重点高中数学选修22主要内容

重点高中数学选修22主要内容

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2

第一章 导数及其应用

1.1 变化率与导数

问题中的变化率可用式子

若设
?x?x
2
?x
1
,
?f?f(x
2
)?f(x
1
)
(这里
?x看作是对于x
1
的一个“增量”可用x
1
+
?x
代替x
2
,同样
f(x
2
)?f(x
1
)
表示,
x
2
?x
1

称为函数f(x)从x
1
到x
2
的平均变化率
?f??y ?f(x
2
)?f(x
1
)
)则平均变化率为
f(x
2
)?f(x
1
)f(x
1
??x)?f(x
1
)
?y?f
?

??
x
2
?x
1
?x
?x?x

在前面我们解决的问题：
1、求函数
f(x)?x
在点（2，4）处的切线斜率。
2
?yf(2??x)?f(x)
??4??x
，故斜率为4
?x?x
2
2、直线运动的汽车速度V与时间t的关系是
V?t?1
，求
t?t
o
时的瞬时速度。
?V
v(t
o
?? t)?v(t
o
)
??2t
o
??t
，故斜率为4
?t?t
二、知识点讲解
上述两个函数
f(x)
和
V(t )
中，当
?x
(
?t
)无限趋近于0时，
趋近于一个常数。
归纳：一般的，定义在区间（
a
，
b
）上的函数
f(x)< br>，
x
o
?(a，b)
，当
?x
无限趋近于0
?V?V
()都无限
?t?x
时，
?y
f(x
o
? ?x)?f(x
o
)
?
无限趋近于一个固定的常数A，则称
f(x)
在
x?x
o
?x?x
处可导，并称A为
f(x)
在
x?x
o
处的导数，记作
f'(x
o
)
或
f'(x)|
x?x
o
，

函数y=f(x)在x=x
0
处的瞬时变化率是:
?x?0
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?f
?lim
?x?0
?x?x
'
'
我们称它为函数
y?f(x)
在
x?x
0
出的导数，记作
f(x
0
)
或
y|
x?x
0
，即

3

f
?< br>(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f( x
0
)

?x
f(x)?f(x
0
)
< br>x?x
0
说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x
0
处的瞬时 变化率
（2）
?x?x?x
0
，当
?x?0
时 ，
x?x
0
，所以
f
?
(x
0
)?lim
?x?0
当点
P
n
沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线
PP
n
趋近于确定的位置，这个
确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.
函数y=f(x)在x=x
0
处的导数等于在该点
(x
0< br>,f(x
0
))
处的切线的斜率，
即
f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x< br>0
)
?k

?x
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P点的坐标;
②求出函数在点
x
0
处的变化率
f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)?k
，得到曲线在点
?x
(x
0
,f(x
0
))
的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
由函数f(x)在x=x
0
处求导数的过程可以看到,当时,
f
?
(x
0
)
是一个确定的数，那
么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：
f
?
(x)
或
y
?
，
即:
f
?
(x)?y
?
?lim
?x?0
f(x??x)?f(x)。
?x
函数
f(x)
在点
x
0
处的导数f
?
(x
0
)
、导函数
f
?
(x)< br>、导数 之间的区别与联系。
1）函数在一点处的导数
f
?
(x0
)
，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，
它是一个常数， 不是变数。
2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数
'
3）函数
f(x)
在点
x
0
处的导数
f (x
0
)
就是导函数
f
?
(x)
在
x?x
0
处的函数值，这也是 求函
数在点
x
0
处的导数的方法之一。
1．函数
y?f(x)?c
的导数
根据导数定义，因为
?yf(x??x)?f(x)c?c
???0

?x?x?x
?y
?lim0?0
所以
y
?
?lim
?x?0
?x
?x?0
函数 导数

4

y?c

y
?
?0

y
?
?0
表示函数
y?c
图像（图3.2-1）上每一点处 的切线的斜率都为0．若
y?c
表示路程
关于时间的函数，则
y
?< br>?0
可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处
于静止状态．
2．函数
y?f(x)?x
的导数
因为
?yf(x??x)?f(x)x??x?x
???1

?x? x?x
?y
所以
y
?
?lim?lim1?1

?x?0
?x
?x?0
函数 导数
y?x

y
?
?1

y
?
?1
表示函数
y ?x
图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若
y?x
表示路程
关于时间的函数，则
y
?
?1
可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动 ．


3．函数
y?f(x)?x
的导数
2
? yf(x??x)?f(x)(x??x)
2
?x
2
??
因为 ?x?x?x
x
2
?2x?x?(?x)
2
?x
2??2x??x

?x
所以
y
?
?lim
?y
?lim(2x??x)?2x

?x?0
?x
?x?0
函数 导数
y?x
2

y
?
?2x

y
?
?2x
表示函数
y?x
2
图像（图3.2-3）上点
(x,y)
处的切线的斜率都为
2x
，说明随着
x
的
变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函 数在一点的瞬时变化率来看，
表明：当
x?0
时，随着
x
的增加，函 数
y?x
减少得越来越慢；当
x?0
时，随着
2
x
的增加，函数
y?x
2
增加得越来越快．若
y?x
2
表示路 程关于时间的函数，则

5

y
?
?2x
可以解释为某物体做变速 运动，它在时刻
x
的瞬时速度为
2x
．
4．函数
y?f(x)?
1
的导数
x
11
?
?yf(x??x)?f(x)
x??xx
因为
??
?x?x?x
?
所以
y
?
?lim
x ?(x??x)1
??
2

x(x??x)?xx?x??x
?y1 1
?lim(?
2
)??
2

?x?0
?x
?x?0
x?x??xx
n*n?1
（2）推广：若
y?f(x)?x(n ?Q)
，则
f
?
(x)?nx


1.2 导数的计算





y?















导数的运算法则
函数 导数
y?c

f(x)?x
n
(n?Q
*
)

y
'
?0

y
'
?nx
n?1

y
'
?cosx

y
'
??sinx

y
'
?a
x
?lna(a?0)

y?sinx

y?cosx

y?f(x)?a
x

y?f(x)?e
x

f(x)?log
a
x

y
'
?e
x


f(x)?lnx

f
'
(x)?
1

x
导数运算法则
1．
?
f(x)?g(x)
?
?f(x)?g(x)
''
'
2．
?
f(x)?g(x)
?
?f(x)g(x )?f(x)g(x)

''
'

6

?
f(x)
?
f
'
(x)g(x)?f(x)g
'
(x)
(g(x)?0)
3．
??
?
2
g(x)
??
?
g(x)
?
'

复合函数的概念 一般地，对于两 个函数
y?f(u)
和
u?g(x)
，如果通过变量
u
，< br>y
可
以表示成
x
的函数，那么称这个函数为函数
y?f(u)
和
u?g(x)
的复合函数，记
作
y?f
?
g(x )
?
。
复合函数的导数 复合函数
y?f
?
g(x)< br>?
的导数和函数
y?f(u)
和
u?g(x)
的导数间的关系为
y
x
?
?y
u
?
?u
x
?
，即
y
对
x
的导数等于
y
对
u
的导数与
u
对
x
的导数的乘积．
?
?f
??
g(x)
?
?g
?
(x)

fg(x)?
若
y?f
?
g(x)
?
，则
y
?< br>?
?
??
??

1．3 导数在研究函数中的应用

在某个区间
(a,b)
内，如果
f(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间内单调
递增；如果
f(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间内单调递减．
特别的，如果
f(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间内是常函数．
求解函数
y?f(x)
单调区间的步骤：
（1）确定函数
y?f(x)
的定义域；
（2）求导数
y?f(x)
；
（3）解不等式
f(x)?0
，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式
f(x)?0
，解集在定义域内的部分为减区间．
一般的， 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围
内变化的快，这时，函数的图像就比 较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．
'
'
''
'
'
'

7

一般地，在闭区间
?
a,b
?
上函数
y?f(x)
的图像是一条连续不断的曲线，那么
函数
y ?f(x)
在
?
a,b
?
上必有最大值与最小值．
“最值”与“极值”的区别和联系
⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的 ，具有绝对性；而“极值”是个
局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．
⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；
⑶函数在其定义区间 上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也
可能没有一个
⑷极值只能 在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有
最值的未必有极值；极值 有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
利用导数求函数的最值步骤:
由 上面函数
f(x)
的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点
的函数 值进行比较，就可以得出函数的最值了．
一般地，求函数
f(x)
在
?a,b
?
上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求
f(x)
在
(a,b)
内的极值；
⑵将
f( x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
、
f(b)
比较，其中最大 的一个是
最大值，最小的一个是最小值，得出函数
f(x)
在
?
a, b
?
上的最值

1.4 生活中的优化问题举例

解决 优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当
的函数关系，并确定函数的定义 域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核
心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的 性质，提出优化方案，使问
题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

1.5 定积分的概念



8

回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：
分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）
定积分的概念
一般地，设 函数
f(x)
在区间
[
a
,
b
]
上连续， 用分点
a
=
x
0
<
x
1
<
x< br>2
x
i
-1
<
x
i
x
n
=
b

将区间
[a,b]
等分成
n
个小区间，每个小区间长度为
D
x
（
D
x
=< br>b
-
a
），在每个小区间
n
L,
n
)
，作和式：
[
x
i
-1
,
x
i
]上任取一点
x
i
(
i
=1,2,
S
n
=
如果
D
x
无限接近于
0
（亦即
n
?邋
f
(x
i
)D
x
=
i
=1
n
b
-
a
f
(x
i
)

n
i
=1
n
?
）时，上述和式
S
n
无限趋近于常数
S
，那么称该常
数
S
为函数
f(x)
在区间
[a,b]
上的定积分。记为：
S
=
其中
ò
a
b
f
(
x
)
dx
，
ò
-
积分号，
b
－积分上限，
a
－积分下限，
f(x)
－被积函数，x
－积分变量，
[a,b]
x
)
dx
－被积式。 －积 分区间，
f
(
说明：（1）定积分
dx
是一个常数，即
S< br>ò
a
f
(
x
)
，而不是
S
n
．
b
n
无限趋近的常数
S
（
n
??
时 ）记为
ò
a
b
f
(
x
)
dx
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：
n
等分区间
[
a
,< br>b
]
；②近似代替：取点
x
i
?
[
x
i
-1
,
x
i
]
；③求和：
?
b
-
a
f
(x
i
)
；④取极限：
n
i=1
n
ò
a
b
f
(
x
)
dx
=lim
n
?
i
n
f
(
x
i)
=1
b
-
a

n
（3）曲边图形面积：
S
=
力做功
W
=

定积分的几何意义
ò
a
b
f
(
x
)dx
；变速运动路程
S
=
ò
t
t
2
v
(
t
)
dt
；变
1
ò
a
b
F
(
r
)
dr

从几何上看，如果在区间
[a
,
b
]
上函数
f
(
x
)
连 续
且恒有
f
(
x
)?0
，那么定积分
ò
a
f
(
x
)
dx
表示由直
b

9

线
x
=
a
,
x=
b
(
a
?
b
),
y
部分)的面积， 这就是定积分
说明：一般情况下，定积分
b
0
和曲线
y
=< br>f
(
x
)
所围成的曲边梯形(如图中的阴影
ò
af
(
x
)
dx
的几何意义。
b
dx
的几何意义是介于
x
轴、函数
f(x)
的图形以及直线
ò
a
f
(
x
)
x
=
a
,
x
=
b
之间各部分面积的代数和，在
x
轴上方的面积取正号，在
x
轴下方的
面积去负号。
分析：一般的，设被积函数
y
=
f
(
x
)
，若
y
=
f
(
x
)在
[a,b]
上可取负值。
考察和式
f
(
x
1
)
D
x
+
f
(
x
2
)
D
x
+L+
f
(
x
i
)D
x
+L +
f
(
x
n
)
D
x

,
f
(
x
i
+1
),L,
f
(
x
n
)<0
不妨设
f
(
x
i
)
于是和式即为
f
(
x
1
)
D
x
+
f
(
x
2
)
D
x
+L+
f
(
x
i
-1
)D
x
-{[-
f
(
x
i
)D
x
]+L+[-
f
(
x
n
)
Dx
]}


ò
a
f
(
x
)dx
=
阴影
A
的面积—阴影
B
的面积（即
x< br>轴上方面积减
x
轴下方的面积）
b
思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？

3．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1
性质2
ò
a
b
kdx
=
k
(
b
-
a
)
；
b
a
kf
(
x
)dx
=
k
蝌
a
性质3
质）；
性质4
b
1
b
；
f
(
x
)dx
(
k
为常数)
（定积分的线性性质）
b
a
[
f
(
x
)?
f
(
x
)]
dx< br>蝌
a
2
f
1
(
x
)
dx
?
?
a
f
(
x
)
dx
（定积分的线性性2
b
f
(
x
)
dx
=
蝌
a< br>a
b
bc
a
f
(
x
)
dx
+
a
?
c
b
f
(
x
)
dx
(其中
a
<
c
<
b
)
（定积分对积分
区 间的可加性）
(1)
f
(
x
)
dx
=-
蝌
a
b
f
(
x
)
dx
； (2)
ò
a
f
(
x
)
dx
=0
；

10

说明：①推广：
[
f
(
x
)北
f
(
x
)
蝌
a
12
b< br>L?
f
m
(
x
)]
dx
c
1
a
b
a
f
1
(
x
)
dx
北蝌
f
2
(
x
)
dx
a
b
L?
b
b
a
f
m
(
x
)

②推广:
f
(
x
)
dx
=
蝌
a
b
f
(
x
)
dx
+
f
(
x
)
dx
+L+
蝌
c
1
c
2
c
k< br>f
(
x
)
dx

③性质解释：
y
y
A
性
y=1
O
a
b
x
性C
B
M
Oa
P
b
N
x

S< br>曲边梯形
AMNB
=
S
曲边梯形
AMPC
+
S
曲边梯形
CPNB




第二章 推理与证明

2.1 合情推理与演绎推理

●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳
推理(简称归纳).
注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由
部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：（部分—整体，个别
—一般）
通过观察个别情况发现某些相同的性
质 从已知的相同性质中推出一个明确表

11

述的一般命题（猜想）


类比推理的一般步骤：（特殊—特殊）
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相
似特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。即
观察、联想、猜想新

归纳推理和类比推理是常用的合情推理。

演绎推理的定义（一般—特殊）：从一般性的原理出发，
推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演< br>绎推理．
１．演绎推理是由一般到特殊的推理；
２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括
⑴大前提---已知的一般原理；
⑵小前提---所研究的特殊情况；
⑶结论----- 据一般原理，对特殊情况做出的
判断．

2.2 直接证明与间接证明

分析法和综合法（直接证明）：是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，
分析法是从数 学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题
设的已知条件。综合法则是从数学题 的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后
达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现 为执果索因，综合法表
现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。


反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从< br>这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命
题正确的一种方 法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证
法(结论的反面不只一种)。用反证 法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；

12

(2)归谬；(3)结论。
反设是反 证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述
形式是有必要的，例如：是不是；存 在不存在；平行于不平行于；垂直于不垂直
于；等于不等于；大(小)于不大(小)于；都是不都是；至 少有一个一个也没有；至
少有n个至多有(n一1)个；至多有一个至少有两个；唯一至少有两个。 < br>归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则
推导将成为无源 之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与
已知条件矛盾；与已知的公理、定义、 定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

2.3 数学归纳法



第3章 数系的扩充与复数的引入

3.1数系的扩充和复数的概念

因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一 次扩充，对数学学科本身来
说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在 整数
集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开
方开不尽 的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x
2
=－1这样的方程还是无解的，
因为没 有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数
i
，叫做
虚数单 位.并由此产生的了复数
讲解新课：
1.虚数单位
i
:
(1)它的平方等于-1，即
i??1
;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.
2.
i
与－1的关系:
i
就是－1的一个平方根，即方程x
2
=－1的一个根，方程x
2
=
－1的另一个根是－
i
!
3.
i
的周期性：
i
4n+1
=i,
i
4n+2
=-1,
i
4n+3
=-i,
i
4n
=1
2
4.复数的定义：形如
a?bi(a,b? R)
的数叫复数，
a
叫复数的实部，
b
叫复数
的虚部全体复 数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*
3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即< br>z?a?bi(a,b?R)
，把复数
表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式

13

4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数a?bi(a,b?R)
，当且仅
当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当 b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0
且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b= 0时，z就是实数0.

5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC.
6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说
这两个复数相等
这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di
?
a=c，b=d

几何意义：复平面、实轴、虚轴：
复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对 (a，
y
Z(a，b)
b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数
bz=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以
由一个有序实数对(a，b)惟一确定 ，如z=3+2i可
以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由
有序实数对(－ 2，1)来确定；又因为有序实数对(a，
o
x
a
b)与平面直角坐标系中的 点是一一对应的，如有
序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建 立了一
一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对
应的关系.
点Z的横坐标是 a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这
个建立了直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，
y轴叫做虚轴
实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定
的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
在 复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的
点(0，－1)表 示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i
非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2， 3)表示的复数是－2+3i，z=－5－
3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等.
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
?
复平面内的点
Z(a,b)
复数
z?a?bi
????
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内
一一对应

14

的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.
uuur
?
平面向量
OZ
复平面内的点
Z(a,b)
????
一一对应

3.2复数代数形式的四则运算


复数代数形式的加减运算
１． 复数z
1
与z
2
的和的定义：z
1
+z
2
=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
2. 复数z
1
与 z
2
的差的定义：z
1
-z
2
=(a+bi)-(c+di )=(a-c)+(b-d)i.
3. 复数的加法运算满足交换律: z
1
+z
2
=z
2
+z
1
.
证 明：设z
1
=a
1
+b
1
i，z
2
=a< br>2
+b
2
i(a
1
，b
1
，a
2< br>，b
2
∈R).
∵z
1
+z
2
=(a1
+b
1
i)+(a
2
+b
2
i)=(a1
+a
2
)+(b
1
+b
2
)i.
z
2
+z
1
=(a
2
+b
2
i)+(a< br>1
+b
1
i)=(a
2
+a
1
)+(b2
+b
1
)i.
又∵a
1
+a
2
= a
2
+a
1
，b
1
+b
2
=b
2
+b
1
.
∴z
1
+z
2
=z
2
+z
1
.即复数的加法运算满足交换律.
4. 复数的加法运算满足结合律: (z
1
+z
2
)+z
3
=z
1
+(z
2
+z
3
)
证明：设z
1=a
1
+b
1
i.z
2
=a
2
+b< br>2
i，z
3
=a
3
+b
3
i(a
1
，a
2
，a
3
，b
1
，b
2
，b
3
∈R).
∵(z
1
+z
2
)+z
3< br>=［(a
1
+b
1
i)+(a
2
+b
2i)］+(a
3
+b
3
i)
=［(a
1
+a
2
)+(b
1
+b
2
)i］+(a
3
+b
3
)i
=［(a
1
+a
2
)+a
3］+［(b
1
+b
2
)+b
3
］i
=(a< br>1
+a
2
+a
3
)+(b
1
+b
2
+b
3
)i.
z
1
+(z
2
+z
3
)=(a
1
+b
1
i)+［(a
2
+b
2
i)+(a
3
+b
3
i)］
=(a
1
+b
1
i)+［(a
2
+a
3
)+(b
2
+b
3
)i］
=［a
1
+(a
2
+a
3
)］+［b
1
+(b
2
+b
3
)］i
=(a
1
+a
2
+a
3
)+(b
1
+b< br>2
+b
3
)i
∵(a
1
+a
2
) +a
3
=a
1
+(a
2
+a
3
)，(b< br>1
+b
2
)+b
3
=b
1
+(b
2
+b
3
).
∴(z
1
+z
2
)+z3
=z
1
+(z
2
+z
3
).即复数的加法运 算满足结合律
复数加法的几何意义：
设复数z
1
=a+bi，z
2
=c+di，在复平面上所对应的向量为
OZ
1
、即
OZ
1
、
OZ
2
，
OZ
2
的坐标形式为
OZ< br>1
=(a，b)，
OZ
2
=(c，d)以
OZ
1、
OZ
2
为邻边
作平行四边形OZ
1
ZZ
2< br>，则对角线OZ对应的向量是
OZ
，
∴
OZ
=
O Z
1
+
OZ
2
=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝( a+c)+(b+d)i
复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(a－c)+(b< br>－d)i，所以z－z
1
=z
2
，z
2
+z
1
=z，由复数加法几何意义，以
OZ
为一条对角线，
OZ
1
为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ
2
所表示的向量
OZ2
就与
uuuuruuur
复数z－z
1
的差(a－c)+(b －d)i对应由于
OZ
2
?Z
1
Z
，所以，两个复数的差z －z
1
与

15

连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.

１．乘法运算规则：
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z
1
=a+bi，z
2
=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+ bi)(c+di)=(ac
－bd)+(bc+ad)i.
其实就是把两个复数相乘，类似 两个多项式相乘，在所得的结果中把i
2
换成－
1，并且把实部与虚部分别合并.两个 复数的积仍然是一个复数.
2.乘法运算律：
(1)z
1
(z
2
z
3
)=(z
1
z
2
)z
3

证明：设z
1
=a
1
+b
1
i，z
2=a
2
+b
2
i，z
3
=a
3
+b< br>3
i(a
1
，a
2
，a
3
，b
1< br>，b
2
，b
3
∈R).
∵z
1
z
2
=(a
1
+b
1
i)(a
2
+b
2i)=(a
1
a
2
-b
1
b
2
)+( b
1
a
2
+a
1
b
2
)i，
z
2
z
1
=(a
2
+b
2
i)(a
1
+b
1
i)=(a
2
a
1
-b
2
b
1
)+(b
2
a
1
+a
2
b
1
)i.
又a
1
a
2
-b
1
b
2
=a
2
a
1
-b
2
b
1
，b< br>1
a
2
+a
1
b
2
=b
2
a
1
+a
2
b
1
.
∴z
1
z
2
=z
2
z
1
. (2)z
1
(z
2
+z
3
)=z
1
z
2
+z
1
z
3
证明：设z
1
=a
1
+b
1
i，z
2
=a
2
+b
2
i，z
3
=a
3
+b
3
i(a
1
，a< br>2
，a
3
，b
1
，b
2
，b
3∈R).
∵(z
1
z
2
)z
3
=［(a
1
+b
1
i)(a
2
+b
2
i)］(a< br>3
+b
3
i)=［(a
1
a
2
-b
1
b
2
)+(b
1
b
2
+a
1
b
2
)i］(a
3
+b
3
i)
=［(a
1
a
2
-b
1
b
2
)a
3
-(b< br>1
a
2
+a
1
b
2
)b
3
］+［(b
1
a
2
+a
1
b
2
)a
3
+(a
1
a
2
-b
1
b
2
) b
3
］i
=(a
1
a
2
a
3
- b
1
b
2
a
3
-b
1
a
2
b
3
-a
1
b
2
b
3
)+(b
1
a
2
a
3
+a
1
b
2
b
3
+a
1
a
2
b
3
-b
1
b< br>2
b
3
)i，
同理可证：
z
1
(z2
z
3
)=(a
1
a
2
a
3
-b
1
b
2
a
3
-b
1
a
2b
3
-a
1
b
2
b
3
)+(b
1
a
2
a
3
+a
1
b
2
a3
+a
1
a
2
b
3
-b
1
b
2
b
3
)i，
∴(z
1
z
2
) z
3
=z
1
(z
2
z
3
).
( 3)z
1
(z
2
+z
3
)=z
1
z
2
+z
1
z
3
.
证明：设z
1
=a< br>1
+b
1
i，z
2
=a
2
+b
2< br>i，z
3
=a
3
+b
3
i(a
1
， a
2
，a
3
，b
1
，b
2
，b
3
∈R).
∵z
1
(z
2
+z
3
)=(a
1
+b
1
i)［(a
2
+b
2
i)+(a
3
+b
3
i)］=(a
1
+b
1
i)［( a
2
+a
3
)+(b
2
+b
3
)i］ < br>=［a
1
(a
2
+a
3
)-b
1
( b
2
+b
3
)］+［b
1
(a
2
+a3
)+a
1
(b
2
+b
3
)］i
= (a
1
a
2
+a
1
a
3
-b
1< br>b
2
-b
1
b
3
)+(b
1
a2
+b
1
a
3
+a
1
b
2
+ a
1
b
3
)i.
z
1
z
2
+z
1
z
3
=(a
1
+b
1
i)(a
2
+b
2
i)+(a
1
+b
1
i)(a
3
+b
3
i)
=(a
1
a
2
-b
1
b
2
)+(b
1
a
2
+a
1
b
2
)i+(a
1
a
3
-b
1
b
3
)+(b
1
a
3
+a
1
b
3
)i
=(a
1
a
2
-b
1
b
2
+a< br>1
a
3
-b
1
b
3
)+(b
1a
2
+a
1
b
2
+b
1
a
3
+a
1
b
3
)i
=(a
1
a
2
+a
1
a
3
-b
1
b
2
-b1
b
3
)+(b
1
a
2
+b
1
a
3
+a
1
b
2
+a
1
b
3< br>)i
∴z
1
(z
2
+z
3
)=z
1
z
2
+z
1
z
3
.
例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)
解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i.
例2计算：
（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)
2
.
解：（1）(3+4i) (3-4i) =3
2
-（4i）
2
=9-(-16)=25;
(2) （1+ i)
2
=1+2 i+i
2
=1+2 i-1=2 i.
3.共轭 复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部
不等于0的两个共 轭复数也叫做共轭虚数
通常记复数
z
的共轭复数为
z
。
4. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫 复数a+bi除以复数c+di的商，

16

记为：(a+bi)
?
(c+di)或者
a?bi

c?di
5.除法运算规则：
①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，
即(a+bi)÷(c+di)=x+yi
∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.
∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.
?
cx?dy?a,
由复数相等定义可知
?

dx?cy? b.
?
ac?bd
?
x?,
?
?
c
2?d
2
解这个方程组，得
?

?
y?
bc?a d
.
?
c
2
?d
2
?
于是有:(a+bi )÷(c+di)=
ac?bdbc?ad
?
2
i.
222c?dc?d
②利用(c+di)(c－di)=c
2
+d
2
. 于是将
a?bi
的分母有理化得：
c?di
原式=
a?bi(a? bi)(c?di)[ac?bi?(?di)]?(bc?ad)i
??

22c?di(c?di)(c?di)c?d
?
(ac?bd)?(bc?ad)iac?b dbc?ad
?
2
?
2
i
.
2222
c ?dc?dc?d
∴(a+bi)÷(c+di)=
ac?bdbc?ad
?i
.
c
2
?d
2
c
2
?d
2
点 评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的
分母有理化思想方法，而复数 c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的
的对偶式
3?2
3?2
，它 们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c
2
+d
2
是正实数 .所
以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法


17