高一数学函数的概念与性质

（二）函数的概念与性质
【基本知识】
1．函数的概念：设A、B是___ _______，如果按照某个确定的对应
关系f，使对于集合A中的_______数x，在集合B中 都有__________
的数f(x)和它对应，那么就称_______为从集合A到集合B的一个 函
数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫
做函数的__ _____；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集
合_________叫做函数的值域．值 域是集合B的______。
注意：①如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函 数
的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；② 函数的定义
域、值域要写成_________的形式．
定义域补充：能使函数式有意义的实 数x的集合称为函数的定义域，
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：（1）分式的分母
________； (2)偶次方根的被开方数_________； (3)对数式的真数
_______；(4)指数、对数式的底_________. (5)如果函 数是由一些基
本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有
意义的x的值 组成的集合.（6）指数为零底不可以_______ (6)实际问
题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
2． 构成函数的三要素：_______、_________和__________
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注意：（1）函数三个要素中．由于值域是由定义域和对应关系决定的，
所以，如果两个函数的____ ___和_________完全一致，即称这两个函
数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且 仅当它们的定义域和

对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：
①____________________；②____________ __________(两点必须同时
具备)
3. 函数图象的画法
①描点法：② 图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、
__________和___________
4．区间的概念（1）区间的分类：________、_________、_________；
说明：实数集可以表示成(–∞，+∞)不可以表示成[–∞，+∞]--------切
记
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5．什么叫做映射：一般地，设A、B是两个____的集合，如果按某
一个 确定的对应法则f，使对于集合A中的________元素x，在集合
B中都有_________的 元素y与之对应，那么就称对应_________为从
集合A到集合B的一个映射。
说明：
函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应
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①集合A、 B及对应法则f是确定的②对应法则有“方向性”，即强调
从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对 应关系一般是不同的；
③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，
在集合B中都有____与之对应（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B
中对应的象可以是____；（ Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合
A中都有对应的元素。
6．函数最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M
满足：
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（1）

___________________________ _______(2)______________________
__________
那么我们称M是函数y=f(x)的最大值；
函数最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M
满足：
（1）__________________________________
(2)__________________________________
那么我们称M是函数y=f(x)的最小值
7：分段函数
在定义域的不同部 分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里
求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数 的解析式不能
写成几个不同的方程，而应把几种不同的表达式用一个左大括号括起
来，并分别注 明各部分的自变量的取值情况．说明：
（1）分段函数是一个
函数，不要把它误认为是几个函数 ；（2）分段函数的定义域是各段定义域的____，值域是各段
值域的_____．
【典例 分析】
例1、下列四组函数中，两函数是同一函数的是：
____________
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（A）
y?(x)
2
与
y?x
（B）
y?(
3
x)
3
与
y?x

x
2
（C）
y?x
与
y?(x)
（D）
y?x
与
y?

x
2
2
3
3
例2、 求下列函数的定义域
2x?x
2
（1）y=
?(3?2x)
0
（2）< br>y?
lg(2x?1)
1?
1
1
1?
1
x? x

（3） 已知函数
y?f(x?1)
定义域是
[ ?2，3]
，则
y?f(2x?1)
的定义域是
_______
A
[0，]
B
[?1，4]
C
[?5，5]
D
[?3，7]

例3．函数
f(x)?
1?2x
的值域是 。 < br>x?2
5
2
例4、已知f(x)=x
2
+c,且f［f(x) ］=f(x
2
+1) 则c=__________
例5．作出函数 y=|x-2|(x＋1) 的图象
例6. 已知函数
f(x)
的定义域是
(0,??)
，且满足
f(xy)?f(x)?f(y)
,
f()?1
,
如果对于
0?x?y
,都有
f(x)?f(y)
,（1）求f(1)
； （2）解不等式
f(?x)?f(3?x)??2

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1
2



例7、已知
f(x) =x
2
?ax?3?a,若x?[?2,2]时，f(x)?0恒成立，求a的取值范围





【注意事项】求函数f(x)的解析式时，要标明定义域否则将默认为使
之有意义的全体
1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）
⑴
y
1?
(x?3)(x?5)
，
y
2
?x?5
；⑵
y
1
?x?1x?1
，
y
2
?(x?1)(x?1)
；
x?3
⑶
f(x)?x
，
g(x)?x
2
； ⑷
f(x)?
3
x
4
?x
3
，
F(x)? x
3
x?1
；
⑸
f
1
(x)?(2x?5)2
，
f
2
(x)?2x?5

A ⑴、⑵ B ⑵、⑶ C ⑷ D ⑶、⑸
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2、设A={x|
0?x?2
}，B={y|1
?y?2
},下列图形表示集合A到集合B的函数图形的是（
y
）







A B C
D
3、已知函数
f(x)?1?x
2
?x
2
?1
的定义域是（ ）
（A）[－1，1] （B）{－1，1} （C）（－1，1） （
(??,?1]?[1,??)

2
1
o

2
x
2
1
o
1
2
x
y
2
1
o
1
2
x
y
2
1
o
1
2
x D）
4、给出函数
f(x),g(x)
如下表，则f
〔
g
（
x
）〕
的值域为（ ）
x
f(x)
1 2 3 4
4 3 2 1
x
g(x)
1 2 3 4
1 1 3 3




A.{4,2} B.{1,3} C.{1,2,3,4} D. 以上情况都有可能
5、若函数
f(x)?x
2
?bx?c
对 任意实数都有
f(2?x)?f(2?x)
，则（ ）

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A、f(2)

6. 函数
y?
x
x
?x
的图象是（ ）

二、填空题
7. 已知函数
y?mx
2
?6mx?m?8
的定义域为R，求实数m的取值范围
_______________
8、若
f(x)
是一次函数，
f[f(x)]?4x?1
且，
f(x)
的解析式为
______________
9、已知f(1-co sx)=sin
2
x，f(x).=__________________________
10 函数f(x)对任何x∈R
+
，恒有f(x
1
?
x< br>2
)= f(x
1
) +f(x
2
)，已知f(8)=3，则f(
2
)=
1 1．若函数
y?f(x)
的图象恒过点
(0,?1)
，则函数
y?f (x?4)
的图象恒过
点_____．
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三、解答题
12. 已知f(x)=
?



13、已知f
（
x
）
=
（
m+1
）
x
2
+2mx +1问：
若f（x）在[1，+∞)上是增函数，求m的范围。
(2)设A={
x∣
f
（
x
）
≥0}，若A=R，求m的范 围
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?
1,x?0
，求不等式x+(x+2)f(x+2)≤5的解集
?
?1,x?0
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14. 对于函数f
（
x
）
，若存在
x
0
?R
，使f
（
x
o
）＝
x
o
成立，则x< br>o
为f
（
x
）
的不动点；
已知f(x)=ax
2
+(b+1)x+(b-1) (
a?0)

(1) 当a＝1，b＝-2时，求f
（
x
）
的不动点；
(2) 若对于
b?R
，函数f
（
x
）
恒有两个互 异的不动点，求实数a
的取值范围。






【附加题】设f(x)=x
2
-4x-4,x∈[t,t+1](t∈R),求函数f
(x)
的最小值g(t)
的解析式.
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