高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解

(经典)高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解
分析
一、函数的概念与表示
1、映射：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的 方法。一对多不是映射，多对一是映
射
集合A，B是平面直角坐标系上的两个点集，给定从A →B的映射f:(x,y)→(x
2
+y
2
,xy)，求象(5，2)
的原象.
1
3.已知集合A到集合B＝｛0，1，2，3｝的映射f:x→
x?1
，则集合A中的元素最多有几个?写出元
素最多时的集合A.
2、函数。构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域
两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同
1、下列各对函数中，相同的是 （ ）
x?1
,g(x)?lg(x?1)?lg(x?1)
A、
f(x)?lgx
2
,g(x)?2lgx
B、
f(x)?lg
x?1
C、
f(u)?
1?u
,g(v)?
1?v
D、f（x）=x，
f(x)?x
2

1?u1?v
2、
M ?{x|0?x?2},N?{y|0?y?3}
给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合
N的函数关系的有 （ ）
A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个
y
2
1
O
y
2
1
1
2 x
O
y
3
2
1
2
1
1
2 x
O
y
1 2
x
O
1 2 x

二、函数的解析式与定义域
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法
待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设
f(x)< br>是一次函数，且
f[f(x)]?4x?3
，求
f(x)

配 凑法：已知复合函数
f[g(x)]
的表达式，求
f(x)
的解析式，
f[g(x)]
的表达式容易配成
g(x)
的运算形式
时，常用配凑法。但 要注意所求函数
f(x)
的定义域不是原复合函数的定义域，而是
g(x)
的 值域。
11
例2 已知
f(x?)?x
2
?
2

(x?0)
，求
f(x)
的解析式
x
x
三、换元法：已知复合函数
f[g (x)]
的表达式时，还可以用换元法求
f(x)
的解析式。与配凑法一样，要
注意所换元的定义域的变化。
例3 已知
f(x?1)?x?2x
，求
f(x?1)

四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
例4已知：函 数
y?x
2
?x与y?g(x)
的图象关于点
(?2,3)
对称，求
g(x)
的解析式

1

五、构造方程组 法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过
1
解方程 组求得函数解析式。例5 设
f(x)满足f(x)?2f()?x,
求
f(x)

x
1
,
试求
f(x)和g(x)
的解析式 例6 设f(x)
为偶函数，
g(x)
为奇函数，又
f(x)?g(x)?
x?1
六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变 量进行
赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：
f (0)?1
，对于任意实数x、y，等式
f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)
恒成立，求
f(x)

七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推 得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或
者迭代等运算求得函数解析式。
例8 设
f(x)
是
N
?
上的函数，满足
f(1)?1
，对任意的自 然数
a,b
都有
f(a)?f(b)?f(a?b)?ab
，求
f(x)

1、求函数定义域的主要依据：
（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；
（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1； < br>6.（05江苏卷）函数
y?log
0.5
(4x
2
?3x)
的定义域为
2求函数定义域的两个难点问题
（1）
已知f(x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

（2）
已知f(2x－1)的定义域是[-1,3],求f(x)的定义域

例2设
f(x)?lg
2?xx2
，则
f()?f()
的定义域为________ __
2?x2x
变式练习：
f(2?x)?4?x
2
，求
f(x)
的定义域。
三、函数的值域
1求函数值域的方法
①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；
②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；
③判别式法 ：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且
x
∈R的分式；
④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；
⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；
⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；
⑦利用对号函数
⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 1
1．（直接法）
y?
2
2．
f(x)?2?24?2x?x< br>2
3．（换元法）
y??x?2x?1

x?2x?3
3xx
x
2
?1
4. （Δ法）
y?
2
5.
y?
2
6. (分离常数法) ①
y?

x?1
x?4
x ?1
②
y?
3x?13
(?2?x?4)
7. (单调性)
y?x?(x?[?1,3])
8.①
y?
2x?12x
1
，②< br>x?1?x?1
2

y?x?1?x?1
9． (图象法)
y?3?2x?x
2
(?1?x?2)
10．(对勾函
8
数)
y?2x?(x?4)

x
11. (几何意义)
y?x?2?x?1

四．函数的奇偶性
1．定义:2.性质：
①y=f(x)是偶函数
?
y=f(x)的图象关于
y
轴对称, y=f(x)是奇函数
?
y=f(x)的图象关于原点对
称,
②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0
③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D
1
，D
2
，D
1
∩D
2
要关于原点对
称]
3．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系
1 已知函数
f(x)
是定义在
(??,??)
上的偶函数. 当< br>x?(??,0)
时，
f(x)?x?x
4
，则当
x?(0, ??)
时，
f(x)?
.
?2
x
?b
2 已知定义域为
R
的函数
f(x)?
x?1
是奇函数。（Ⅰ）求
a,b
的值；（Ⅱ）若对任意的
2?a< br>t?R
，不等式
f(t
2
?2t)?f(2t
2
?k )?0
恒成立，求
k
的取值范围；
3 已知
f(x)
在（ －1，1）上有定义，且满足
x,y?(?1,1)有f(x)?f(y)?f(
证明：
f(x)
在（－1，1）上为奇函数；
x?y
),

1?xy
4 若奇函数
f(x)(x?R)
满足
f(2)?1
，
f(x?2)?f(x)?f(2)
，则
f(5)?
_______
五、函数的单调性
1、函数单调性的定义：2 设
y?f
?
g?
x
?
?
是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则
y?f
?
g
?
x
?
?
在M上是减函数；若 f(x)与g(x)的单调性相同，则
y?f
?
g
?
x
?< br>?
在M上是增函数。
2例 函数
f(x)
对任意的
m,n? R
，都有
f(m?n)?f(m)?f(n)?1
，并且当
x?0
时 ，
f(x)?1
，
⑴求证：
f(x)
在
R
上是增函数； ⑵若
f(3)?4
，解不等式
f(a
2
?a?5)?2

3函数
y?log
0.1
(6?x?2x
2
)
的单 调增区间是________
?
(3a?1)x?4a,x?1
4(高考真题)已知
f(x)?
?
是
(??,??)
上的减函数，那么
a
的取值范围是
logx,x?1
a
?
1
11
（A）< br>(0,1)
（B）
(0,)
（C）
[,)

3
73
1
（D）
[,1)

7
一：函数单调性的证明1.取值 2，作差 3，定号 4，结论

3

二：函数单调性的判定，求单调区间
y?x
2
?2x?3

y?x
2
?2x?3

y??x
2
?5x?4

y?
1
?x?2x?3
2
2

1
y?log
2
(x
2
?3x?2)
< br>y?
2
y?x?
x
2
?4x
1
?
1
??
1
?

y?
2

y?
??
?2
??
?5

x?2x
?
x
??
x
?
aa
（
a?0
）
y?x?
（
a?0
）
xx
三：函数单调性的应用1.比较大小 例：如果函数
f(x)?x
2< br>?bx?c
对任意实数
t
都有
f(2?t)?f(t?2)
， 那么 A、
f(2)?f(1)?f(4)
B、
f(1)?f(2)?f(4)
C、
f(2)?f(4)?f(1)
C、
f(4)?f(2)?f(1)

2.解不等式例：定义在（－1，1）上的函数
f(x)
是减函数，且满足：
f(1?a)?f(a)
，求实数
a< br>的取值
范围。 例：设 是定义在 上的增函数， ，且 ，
求满足不等式
3.取值范围例: 函数
的
x
的取值范围.
在 上是减函数,则 的取值范围是_______．
x?1
?
(3a?1)x?4a< br>例：若
f(x)?
?
是
R
上的减函数，那么
a
的取值范围是（ ）
x?1
?
log
a
x
A.
(0,1)

1
11
B.
(0,)
C.
[,)

3
73

1
D.
[,1)

7
4. 二次函数最值例：探究函数f(x)?x
2
?2ax?1
在区间
?
0,1
?
的最大值和最小值。
例：探究函数
f(x)?x
2
?2x?1
在 区间
?
a,a?1
?
的最大值和最小值。
5.抽象函数单调性判断
例：已知函数
f(x)
的定义域是
(0,??)
，当
x?1
时，
f(x)?0
，且
f(xy)?f(x)?f(y)

⑴求
f(1)
，⑵证明
f(x)
在定义域上是增函数
11
)
≥2的
x
的取值范围 ⑶如果
f()??1
，求满足不等式
f(x)?f(
3x?2
例：已知函数
f
(
x
)对于任意
x
，
y
∈R，总有
f
(
x< br>)＋
f
(
y
)＝
f
(
x
＋
y
)，且当
x
>0时，
f
(
x
)<0，
f
(1)＝
2
－.
3

4

(1)求证：
f
(
x
)在R上是减函数； (2)求
f
(
x
)在[－3,3]上的最大值和最小值．
x
1
例：已知定义在区间(0，＋∞)上的函数
f
(
x
)满足
f
()＝
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)，且当
x
>1时，
f
(
x
)<0.
x
2
(1)求
f
(1)的值；(2)判断
f
(x
)的单调性；(3)若
f
(3)＝－1，解不等式
f
(|x
|)<－2.
六．函数的周期性：
1．（定义）若
f(x?T)? f(x)(T?0)?f(x)
是周期函数，T是它的一个周期。说明：nT也是
f(x)的周
期
（推广）若
f(x?a)?f(x?b)
，则
f(x)
是周期函数，
b?a
是它的一个周期
对照记忆
f(x?a)?f( x?a)
说明：
f(a?x)?f(a?x)
说明：
2．若
f(x ?a)??f(x)
；
f(x?a)?
1
f(x)
；
f(x ?a)??
1
f(x)
；则
f(x)
周期是2
a

1 已知定义在R上的奇函数
f
(
x
)满足
f
(< br>x+2
)
=－f
(
x
),则
,f
(6)的值 为
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2

2 定义在R上的偶函数
f(x)
，满足
f(2?x) ?f(2?x)
，在区间［-2,0］上单调递减，设
a?f(?1.5),b?f(2),c ?f(5)
，则
a,b,c
的大小顺序为_____________
3 已知
f
(
x
)是定义在实数集上的函数，且
f(x?2)?
1?f(x)
1?f(x)
,若f(1)?2?3,
则
f
(2005)= .
4 已知
f(x)
是(-
?，? ?
)上的奇函数，
f(2?x)??f(x)
，当0
?x?
1时，f (x)=x，则
f(7.5)=________
例11 设
f(x)
是定 义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足
f(2?x)??f(x)
，当
x?[0, 2]
时
f(x)?2x?x
2
⑴求证：
f(x)
是周期函数 ；⑵当
x?[2,4]
时，求
f(x)
的解析式；
⑶计算：
七．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)
1、已知函数
f(x)?4x
2
?mx?5
在区间
[?2,??)
上是增函数，则
f(1)的范围是
（ ）
（A）
f(1)?25
(B)
f(1)?25
(C)
f(1)?25
(D)
f(1)?25

2、方程
mx
2
?2mx?1?0
有一根大于1，另一根小于1，则实根m的取值范围是
_______
八．指数式与对数式
1．幂的有关概念

5

(1)零指数幂
a
0
?1(a?0)
(2)负整数指数幂
a
?n
?
1
a
n
?
a?0,n?N
?
?

m
(3) 正分数指数幂
a
n
?
n
a
m
?
a?0,m ,n?N
?
,n?1
?
；
(5)负分数指数幂
a
?
m
n
?
1
m
?
1
n?N
?,n?1
?

a
n
n
a
m
?
a?0,m,
(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
2．有理数指数幂的性质
?
1
?
a
r
a
s
?a
r?s
?
a?0,r,s?Q
?

?
2
?
?
a
r
?
s
?a
rs
?< br>a?0,r,s?Q
?

?
3
??
ab
?
r
?a
r
b
r
?
a?0,b?0,r?Q
?

3．根式根式的性质:当
n
是奇数，则
n
a
n
?a
；当
n
是偶数，则
n
a
n
?a??
?
aa?0
?
?aa?0

4．对数(1)对数的概 念:如果
a
b
?N(a?0,a?1)
,那么b叫做以a为底N的对数,记< br>b?log
a
N(a?0,a?1)

(2)对数的性质：①零与负数没有对数 ②
log
a
1?0
③
log
a
a?1

(3)对数的运算性质
logMN=logM+logN
对数换底公式：
log
a
N?
log
m
N
log
(N?0,a?0且a?1,m?0且m?1)< br>
m
a
对数的降幂公式：
log
n
n
am
N?
m
log
a
N(N?0,a?0且a?1)

1
(1)
(
1
)
?
2
(4ab< br>?1
)
3
?lg2?lg5
4
?
1
(2)
lg8?lg125
(0.1)
?2
(a
3
b< br>?3
)
2
lg10?lg0.1


十．指数函数与对数函数
1、 指数函数y=a
x
与对数函数y=log
a
x (a>0 , a≠1)互为反函数
名称 指数函数 对数函数
一般形式 Y=a
x
(a>0且a≠1) y=log
a
x (a>0 , a≠1)
定义域 (-∞,+ ∞) (0,+ ∞)
值域 (0,+ ∞) (-∞,+ ∞)
过定点 （０，1） （1，０）
指数函数y=a
x
与对数函数y=log
a
x (a>0 , a≠1)图象关于y=x对称
图象


a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函
单调性
数 a>1,在(0,+ ∞)上为增函数
０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数
减函数
值分布 y>1 ? y<1? y>0? y<0?

6

2. 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果< br>底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较
大小同理）
记住下列特殊值为底数的函数图象：

3、研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制
4、指数函数 与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论
复合函数的单调性是解 决问题的重要途径。
1、（1）
y?lgx?lg(5?3x)
的定义域为_______；
（2）
y?2
的值域为_________；
（3）
y?lg(? x
2
?x)
的递增区间为
___________
，值域为
___________

1
2、（1）
log
2
1
x??0
，则
x?________

4
2
4.若
a
2
x
+·
a
x
－≤0（
a
＞0且a
≠1），求
y
=2
a
2
x
－3·
a
x
+4的值域.
十．函数的图象变换
（1） 1、平移变换：（左+ 右- ，上+ 下- ）即
?0,右移;h?0,左移
y?f(x)?
h
? ?????y?f(x?h)
1
x?3
3、要使函数
y?1?2
x< br>?4
x
a
在
x?
?
??,1
?
上< br>y?0
恒成立。求
a
的取值范围。
1
2
1
2
y?f(x)???????y?f(x)?k
① 对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）
x轴
y?f(x)???y??f(x)< br>y轴
y?f(x)???y?f(?x)
k?0,下移;k?0,上移

y?f(x)?
原点
???y??f(?x)
y?x
y?f(x)???? y?f
?1
(x)

y轴右边不变，左边为右边部分的对称图
y?f (x)????????????y?f(x)
x轴上方图，将x轴下方图上翻
y?f(x)?
保留
??????????y?f(x)
1．f(x)的图象过点(0,1)，则f( 4-x)的反函数的图象过点（ ）
A.(3,0) B.(0,3) C.(4,1) D.(1,4)
x
2．作出下列函数的简图：（1）y=|log< br>2
|；2）y=|2
x
-1|；
（3）y=2
|x|
；

7

函数图像的变换
函数图象及变化规则 掌握几类基本的初等函数图像是学好本内容的前题

1、基本函数（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、
（4）指数函数、（5）对数函数、（6）三角函数。
2、图象的变换
（1）平移变换（左加右减）
①函数y=f(x+2)的图象是把函数y=f(x)的图像沿x轴向左 平移2个单位得到的；反之向右移
2个单位
②函数y=f(x)-3(的图象是把函数y=f (x)的图像沿y轴向下平移3个单位得到的；反之向上移
3个单位
（2）对称变换
①函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0对称；
函数y=f(x) 与函数y=-f(x)的图象关于直线y=0对称；
函数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图象关于坐标原点对称；
②如果函数y=f(x )对于一切x∈R都有f(x+a)=f(x-a)，那么y=f(x)的图象关于直线x=a对称。
③ y=f-1(x)与y=f(x)关于直线y=x对称 ⑤
y=f(x)→y=f(|x|)





3、伸缩变换
y=af(x)(a>0)的图象，可将y=f(x)的图象上的每 一点的纵坐标伸长(a>1)或缩短(0
y=f(ax)( a>0)的图象，可将y=f(x)的图象上的每一点的横坐标缩短(a>1)或伸长(0 十．函数的其他性质
1．函数的单调性通常也可以以下列形式表达：


f(x
1
)?f(x
2
)
?0
单调递增 x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
?0
单调递减
x
1
?x
2

8

2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：

f(x)?f(?x)?0
奇函数
f(x)?f(?x)?0
偶函数

3．函数的凸凹性：

x?xf(x
1
)?f(x2
)
f(
12
)?
凹函数（图象“下凹”，如：指数函数）
22
x?xf(x
1
)?f(x
2
)
f(
12
)?
凸函数（图象“上凸”，如：对数函数）
22


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