参数）.
?
y?y
o
?ts in
?
.
4．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与 普通方程的互化中，必须使
x,y
的
取值范围保持一致.