高中数学化解常用方法有哪些-高中数学和会计那个难
依据〖普通高中课程标准试验教科书选修1-2〗编写
第一章
统计案例
本章课标要求:
了解下列一些常见的统计方法,并能应用这些方法解决一些实际问题。
(1)独立性检验:了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用;
(2) 回归分析:了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用。
第一节
回归分析的基本思想及其初步应用
一.知识归纳
1.正相关:如果点散布在从左下角到右上角的区域,则称这两个变量的关系为正相关。
2.负相关:如果点散布在从左上角到右下角的区域,则称这两个变量的关系为负相关。
3.回归直线方程的斜率和截距公式:
?
?
?
b?
??
?
?
?
(x
i?1
n
n
i
?x)(y
i
?y)
?
a?y?bx
?
xy
ii?1
n
2
i?1
n
i
?nxy
2
?
(x
i
?x)
2
i?1
?
x
i
?
nx
(此公式不要求记忆)。
4.最小二乘法:求回归直线,使得样本数据的点到它的距离的平方最小的方法。
5.随机误
差
e
:我们把线性回归模型
y?bx?a?e
,其中
a,b
为模型的未知参数,
e
称为随机误差。
随机误差
e
i
?y
i
?bx
i
?a
?
x
?
a
?
?
b
?
中的
y<
br>?
估计
bx?a
,随机误差
e?y?(bx?a)
,所以e
?
?y?y
?
是
e
?
:我们用回归方程y
6.残差
e
?
x
?
a
?
i
?
y
i
?
y
?
i
?
y
i
?
b
?
,
e
?
称为相应于点
(
x
i
,
y
i
)
的残差。 的估计量,故
e
i
7.解释变量对于预报变量的贡献率
R
:
R?1?
2
2
?<
br>(y
?
(y
i?1
i?1
n
n
i
?
)
2
?y
2
i
?y)
2
,
R的表达式中
?
(y
i
?y)
确定,故
R
2越
i?1
n
2
?
)
越小,即模型的拟合效果越好;R
越小,残差平方和
?
(y
i
?y
?
)
越大,即大,残差平方和
?
(y
i
?y
2
i?1i?1<
br>n
2
n
2
模型的拟合效果越差。
R
2
越接近
1
,表示回归效果越好。
二.典型例题
例1.从某大学中
随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如下表所示,求根据女大学生的身高预报
体重的回归方程,并
预报一名身高为
172cm
的女大学生的体重。
70
65
解析:作出散点图如右:
60
55
50
45
40
150175180
身高cm
8
6
4
2
0
0246810
通过残差发现原始数据中的可疑数据,判断所建立模型的拟合效果。
-2
编号
-4
-6
-8
例2.一只红
铃虫的产卵数
y
和温度
x
有关,现收集了7组观测数据列表如下:
体
重
k
g
21 23
温度
x
0
C
产卵数
y
个
7
11
试建立
y
关于
x
的回归方程。
25
21
27
24
29
66
350
300
250<
br>产
卵
数
残
差
32
115
35
325
解析:画出散点图如右:
三.巩固提高
1.为了研究某种细菌随时间
x
变化繁殖的个数,收集数据如下:
(1)以天数为变量
x
,繁殖个数为变量
y
,
天数
x
天 1
作出这些数据的散点图;(2)求出两变量
间的回归方程。
解析:作出散点图如右
繁殖个数
y
个
6
200
150
10
0
50
0
0
200
150
100
50
0<
br>202530
温度
3540
z
7
6
5
43
2
1
0
223436
x
350
300
250
200
150
100
50
0
4012001300
2
12
繁殖个数
3
25
4
49
5
95
6
190
1234567
x天数
(2)设
y?c
1
e
c
2
x
,令
z?lny
,
x
1 2 3
3.22
6
4
3.89
5
4.55
繁殖个数
6
5.25
z
1.79 2.48
?
?e
?
?0.69x
?1.112
,则有
y
由计算器算得:
z
0.69x?1.112
。
5
4
3
2
1
0
01234567
繁殖个数
第二节 独立性检验的基本思想及其初步应用
一.知识归纳
1.分类变量:这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量。
2.列联表:列出两个分类变量的频数表,称为列联表。
n(ad?bc)
2
3.对于
2?2
列联表:
K
的观测值
k?
。
(
a?b)(c?d)(a?c)(b?d)
2
4.临界值
k
0
表:
P(k
2
?k
0
)
0.50
0.455
0.40
0.708
0.25 0.15 0.10
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k
0
1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
10.828
如果
k?k
0
,就推断“
X,Y
有关系”,
这种推断犯错误的概率不超过
?
;否则,在样本数据中没有发现
足够证据支持结论“<
br>X,Y
有关系”。
5.反证法与独立性检验原理的比较:
反证法原理 在假设
H
0
下,如果推出矛盾,就证明了
H
0
不成立。
独立性检
验原理
在假设
H
0
下,如果出现一个与
H
0
相矛盾的小概率事件,就推断
H
0
不成立,且该推断
犯错误的概率不超过这个小概率。
二.典型例题
例1.在某医院,因为患心脏病而住院的6
65名男性病人中,有214人秃顶,而另外772名不是因为患
心脏而住院的男性病人中,有175人
秃顶,利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系,能否在犯错误不
超过0.010的前提下认为秃顶与患
心脏病有关系?
患心脏病 换其他病 总计
解析:列联表如右:
秃顶
不秃顶
总计
三.巩固提高
1.甲、乙两个班级进行一门
课程的考试,按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后,得到如下的联表:
班级与成绩列联表:
优秀 不优秀 总计
画出列联表的等高条形图,并通过图形判断成绩与班
甲班
10 35 45
级是否有关,根据列联表的独立性检验,能否在犯错
乙班 7 38 45
误的概率不超过0.01的前提下认为成绩与班级有关
总计 17 73 90
系?
2.为考察某种药物预防疾病的效果,进行动物实验,得到药物效果与动物实验列联表:
能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为药
患病 未患病 总计
物有疗效?
服用药 10 45 55
没服药 20 30 50
总计 30 75 105
第二章 推理与证明
本章课标要求:(1)合
情推理与演绎推理:①了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推
理,了解合情推理在数学
发现中的作用;②了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运
用它们进行一些简单推理;
③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
(2)直接证明与间接证明:①了解直接证明的两种基
本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法
的思考过程、特点;②了解间接证明的一种基本方法──
反证法;了解反证法的思考过程、特点。
第一节 合情推理和演绎推理
第一课时
合情推理
一.知识归纳
1.合情推理包括:归纳推理和类比推理。归纳推理:由个别事实概括出一般结论的推理;
类
比推理:由两类对象具有类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类也具有这些特征的
推理。
二.典型例题
例1.观察可以发现
1?1
2
;1?3?2
2
;1?3?5?3
2
;1?3?5?7?4
2
;?
由上述
具体事实能得出怎样的结论?
例2.已知
数列
{a
n
}
的首项
a
1
?1,a
n?1
?
a
n
(1)求数列的通项公式;
(n?N
*
)
,
1?a
n
(2)若
S
n
?
111
,化简
S
n
。
????
333
a
1
a
2
a
n
例3.类比圆的特征,填写球的有关特征:
圆的概念和性质
圆的周长
圆的面积
圆心与弦(非直径)的中点的连线垂直
与圆心距离相等的两弦相等,与圆心距离
不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长
以点
(x
0
,y
0
)
为圆心,
r
为半径的
球的类似概念和性质
圆的方程为
(x?x
0
)
2
?(y?y
0
)
2
?r
2
三.巩固提高 1.在
Rt?ABC
中,
?C?90
0
,
a,b,c<
br>为三边的长,则由勾股定理得
c
2
?a
2
?b
2;类似地,在四面体
P?DEF
中,
?PDF??PDE??EDF?90
0
,设
S
1
,S
2
,S
3
,S
分别表示
?PDF,?PDE,?EDF,?PEF
的面
积,则我们猜想成立的一个等
式为 。
2.有三根柱
A,
B,C
和套在
A
柱上的若干金属片,按下列规则,把金属片从
A
柱上
全部移到
C
柱上,①
每次只能移动1个金属片;②较大的金属片不能放在较小的金属片
的上面。设把
A
柱上的
n
片圆片全部
移到
C
柱上所
需的最少次数为
a
n
,回答:(1)
a
1
,a
2<
br>,a
3
是多少?(2)
a
n
,a
n?1
有怎
样的关系?(3)求
a
n
。
ABC
※印度有个古老的传
说相传在佛教圣地贝那列斯的一个寺庙里有一块黄铜板,板上插着三个宝石针,第
一根针
上套着64片大小不等的金片,大的在底下,小的在上面,相传这是神在创世时留在那里的,不
论白天黑
夜,寺内都有一个僧人按照上述所说的法则移动金片,神预言,当这64片金片都移到另一个
针上时,世
界末日就降临了。根据计算,金片将被移动
2
64
?1
次,如果移动一次需要
一秒钟,则共需要
58万亿年,距现代科学家估计,太阳系的寿命为200亿年。
11
3.在数列
{a
n
}
中,
a
1
?1,a
n
?(a
n?1
?)(n?2)
,猜想这个数列的通项公式为
an
?
。
2a
n?1
4.归纳凸多面
体中,面数
F
,顶点数
V
和棱数
E
之间的关系:
。
5.在等差数列
{a
n
}
中,若
a
10
?0
,则有
a
1
?a
2
?
?
?a
n
?a
1
?a
2
?
?
?a
19?n(n?19,n?N
*
)
成立,类比
上述性质,在等比数列
{a
n
}
中,若
b
9
?1
,则有
。
9.设
f(n)?0(n?N
*
),f(2)?4
,且对于任意
n
1
,n
2
?N
*
,f(n
1
?
n
2
)?f(n
1
)f(n
2
)
成立,猜想
f(n)
的表
达式为 。
6. 在
数列
{a
n
}
中,
a
1
?1,a
n?1<
br>?
2a
n
(n?N
*
),求数列的通项公式
a
n
。
2?a
n
1
2<
br>7.已知数列
{a
n
}
的前
n
项和为
Sn
,
a
1
??
,满足
S
n
?
计算
S
1
,S
2
,S
3
,S
4
,
并猜想
S
n
?2?a
n
(n?2)
,
S
n
3
的表达式。你能求出它的表达式吗?
8.类比正三角形和正四面体的性质
正三角形(边长为
a
)
三个边长相等
周长为
3a
正四面体(棱长为
a
)
面积为
3
2
a
2
3
a
3
外接圆半径
R?
第二课时 演绎推理
3
a
内切圆半径
r?
6
三角形的高
h?
3
a
2
一.知识归纳
1.演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论。这种推理称为演绎推理。
2.三段论是演绎推理的一般模式:
(1)大前提─已知的一般原理;(2)小前提─所研究的特殊情况;
(3)结论─根据一般原理,对特殊情况做出的判断。
二.典型例题
例1.如图,
在锐角三角形
ABC
中,
AD?BC,BE?AC,D,E
是垂足,求证:<
br>AB
的中点
M
到点
D,E
的
距离相等。
例2.证明函数
f(x)??x
2
?2x
在
(??,1)
上是增函数。
三.巩固提高
1.证明:通项公式为
a
n
?cq
n
(cq?0)
的数列
{a
n
}
是等比数列,并分析证明过程中的三
段论。
2.已知三棱锥
S?ABC
中,
?ASB??BSC??CSA?90
0
,求证:
?ABC
是锐角三
角形。
A
S
B
C
D
F
A
M
B
C
第二节
直接证明和间接证明
第一课时 直接证明和间接证明
一.知识归纳
1.综合
法:利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导处所要证
明的结论
成立的证明方法。
2.分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要
证明的结论归结为判
定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)的证明方法。
二.典型例题
例1.在
?ABC
中,设
CB?a,CA?b
,求证:
S
?ABC
?
1
|a|
2
|b|
2
?(a?b)
2
.
2
例2.在
?ABC
中,三个内角
A,B
,C
的对边分别是
a,b,c
,且
A,B,C
成等差数列,
a,b,c
成等比数列,
求证
?ABC
是等边三角形。
例3.求证:
3?7?25
。
例4.如图,
SA?
面
ABC,AB?BC
,过
A
作
SB
的垂线,垂足为
E
,过
E
作
SC
的
垂线,垂足为
F
,
求证:
AF?SC
。
例5.已知
?
,<
br>?
?k
?
?
S
F
E
A
C
B
?
2
(k?Z)
,且
sin
?
?cos
?
?2sin
?
,
sin
?
?cos
?
?s
in
2
?
,
1?tan
2
?
1?tan
2
?
?
求证:.
1?tan
2
?
2(1?tan
2
?
)
三.巩固提高
1.求证:对于任意角
?
,cos
4
?
?sin
4
?
?cos2
?
。
2.求证:
6?7?22?5
。
3.已知
tan
?
?sin
??a
,
tan
?
?sin
?
?b
,求证
(a
2
?b
2
)
2
?16ab
。
4.已知
A,B
都是锐角,且
A?B?
?
2
,(1?tanA)(1?tanB)?2
,求证
A
?B?
?
4
。
5.如图,PD?
面
ABC
,
AC?BC,D
为
AB
的中
点,求证
AB?PC
。
6.
?ABC
的三边
a,b,c
的倒数成等差数列,求证
B?
7.已知
8.设实数
a,b,c
成等比数列,非零实数
x,y
分别为
a,b
和
b,c
的等差
中项,求证
?
2
。
1?tan
?
?1
,求证3sin2
?
??4cos2
?
。
2?tan
?
ac
??2
。
xy
9.设
sin
?<
br>是
sin
?
,cos
?
的等差中项,
sin
?
是
sin
?
,cos
?
的等比中项,求证
cos
4
?
?4cos4
?
?3
。
第二课时 反证法
一.用反证法证明命题的步骤:
(1)假设 的结论不成立,即假设 成立;(2)从
出发,经
过 ,得出矛盾;(3)由
判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确。
二.典例选讲
例1.已知
a?0,证明
x
的方程
ax?b
有且只有一个根。
例2.已知直线
a,b
和平面
?
,如果
a?
?
,b?
?
,且ab
,求证
a
?
。
例3.证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
?
a
b
?
B
D
P
C
O
A
?
?
?
例4.若
a,b,c?R<
br>且
a?x
2
?2y?
,
b?y
2
?2z?<
br>,
c?z
2
?2x?
,求证:
a,b,c
至少有一个
大于零。
23
6
三.巩固与提高:
1.用反证法证明命题:“
a、b?N,ab
可被5整除
,那么
a,b
中至少有一个能被5整除”时,假设的内
容是( )
A.
a,b
都能被5整除
B.
a,b
都不能被5整除
C.
a,b
不都能被5整除
D.
a,b
不能被5整除
2.若
a,b,c?R
?
,关于
x
的方程
8x2
?8ax?b?0
,
8x
2
?8bx?c?0
和8x
2
?8cx?a?0
中至少有一
个方程有两个不等实根。
3.求证:不论
x,y
取任何非零实数,等式
111
总不成立。
??
xyx?y
第二章单元测试题
A
组
1.数列
2,5,11,20,x,47,?
…中的
x
x
等于( )
A.
28
B.
32
C.
33
D.
27
<
br>111
2.设
a,b,c?0
则
a?,b??c?
(
)
bca
A.
都不大于
?2
B.
都不小于
?2
C.
至少有一个不大于
?2
D.
至少有一个不小于
?2
3.已知正六边形
ABCDE
F
,在下列表达式①
BC?CD?EC
;②
2BC?DC
;③
FE?ED
;④
2ED?FA
中,与
AC
等价的有(
)
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
??
4.函数
f(x)?3sin(4x?)在[0,]
内( )
42
A.
只有最大值
B.
只有最小值
C.
只有最大值或只有最小值
D.
既有最大值又有最小值
5
.如果
a
1
,a
2
,???a
8
为各项都大于零的
等差数列,公差
d?0
,则( )
A.
a
1
a<
br>8
?a
4
a
5
B.
a
1
a
8
?a
4
a
5
C.
a
1
?a
8
?a
4
?a
5
D.
a
1
a
8
?a
4
a
5
6. 若
log
2
[log
3
(lo
g
4
x)]?log
3
[log
4
(log
2x)]?log
4
[log
2
(log
3
x)]?0<
br>,则
x?y?z?
( )
A.
123
B.
105
C.
89
D.
58
1
7.函数
y?
在点
x?4
处的导数是 (
)
x
1
111
A.
B.
?
C.
D.
?
16
8816
8.从
1?1
2<
br>,2?3?4?3
2
,3?4?5?6?7?5
2
中得出的一般性结论
是 。
1
9.已知实数
a?0
,且函数
f(x)?a(x
2
?1)?(2x?)
有最小值
?1<
br>,则
a
= 。
a
10.已知
a,b
是不相等的正数,
x?
a?b
2
,y?a?b
,则
x,y
的大小关系是 。
11.若正整数
m
满足<
br>10
m?1
?2
512
?10
m
,则
m?_
_____________.(lg2?0.3010)
.
12.若数列
{an
}
中,
a
1
?1,a
2
?3?5,a
3
?7?9?11,a
4
?13?15?17?19,...
则
a
10
?
。
13.观察(1)
tan10<
br>0
tan20
0
?tan20
0
tan60
0
?tan60
0
tan10
0
?1;
(2)
t
an5
0
tan10
0
?tan10
0
tan75
0
?tan75
0
tan5
0
?1
,
由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论。
14.
?ABC
的三个内角
A,B,C
成等差数列,求证:
113
??
a?bb?ca?b?c
15.已知
a?b?c
求证:
114
。
??
a?bb
?ca?c
16.设
f(x)?sin(2x?
?
)(?
?
?
?
?0),f(x)
图像的一条对称轴是
x?
,(1)求
?
的值;(2)求
y?f(x)
8
的增区间;(3)证明直线
5x?
2y?c?0
与函数
y?f(x)
的图象不相切。
?
第三章 复数
二.课标要求:复数的概念:①理解复数的基本概念;
②理解复数相等的充要条件;③了解复数的代数
表示法及其几何意义。复数的四则运算:①会进行复数代
数形式的四则运算;②了解复数代数形式的加、
减运算的几何意义。
第一节
数系的扩充和复数的概念
学习目标:①理解复数的基本概念;②理解
复数相等的充要条件;③了解复数的代数表示法及其几何意
义。
第一课时 复数的概念
一.归纳重点
1.复数的代数形式:形如
的数叫做复数,其中 叫做虚数单位。复数的实部
为 ,虚部为
。
2.虚数和纯虚数:对于
z?a?bi(a,b?R)
,当
时,它是实数;当 时,它
是虚数;当
时,它是纯虚数。
3.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间关系如右图所示:
4.复数的相等:
a?bi?c?di
的充要条件为
。
二.典型例题
例1.实数
m
取什么值时,复数
z?m?1?(
m?1)i
是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?
例2.如果
(x?y)?(y?1)i?(2x?3y)?(2y?1)
i
,求实数
x,y
的值。
三.延伸训练
1.下列四个命题中,真命题是( )
①
?1
的平方根只有一个
i
;②
i
是方程
x
2
?1?0
的一个根;③
2i
是一个无理数;④
1?ai(a?R)
是一
个复数。
A.
①②
B.
②③
C.
①④
D.
②④
2.对于复数
a?bi
,下列结论正确的是( )
A.
a?0?a?bi
为纯虚数
B.
b?0?a?bi
为实数
C.
a?(b?1)i?3?2i?a?3,b??3
D.
?1
的平方等于
i
3.复数
4?3a?a<
br>2
i
与复数
a
2
?4ai
相等,则实数
a<
br>的值为( )
A.
1
B.
1
或
?4
C.
?4
D.
0
或
?4
1
4.复数
?2?i
的实部为 ,虚部为
。
3
5.下列数中,其中实数为 ,虚数为
,纯虚数为 。
2
①
2?7
;②
e<
br>;③
i
;④
0
;⑤
i
;⑥
i
2;⑦
i
3
;⑧
5i?8
;⑨
i(1?3)
;⑩
2?i
。
7
6.若
(3x?2y)?(5x?y)i?17?2i
,则实数
x?
,
y?
。
7.若
(x?y?3)?(x?4)i?0
,则则实数
x?
,
y?
。
8.实数
m
取什么值时,复数<
br>(m
2
?5m?6)?(m
2
?3m)i?0
是(1)实数?
(2)虚数?(3)纯虚数?
第二课时 复数的几何意义
一.归纳重点
1.复数集
C
和复平面内所有点所成的集合是 对应的,即
,
这是复数的一个几何意义。
二.典型例题
例1.已知复数
x
2
?6x?5?(x?2)i
在复平面内对应的点在第三象限,求实数
x
的范
围。
例2.当
m
为何值时,复数
(2m<
br>2
?5m?3)?(2m
2
?m?1)i
是纯虚数?
三.延伸训练
1.
i?i
2
在复平面内表示的点在( )
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
2.若
(x
2
?1)?(x
2
?3x?2)i
是纯虚数,则实数
x
的值为( )
A.
1
B.
?1
C.
?1
D.
?1
或
?2
3.若复数
(a
2?a?2)?(|a|?1)i(a?R)
不是纯虚数,则( )
A.
a??1
B.
a??1
或
a?2
C.
a??1
D.
a?2
4.对于下列判断,其中正确的个数是( )
①若
z?C
,则z
2
?0
;②若
z
1
,z
2
?C,且
z
1
?z
2
?0
,则
z
1
?z
2
;③若
a?b
,则
a?i?b?i
。
A.
1
B.
2
C.
3
D.
0
5.实数
m
取何值时,复平面内表示复数
z?(m
2
?8m?15)?(m<
br>2
?5m?14)i
的点(1)位于第四象限?
(2)位于第一、二象限?(3)位于直线
y?x
上?
6.在复平面内,
O
是原点,向量
OA
对应的
复数是
2?i
,(1)如果点
A
关于实轴的对应点为点
B
,
求
向量
OB
对应的复数;(2)如果点
B
关于虚轴的对应点为点C
,求点
C
对应的复数。
第二节
复数代数形式的四则运算
学习目标:①会进行复数代数形式的四则运算;②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
第一课时 复数代数形式的加减运算及其几何意义
一.归纳重点
1.复数的加减法:
(a?bi)?(c?di)?
。
2.复数的乘法:
(a?bi)(c?di)?
。
3.共轭复数:当两个复数的 相等,虚部互为
时,这两个复数叫做共轭复数,
虚部 的两个共轭复数叫做共轭虚数。
二.典型例题
例1.计算
(5?6i)?(?2?i)?(3?4i)
。
例2.设
z
1
?x?yi,z<
br>2
?3?yi(x,y?R)
,且
z
1
?z
2
?5?6i
,求
z
1
?z
2
。
例3.计算
(1?2i)(3?4i)(?2?i)
。
三.延伸训练
1.已知复数
z
1
?3?2i,z
2
?1?3i
,则复数
z?z
1
?z
2
在复平面
内对应的点
Z
位于复平面内的( )
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
2.直接写出下列式子的结果
(1)
(2?4i)?(3?4i)?
;(2)
?3?4i?(2?i)?(1?5i)?
。
(3)
5?(3?2i)?
;(4)
(2?i)?(2?3i)?4i?
。 <
br>3.计算:(1)
(3?4i)(3?4i)
;(2)
(1?i)
2<
br>;(3)
(7?6i)(?3i)
;(4)
(3?4i)(?2?3i)
(5)
(1?i)
2
;
(6)
(1?2i)(3?4i)(?2
?i)
;(7)
(3?2i)(?3?2i)
;(8)
i(2?i)(1?2
i)
。
第二课时 复数代数形式的乘除运算
一.归纳重点
a?bi
=
(c?di?0)
。
c?di
1?i
1?i
2
2
.常见的结论:
(1)
(1?i)??2i
;
??i
;
(a
?bi)(a?bi)?a
2
?b
2
。
?i
;<
br>1?i
1?i
1.复数的除法:
(a?bi)?(c?di)?
(2)
设
?
13
???i
,则
?
??
1
?
3
i
;
?
2
??
1
?
3
i;
?
?
?
??1
;
?
?
?
?
1
;
1?
?
?
?
2
?0
;
?3n
?1
;
22
2222
?
3n?1
?
?
;
?
3n?2
?
?
(n?Z)
。
二.典型例题
例1.计算:(1)
(1?2i)?(3?4i)
;(2)
(
1?i
10
)
。
1?i
例2.计算:(1)
(?1?
3i)
5
;(2)
(?1?3i)
3
1?3i
(1?i)<
br>6
?
?2?i
1?2i
。
三.延伸训练
1.
(1?i)
4
等于(
)
A.
4
B.
?4
C.
4i
2.计算
(
2i
1?i
)
100
的结果是(
)
A.i
B.?i
C.
1
3.
1?i
1?i
等于( )
A.i
B.?i
C.
1
4.
(1?i)
6
等于( )
A.
4
B.
?4
C.
8i
5.复数
z
1
?3?i,z
2
?1?i
,则
z
1
?z
2
在复平面内对应点位于( )
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
6.
1?3i
(3?i)
2
?
。
(1?i)
3
7.已知
1?i
?a?3i
,则
a<
br>= 。
8.已知
z1?2i,z
111
1
?
2
?3?4i
,求满足
z
?
z
?
的复数
z
。
1
z
2
9
.已知
2i?3
是关于
x
的方程
2x
2
?px?q
?0
的一个根,求实数
p,q
的值。
复数综合训练题
D.
?4i
D.
?1
D.
?1
D.
?8i
D.
第四象限
1.复数
5
i?2
的共轭复数是( )
A.
i?2
B.
i?2
C.
?i?2
D.
2?i
2.当
2
3
?m?1
时,复数
m(3?i)?(2?i)<
br>在复平面内对应的点位于( )
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限
3.(2009年广东卷文)下列
n
的取值中,使<
br>i
n
?1(i
是虚数单位)的是( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
【答案】C
4.(2009广东卷理)设
z
是复
数,
a(Z)
表示满足
z
n
?1
的最小正整数
n<
br>,对虚数单位
i
,
a(i)
=(
A.
8
B.
6
C.
4
D.
2
5.(2009浙江卷理)设
z?1?i(i
是虚数单位)
,则
2
z
?z
2
= ( )
A.
?1?i
B.
?1?i
C.
1?i
D.
1?i
答案:D
6.(2009山东卷文)复数
3?i
1?i
等于( )
A.
1?2i
B.
1?2i
C.
2?i
D.
2?i
答案:C
7.(2009安徽卷理)
i是虚数单位,若
1?7i
2?i
?a?bi(a,b?R)
,则乘积ab
的值是( )
A.
?15
B.
?3
C.
3
D.
15
选B。
8.(2009安徽卷文)
i
是虚数单位,
i(1?i)
等于(
)
A.
1?i
B.
?1?i
C.
1?i
D.
?1?i
【答案】D
9.(2009辽宁卷文)已知复数<
br>z?1?2i
,那么
1
z
=( )
A.
5
5
?
25
5
i
B.
5
5
?
25
5
i
C.
1212
5
?
5
i
D.
5
?
5
i
【答案】D
10.(2
009宁夏海南卷理)复数
3?2i3?2i
2?3i
?
2?3i
=
( )
A.
0
B.
2
C.
?2i
D.
2i
选D
11.(2009天津卷文)
i
是虚数单位,
5i
2
?i
=( )
A.
1?2i
B.
?1?2i
C.
1?2i
D.
?1?2i
【答案】D
12.已知
z
是纯
虚数,
z?2
1?i
是实数,那么
z
等于( )
A.
2i
B.i
C.?i
D.
?2i
答案:D.
13.(2009宁夏海南卷文)复数
3?2i
2?3i
( )
)
A.
1
B.
?1
C.
i
D.
?i
【答案】C
14.复数
a?bi,c?di
的积是实数的充要条件是( )
A.
ad?bc?0
B.
ac?bd?0
?bd
?bc
13
3
15.复数
(?i)
的值是(
)
22
A.?i
B.
i
C.
?1
D.
1
<
br>14.(2009江苏卷)若复数
z
1
?4?29i,z
2
?
6?9i
其中
i
是虚数单位,则复数
(z
1
?z
2
)i
的实部为 。
-20
15.(2009福建卷文)复数
i
2
(1?i)
的实部是 -1
。
16.(2009年上海卷理)若复数
z
满足
z(1?i)?1?i(i
是虚数单位),则其共轭复数
z
= 。
【答案】i w
17.已知复数
z
与
(z?2)
2
?8i
都是纯虚数,则
z
= 。
111
18.已知
z
1
?5?10i,z
2
?3?4i,??,求z.
zz
1
z
2
第三章单元测试题
A
组
1.下面四个命题:①
0
比
?i
大;②两个复数互为共轭复数,当
且仅当其和为实数;③
x?yi?1?i
的充
要条件为
x?y?1
;
④如果让实数
a
与
ai
对应,那么实数集与纯虚数集一一对应,其中正确的命
题个
数是( )
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
2.
(i?i
?1
)
3
的虚部为( )
A.
8i
B.
?8i
C.
8
D.
?8
3.使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )
A.
z?z
B.
|z|?z
C.
z
2
为实数
D.
z?z
为实数
4.设
z
1
?i
4<
br>?i
5
?i
6
??i
12
,z
2
?
i
4
?i
5
?i
6
??i
12
,
则
z
1
,z
2
的关系是( )
A.
z
1
?z
2
B.
z
1
??z
2
C.
z
1
?1?z
2
D.
无法确定
5.
(1?i)
20
?(1?i)
20
的值是(
)
A.
?1024
B.
1024
C.
0
D.
1024i
6.已知
f(n)?i
n
?i<
br>?n
(i
2
??1,n?N)
集合
{f(n)}
的元
素个数是( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
无数个
7.如果
z?a?bi(a,b?R,a?0)
是虚数
,则
z,z,z,|z|,z?z,z
2
,|z|
2
,|z
2
|
中是虚数的有 ____个,是实
数的有
个,相等的有 组。
8.如果
3?a?5
,复数
z?(a
2
?8a?15)?(a
2
?5a?14)i
在复平面上
的对应点
z
在 象限。
9.若复数
z
?sin2
?
?i(1?cos2
?
)
是纯虚数,则
?= 。
10.设
z?log
2
(m
2
?3m?3)?ilog
2
(m?3)(m?R)
若
z
对应的点在直线
x?2y?1?0
上,则
m
= 。
11.已知
z?(2?i)
3
则
z?z
=
。
2
,那么
z
100
?z
50
?1
的值是
。
1?i
13.计算
i?2i
2
?3i
3
???
2000i
2000
= 。
12.若
z?<
br>14.设复数
z
满足
|z|?1
,且
(3?4i)?z
是纯虚数 ,求
z
。
(1?i)
2
(3?4i)
2<
br>15.已知复数
z
满足:
|z|?1?3i?z
,求的值。
2z
第四章 框图
本章课标要求:(1)流程图:①了解程序框图;②
了解工序流程图(即统筹图);③能绘制简单实际问
题的流程图,了解流程图在解决实际问题中的作用。
(2)结构图:①了解结构图;②会运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息。
第一节 流程图
一.典型例题
例1.画出用二分法求方程
x
2
?2?0
的近似解。
解析:
例2.
考生参加某培训中心的考试需要遵循以下程序:在考试之前咨询考试事宜,如果是新生,需要填
写考生注
册表,领取考生编号,明确考试的科目和时间,然后缴纳考试费,按规定时间参加考试,领取
成绩单,领
取证书;如果不是新考生,则需出示考生编号,明确考试的科目
和时间,然后缴纳考试费,按规定时间参加考试,领取成绩单,领取证书。
设计一个流程图,表示这个考试流程。
解析:如右图。
例3.某工厂加工某种零件有三道工序:粗加工、返修加工和精加工,
每道工序完成时都要对产品进行检验,粗加工的合格品进入精加工,
不合格进入返修加工;返修加工的合格品进入精加工,不合格品作为废品
处理;精加工的合格品为成品,不合格品为废品,用流程图表示这个零件
的加工过程。
解析:按照工序要求,可画出下面的供需流程图:
二.巩固提高
1.用自然语言写出计算
1?2?3?4???99?10
0
的值的算法步骤,再用程序框图表示。
2.有这样一个游戏,每个人从任意一个正整数
n
开始,连续进行如下运算
:若
n
是奇数,就把这个数
乘以3再加1;若
n
是偶数,就把这个数
除以2,这样演算下去,直到第一次得到1为止,设计一个流
程图,表示这个游戏的过程。
3.某中学图书馆制定了如下的图书借阅程序:
(1)入库:存放随身携带的物品
按顺序排队 出示本人借阅证 领取代书牌 入库;
(2)找书
从书架上取出一本书刊,将代书牌插放到该书刊的位置上 不阅览或不借,则把书刊放回
原处
取出代书牌;
(3)阅览:取出要阅览的书刊(每人每次仅限一册) 将代书牌插放到该书刊的位置上
就坐阅览
阅览完毕将书刊放回原处 取出代书牌;
(4)借书:若借某本书,则取出代书牌 将图书、借书证、代书牌一起交给工作人员 办理手续;
(5)出库:机器安全检测 排队领取所借图书 检查图书是否完好;
(6)还书:按顺序排队 把书交给工作人员 工作人员检查图书是否完好并办理手续
离开还书处。
设计流程图表述上述图书借阅程序。
第二节 结构图
一.典型例题
例1.用结构图描述《数学1》第二章“基本初等函数(1)”的知识结构。
解析:如下图
例2.设计一个结构图,表示《数学3》第二章“统计”的知识结构。
解析:如上图。
例3.设计一个结构图,表示《数学1》第一章“集合”部分的知识结构。
解析:如右图。
二.巩固提高
1.设计《数学3》第三章“概率”的知识结构。
解析:如右图。
2.画出你所在学校学生会的组织结构图。
解析:如右图。
3.周末调查设计一个某公司的结构图
解析:如右图。
4.画出“数列”的结构图。
解析:如右。
5.设计《数学2》第1章“空间几何体”的知识结构。
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