高中数学选修1-1导数的概念

高中数学选修1—1
3.3.1函数的单调性与导数
教师：贾巧
【
教学目标
】
知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系
2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间
过程与方法：1.通过本节的学习，掌握运用导数研究单调性的方法
2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形
结合思想、转化思想。
情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善
总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
【
教学重点难点
】
教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系，会用导数求函数的单调
区间。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
【
教学过程
】
一．回顾与思考
1、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x
2
的单 调性，如何进行？（分别
用定义法、图像法完成）
2、如果遇到函数：y=x-
3
3x判断单调性呢？还有其他方法吗？
二．新知探究 函数的单调性与导数之间的关系
【情景引入】函数是客观描述世界变化规 律的重要数学模型，研究函数时，
了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是 非常重要
的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变
化规律有一个基本的了解．函数的 单调性与函数的导
数一样，都是反映函数变化情况的，那么函数的单调
性与函数的导数是否有着 某种内在的联系呢?
【思考】 如图（1），它表示跳水运动中高度
h
随
时 间
t
变化的函数
h(t)??4.9t
2
?6.5t?10
的图像，图
（2）表示高台跳水运动员的速度
v
随时间
t
变化的函< br>数
v(t)?h
'
(t)??9.8t?6.5
的图像．运动员从起跳 到最

高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？
【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐
渐增大还是逐步减小？
【探究】通过观察图像，我们可以发现：
（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度
h
随时间
t
的增加而增加，即
h(t)
是
增函数．相应地 ，
v(t)?h
'
(t)?0
．
（2）从最高点到入水，运动员离 水面的高
h
随时间
t
的增加而减少，即
h(t)
是减
函数．相应地，
v(t)?h
'
(t)?0
．
【思考】 导数的 几何意义是函数在该点处的切线的
斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化
的，那么函 数的单调性与导数有什么关系呢？
【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间
的关系.
【探究】函数的单调性可简单的认为是:若
f(
x
2
)?f(x
1
)
x
2
?
x
1
2
>0则 函数f(x)为增函数.
可把
f(
x
2
)?f(
x
1
)
x
?
x
看作
1
?y
f(
x
2
)?f(
x
1
)
=.说
?x
x
2
?
x
1
明函数的变化率可以反映函数的单调性.即函数的
导数与函 数的单调性有着密切的联系.
观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．
（1）函数
y?x
的定义域为
R
，并且在定义域上是增函数，其导数
y
?
?1?0
；
（2）函数
y?x
的定义域为
R
，在
(??,0)
上单调递减，在
(0,??)
上单调递增； < br>而
y
?
?(x)
?
?2x
，当
x?0
时，
y
?
?0
；当
x?0
时，
y
??0
；当
x?0
时，
y
?
?0
。
（3）函数
y?x
的定义域为
R
，在定义域上为增函数；
32
而
y
?
?(x)
?
?3x
，若
x?0
，则
y
?
?0
，当
x?0
时，
y
?
?0
；
3
2

2
（4）函数
y?
递减；
1
的定义域为
(??, 0)U(0,??)
，在
(??,0)
上单调递减，在
(0,??)
上单调
x
而
y
?
?()
?
??
1
x
1
，因为
x?0
，显然
y
?
?0
. < br>2
x
【总结】以上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区间
(a,b )
内

如果函数
y?f(x)
在这个区间内单调递增，那么< br>f(x)?0
.
如果函数
y?f(x)
在这个区间内单调递减，那么
f(x)?0
．
'
'
【思考】函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？ '
【探究】如图，导数
f(x
0
)
表示函数
f(x)< br>在点
(x
0
,y
0
)
处的切线的斜率．
'
在
x?x
0
处，
f(x
0
)?0
，切线是 “左下右上”式的，这时，
函数
f(x)
在
x
0
附近单调递 增；
'
在
x?x
1
处，
f(x
0
)?0
，切线是“左上右下”式的，这时，
函数
f(x)
在
x
1< br>附近单调递减．
用曲线的切线的斜率来理解.当切线斜率非负时,切线的倾斜

?
,函数曲线呈向上增加状态; 当切线斜率负时,切线的倾
2
?
斜 角大于、小于
?
，函数曲线呈向下减小状态.
2
知识归纳
角小于
函数的单调性与导数的关系:在某个区间
(a,b)
内， < br>如果
f
'
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个 区间内 ；
如果
f
'
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间内

特别的，如果
f
'
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间内是 ．
注意：1.若在某区间上有有限个点使
f(x)?0
，在其余的点恒有
f(x )?0
，则
f(x)
仍
为增函数，（减函数的情形完全类似）.即是说在区间 内
f(x)?0
是
f(x)
在此区间上为增函
数的充分条件，而不是 必要条件.
2.
f
?
(x)?0
能推出
f(x)
为增函数，但反之不一定．如函数
f(x)?x
3
在
(?∞，?∞)
上单调
递增，但
f
?
(x)
≥
0
．所以
f
?
(x)?0
是
f(x)
为增函数的充分条件，但不是必要条件．
3.
f(x)
为增函数，一定可以推出
f
?
(x)
≥
0
，但反之不一定，因为
f
?
(x)
≥
0
，即为
f
?
(x)?0
或
f
?
(x)?0
，当函数在某个区间内恒有
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为常数，函数不具有单
'
''
调性．所以
f
?
(x)
≥
0
是
f(x)
为增函数的必要条件，但不是充分条件．

4.
f(x)
为增函数的充要条件是对任意的
x?(a，b)
都有< br>f
?
(x)
≥
0
且在
(a，b)
内的任一< br>非空子区间上
f
?
(x)?0
．
三．知识应用

【例题1】已知导函数
f(x)
的下列信息：
当
1?x?4
时，
f(x)?0
；
当
x?4
，或
x?1
时，
f(x)?0
；
当
x?4
，或
x?1
时，
f(x)?0

试画出函数
y?f(x)
图像的大致形状．
【解析】 利用导数和函数单调性之间的关系分析函数在每个区间上的单调性，然后画
出简图.
【答案】 当
1?x?4
时，
f(x)?0
，可知
y?f(x)
在此区间内单调递增；
当
x?4
，或
x?1
时，
f(x)?0
；可知
y?f(x)
在此区间内单调
递减； < br>当
x?4
，或
x?1
时，
f(x)?0
，这两点比较 特殊，我们把它称
为“临界点”．
综上，函数
y?f(x)
图像的大致形状如图所示．
知识点2 用函数的导数研究函数的单调性
求解函数
y?f(x)
单调区间的步骤：
（1）确定函数
y?f(x)
的定义域；
（2）求导数
y?f(x)
；
（3）解不等式
f(x)?0
，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式
f(x)?0
，解集在定义域内的部分为减区间．
注意：对于可导函数
f(x)
来说,
f(x)?0
是函数
f(x)
在(a,b)上为单调增函数的充分不必
'
'
'
''
'
'
'
'
'
'
'
要条件,
f(x)? 0
是函数
f(x)
在(a,b)上为单调减函数的充分不必要条件,如函数
'
f(x)?x
3
在R上为增函数,

三．知识应用

2判断下列函数的单调性例,并求出单调区间:

?
1
?
f
?
x
?
?x
3
?3x;
?
2< br>?
f
?
x
?
?x
2
?2x?3;


?
3
?
f
?
x
?
?sinx? x,x?
?
0,
?
?
;
?
4
?
f
?
x
?
?2x
3
?3x
2
?24x?1.
【解析】先求出导数，然后求解不等式进行判断、求解，使
f
?
(x)?0< br>的区间为增区间，使
f
?
(x)?0
的区间为减区间。
利用导数判断函数单调性及单调区间应注意的问题：
（1）在利用导数讨论函数的单调区间时 ，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，
只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的 单调区间.
（2）在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还有注意在定义域内
不连续点和不可导点.
（3）注意在某一区间内
f
?
(x)?0< br>（或
f
?
(x)?0
）是函数
f(x)
在该区间上为 增（减）函
数的充分条件，如
f(x)?x
是R上的可导函数，也是R上的单调增函数 ，但当
x?0
时，
3
f
?
(x)?0
.
（4）如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间中间不能用“
U
”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开.

四．课堂练习
1.判断下列函数的单调性，并求出单调区间

(1)f(x)?x
2
?2x?4

(2)f(x)?e
x
?x
(3)f(x)?3x?x
3
(4)f(x)?x
3
? x
2
?x
2.求证：函数
f(x)?2x
3
?6x2
?7
在
(0,2)
内是减函数。

五．小结
求解函数
y?f(x)
单调区间的步骤：
（1）确定函数
y?f(x)
的定义域；
（2）求导数
y
'
?f
'
(x)
；

（3）解不等式
f
'
(x)?0
，解集在定义域内的部分为增区间 ；
（4）解不等式
f
'
(x)?0
，解集在定义域内的部分为减区间．
六、作业布置
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