高中数学,函数性质综合应用

贾老师数学
则f(2 018)＝f(672×3＋2)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：－2
2．已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝2a－3，则实数a的取值 范围为________．
解析：∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5 －6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)<1，f(5)＝2a－3<1，
即a<2.
答案：(－∞，2)



考点三 函数性质的综合应用
[典例]
(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数 ，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)
＋f(2)＋f(3)＋…＋f(5 0)＝( )
A．－50
C．2
B．0
D．50
33
??
0，
1
?
时，
?
x＋
?
＝f(x)，
1，
(2)定义在R上的奇函数f(x)满足f
?< br>当x∈f(x)＝log (1－x)，则f(x)在区间
1
?
2
??
2
??
2
?
2
内是( )
A．减函数且f(x)>0
C．增函数且f(x)>0
[解析]
(1)法一：∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数得f(0)＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
B．减函数且f(x)<0
D．增函数且f(x)<0

贾老师数学
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f( 1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)
＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
π< br>?
法二：由题意可设f(x)＝2sin
?
?
2
x
?
，作出f(x)的部分图象如图所示．由图可知，f(x)的一个周期为4，
所以f(1)＋f (2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(5 0)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
1
0，
?
时，由f(x)＝log
1
(1－x)可知，f (x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)(2)当x∈
?
?< br>2
?
2
133
3
－，0
?
上也单调递增，且 f(x)<0.由f
?
x＋
?
＝f(x)知，函数的周期为，所以在区间?
1，
?
上，函在区间
?
?
2
??
2
??
2
?
2
数f(x)单调递增且f(x)<0.
[答案] (1)C (2)D

[解题技法]
(1)函数的奇偶性、对 称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在x＝0处有定义，则一定有f(0)
＝0；偶函数一定 有f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用．
(2)解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常 先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶
性和单调性求解．

[题组训练]
1．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列 结论正确的是( )
A．0C．f(1)<0 B．f(3)<0 D．f(3)解析：选C 由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.
由f(x＋2)＝－f(x)，
得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
故函数f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(3)＝f(－1)．
又f(x)在[0,2)上单调递减，
所以函数f(x)在(－2,2)上单调递减，
所以f(－1)>f(0)>f(1)，
即f(1)<02．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件 ：①对任意的x
1
，x
2
∈[4,8]，当x
1
2
时，都有
f?x
1
?－f?x
2
?
>0恒成立 ；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函数．若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(1 7)，则a，
x
1
－x
2

贾老师数学
b，c的大小关系正确的是( )
A．aC．a B．b D．c解析：选B 由①知函数f(x)在区间[4,8]上 单调递增．由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的
周期为8，所以b＝ f(11)＝f(3)，c＝f(17)＝f(2×8＋1)＝f(1)．由③可知f(x)的图象关于直线x＝ 4对称，
所以b＝f(11)＝f(3)＝f(5)，c＝f(1)＝f(7)．因为函数f(x)在区 间[4,8]上单调递增，所以f(5)b[课时跟踪检测]

A级
1．(2019·长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝e
x
＋e
x

sin x
C．y＝
|x|
－
B．y＝ln(|x|＋1)
1
D．y＝x－
x
解析：选D 选项A，B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0， ＋∞)上不是单调递增函数，
11
不符合题意；选项D中，y＝x－是奇函数，且y＝x和y＝ －在(0， ＋∞)上均为增函数，故y
xx
1
＝x－在(0，＋∞)上 为增函数，所以选项D正确．
x
1
2．下列函数中，与函数y＝
x
－2
x
的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是( )
2
A．y＝cos x
1
C．y＝
x
1
B．y＝x
3
2
?
?
－x，x≥0，
D．y＝
?
2

?
x，x<0
?

1
解析：选D 函数y＝
x
－2
x
为奇函数，且在R上单调递减．函数y＝cos x是偶函 数，且在R上不单调．函
2
11
数y＝x是奇函数，但在R上单调递增．函数y＝的定 义域是{x|x≠0}，不是R.画出函数y＝
3x
?
－x
2
，x≥ 0，
?
?
的大致图象如图所示，可知该函数是奇函数，且在R上单调递减．故选D.
2
，x<0
?
x
?


5
5x
x＋
?
＋f(x)＝0，3．已知定义在R上的奇函数f(x)有f
?
当－≤x≤0时，f(x)＝2＋a，则f(16)的值为( )
?
2
?
4
1
A.
2
3
C.
2
1
B．－
2
3
D．－
2

贾老师数学
55
x＋
?
＋f(x)＝0 ，得f(x)＝－f
?
x＋
?
＝f(x＋5)， 解析：选A 由f
?
?
2
??
2
?
∴f(x)是以5为周期的周期函数，
∴f(16)＝f(1＋3×5)＝f(1)．
∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(0)＝1＋a＝0，∴a＝－1.
5
∴当－≤x≤0时，f(x)＝2
x
－1，
4
1
－
∴f(－1)＝2
1
－1＝－，
2
11
∴f(1)＝，∴f(16)＝.
22
4．已知函数f(x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a区间[－b，－a]上( )
A．有最大值4
C．有最大值－3
B．有最小值－4
D．有最小值－3
解析：选B 法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选B.
法二：当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，
由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，
∴－4≤f(x)≤ 3，即在区间[－b，－a]上，f(x)
min
＝－4，f(x)
max
＝ 3，故选B.
5．(2018·惠州一调)已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函 数，且f(1)＝2，则不等式f(log
2
x)>2
的解集为( )
A．(2，＋∞)
C.
?
0，
2
?
∪(2，＋∞)
2
?
1
0，
?
∪(2，＋∞) B.
?
?
2
?
D．(2，＋∞)
?
解析：选B 因为f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，
所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
1
所以f(log
2
x )>2＝f(1)?f(|log
2
x|)>f(1)?|log
2
x|>1 ?log
2
x>1或log
2
x<－1?x>2或02< br>6．(2019·合肥调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,1 ]上是减函数，则有( )
3
??
1
??
1
?
A．f
?
?
2
?
?
－
4
?< br>?
4
?

1
??
1
??
3
?
B．f
?
?
4
?
?
－
4
?
?
2
?

3
??
1
??
1
?
C．f
?
?
2
?
< f
?
4
?
?
－
4
?

131
－
?
??
??
D．f< br>?
?
4
??
2
??
4
?
解析：选C 因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为4，作出f (x)的草

贾老师数学
3
??
1
??
1< br>?
图，如图，由图可知f
?
?
2
?
?< br>4
?
?
－
4
?
.

5
－
?
＝________. 7．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤ x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f
?
?
2
?
55111
－
?
＝f
?
－＋2
?
＝f
?
－
?
＝－f
??
＝－. 解析：f
?
?
2
??
2
??
2
??
2
?
2
1
答 案：－
2
8．(2018·合肥二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈ [0,1]时，f(x)＝log
2
(x＋1)，则函数
f(x)在[1,2]上的解 析式是________________．
解析：令x∈[－1,0]，则－x∈[0,1]，结合 题意可得f(x)＝f(－x)＝log
2
(－x＋1)，
令x∈[1,2]，则x －2∈[－1,0]，故f(x)＝log
2
[－(x－2)＋1]＝log
2
(3－x)．
故函数f(x)在[1,2]上的解析式是f(x)＝log
2
(3－x)．
答案：f(x)＝log
2
(3－x)
1
?
9．已知定义 在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f
?
?
2
?＝0，则f(x)>0的解集为
_______________．
1
?
解析：由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f
?
?
2
?< br>＝0，可知函数y＝f(x)在(－∞，0)内单调递增，
1
11
－
?
＝0.由f(x)>0，可得x>或－?
?
2
?< br>22
?
11
?
－
?
答案：
?
x
?
2
?
2
??

< br>10．已知函数f(x)为偶函数，且函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，若g(3)＝ 2，则f(－2)＝________.
解析：因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对 称，且g(3)＝2，所以f(2)＝3.因为函数f(x)为偶函数，
所以f(－2)＝f(2)＝3 .
答案：3

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11．设f(x)是定义域为R的周期函 数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－
x.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．
解：(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．
又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．
又f(x)的定义域为R，∴f(x)是偶函数．
(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，则f(x)＝f(－x)＝x；
从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.
－x，x∈[－1，0]，
?
?
故f(x)＝
?
x，x∈?0，1?，
?
?
－x ＋2，x∈[1，2].


12．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求函数f(x)的图象与x轴所围成图形的面积．
解：(1)由f (x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．
故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f( x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．

当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，

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1
?
则S＝4S
△
OAB＝4×
?
?
2
×2×1
?
＝4.
B级
1．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则( )
A．f(0)>f(log
3
2)>f(－log
2
3)
B．f(log
3
2)>f(0)>f(－log
2
3)
C．f(－log
2
3)>f(log
3
2)>f(0)
D．f(－log
2
3)>f(0)>f(log
3
2)
解析：选C ∵log
2
3>log
2
2＝1＝log
3< br>3>log
3
2>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(l og
2
3)>f(log
3
2)>f(0)，又函数f(x)为偶函数，∴f (log
2
3)＝f(－log
2
3)，
∴f(－log
2
3)>f(log
3
2)>f(0)．
2．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下 三种叙述：
①8是函数f(x)的一个周期；
②f(x)的图象关于直线x＝2对称；
③f(x)是偶函数．
其中正确的序号是________．
解析：由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，
则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期，故①正确；
由f(4－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；
由f(4－x)＝f(x)与f(x＋4)＝f(x)，
得f(4－x)＝f(－x)，f(－x)＝f(x)，
即函数f(x)为偶函数，故③正确．
答案：①②③
1
0，
?< br>，都有f(x
1
＋x
2
)3．设f(x)是定义在R上的偶函数，其图 象关于直线x＝1对称，对任意x
1
，x
2
∈
?
?
2
?
＝f(x
1
)·f(x
2
)．
1
??
1
?
(1)设f(1)＝2，求f
?
?
2
?< br>，f
?
4
?
；
(2)证明：f(x)是周期函数．
1x
?
x
?
0，
?
，知f(x)＝f
??
·解：(1)由f(x
1
＋x
2
)＝f(x
1
)·f(x
2
)，x
1
，x
2
∈
?
?
2??
2
?
f
?
2
?
≥0，x∈[0,1]．
11
??
1
??
1
???
1
??
2
∵f(1)＝f
?
f
?
2
?
＝
?
f
?
2
??
，f(1)＝2，
?
2
＋
2
?
＝f
?
2
?
·
1
?
2
∴f
?
＝2.
?
2
?
1
??
11??
1
??
1
???
1
??
2
?1
?
∵f
?
f
?
4
?
＝
?< br>f
?
4
??
，f
?
2
?
＝2
2
，
?
2
?
＝f
?
4
＋
4< br>?
＝f
?
4
?
·
1
1

贾老师数学
1
?
4
∴f
?
?
4
?
＝2.
(2)证明：依题设，y＝f(x)关于直线x＝1对称，
∴f(x)＝f(2－x)．
又∵f(－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(2－x)，∴f(x)＝f(2＋x)，
∴f(x)是定义在R上的周期函数，且2是它的一个周期．

1