高一数学下册函数知识点讲解

高一数学下册函数知识点讲解


1. 函数的奇偶性
(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x)
(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(0)=0(可
用于求参数);
(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：
f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);
(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判
断其奇偶性;
(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶
函数在对称的单调区间内有相反的单调性;
2. 复合函数的有关问题
(1)复合函数定义域求法：若已知 的定义域为[a， b],
其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;
若已知f[g (x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于
x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的
问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;
3.函数图像（或方程曲线的对称性）

(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关
于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点
关于对称中心(对称轴)的对称 点仍在C2上，反之亦然;
(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a )的对称曲
线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方
程为：f(2a- x,2b-y)=0;
(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成 立，
则y=f(x)图像关于直线x=a对称;
(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对
称;
4.函数的周期性
(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或
f(x-2a )=f(x) (agt;0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周
期函数;
(2)若y=f(x )是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，
则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;
(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，
则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数 ;
(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周
期为2 的周期函数;

(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函
数y=f(x)是周期为2 的周期函数;
(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，
则y=f(x)是周期为2 的周期函数;
5.方程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域)；
a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立
a≤[f(x)]min;
(1) (agt;0,a≠1,bgt;0,n∈R+);
(2) l og a N= ( agt;0,a≠1,bgt;0,b≠1);
(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆;
(4) a log a N= N ( agt;0,a≠1,Ngt;0 );
6. 判断对应是否为映射时，抓住两点：
(1)A中元素必须都有象且唯一;
(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B
中可以有相同的象;
7. 能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，
判断函数的奇偶性。
8.对于反函数，应掌握以下一些结论：
(1)定义域上的单调函数必有反函数;
(2)奇函数的反函数也是奇函数;
(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;
(4)周期函数不存在反函数;

(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;
(6) y=f(x)与y=f-1(x)互为 反函数，设f(x)的定义
域为A，值域为B，则有
f[f--1(x)]=x(x∈B),f --1[f(x)]=x(x∈A);
9.处理二次函数的问题勿忘数形结合
二次 函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看
法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置 关
系;
10 依据单调性
利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数
的范围问题;
11 恒成立问题的处理方法：
(1)分离参数法;
(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求
解;
练习题：
1． （－3,4）关于x轴对称的点的坐标为_________,
关于y轴对称的点的坐标为___ _______,
关于原点对称的坐标为__________.
2． 点B（－5,－2）到x轴的距离是____,到y轴的
距离是____,到原点的距离是____
3． 以点（3,0）为圆心,半径为5的圆与x轴交点坐

标为_____ ____________,
与y轴交点坐标为________________
4． 点P（a－3,5－a）在第一象限内,则a的取值范
围是____________
5． 小华用500元去购买单价为3元的一种商品,剩
余的钱y（元）与购买这种商品的件数x（件）
之间的函数关系是______________,x的取值范围是
__________
6． 函数y= 的自变量x的取值范围是________
7． 当a=____时,函数y=x 是正比例函数
8． 函数y=－2x＋4的图象经过_____ ______象限,它
与两坐标轴围成的三角形面积为_________,
周长为_______
9． 一次函数y=kx＋b的图象经过点（1,5）,交y轴
于3,则k=____,b=____
10．若点（m,m＋3）在函数y=－ x＋2的图象上,则
m=____
11． y与3x成正比例,当x=8时,y=－12,则y与x的
函数解析式为___________
12．函数y=－ x的图象是一条过原点及（2,___ ）
的直线,这条直线经过第_____象限,
当x增大时,y随之________