(完整版)高一数学函数的概念及表示方法

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Comprehensive Tutoring Operation System
全方位教学辅导教案

姓 名
教 学
内 容
重 点
难 点
教 学
目 标
性 别 年 级 高一
函数与映射的概念及其函数的表示法
教学重点：理解函数的概念；区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念
教学难点：函数的概念，无穷大”的概念，定义域的求法，映射的概念

1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；
2．能够正确理解 和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域
的求法，掌握求函数解析式的思想 方法
3.了解映射的概念及表示方法
4.了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象.
5.会结合简单的图示，了解一一映射的概念
课前检作业完成情况：
查与交
流 交流与沟通
一、函数的概念

针
一、复习引入：
初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？

对
设在一个变 化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的
值与它对应，那么就说x是自变量， y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做

性
函数的定义域，和自变量x的值对 应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数
的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统 定义.

初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等
授
问题1：
y?1
（
x?R
）是函数吗？

课
x
2
问题2：
y?x
与
y?
是同一函数吗？

x
观察对应：


教



学



过



程 A
9
4
1
开平方
B
3
-3
2
-2
1
-1
A
求正弦
B
30
45
0
60
0
90
0
(2)
A
1
2
3
(4)
乘以2
0
1
2
2
3
2
2
1
(1)
A
1
-1
2
-2
3
-3
( 3)
求平方
B
1
4
9
B
1
2
3< br>4
5
6
二、讲解新课：

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（一）函数的有关概念
设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系
f
，使对于集合A中
的任 意一个
x
，在集合B中都有唯一确定的数
f(x)
和它对应，那么就称
f:A?B
为从集合A到集合B的函数，记作
y?f(x)
， x
?
A
其中
x
叫自变量，
x
的取值范围A叫做函 数
y?f(x)
的定义域；与
x
的值相对应
的
y
的 值叫做函数值，函数值的集合
?
f(x)|x?A
?
（
?
B ）叫做函数y=f(x)的值域.
函数符号
y?f(x)
表示“y是x的函数”，有 时简记作函数
f(x)
.
(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应
f:A?B

这里 A, B 为非空的数集.
?
f(x)|x? A
?
：（2）A：定义域，原象的集合；值域，象的集合,其中
?
f(x)| x?A
?

? B ；
f
：对应法则 ，
x
?A ，
y
?B
（3）函数符号：
y?f(x)

?
y
是
x
的函数，简记
f(x)

（二）已学函数的定义域和值域
1．一次函数
f(x)?ax?b(a?0)
:定义域R, 值域R;
k< br>2．反比例函
f(x)?
(k?0)
:定义域
?
x|x?0< br>?
, 值域
?
x|x?0
?
;
x
3．二次 函数
f(x)?ax
2
?bx?c
(a?0)
:定义域R
??
4ac?b
2
?
4ac?b
2
?
值域：当a?0
时，
?
y|y?
?
；当
a?0
时，?
y|y?
?

4a
?
4a
???
（三）函数的值：关于函数值
f(a)

例：
f(x)
=
x
2
+3x+1 则 f(2)=
2
2
+3×2+1=11
注意：1?在
y?f(x)< br>中
f
表示对应法则，不同的函数其含义不一样
2?
f(x)
不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”
3?
f(x)
与
f(a)
是不同的，前者为变数，后者为常数
（四）函数的三要素： 对应法则
f
、定义域A、值域
?
f(x)|x?A
?

只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数
三、例题讲解
例1 求下列函数的定义域：
11
①
f(x)?
；②
f(x)?3x?2
；③
f(x)?x?1?
.
x?22?x




例2 已知函数
f(x)
=3
x
2
-5x+2，求f(3), f(-
2
), f(a+1).






例3下列函数中哪个与函数
y?x
是同一个函数？

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⑴
y?

?
x
?
；⑵
y?
23
x
3
；⑶
y?x
2




例4 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
(x?3)(x?5)
①
y
1
?
y
2
?x?5

x?3
②
y
1
?x?1x?1

y
2
?(x?1)(x?1)

③
f
1
(x)?(2x?5)
2

f
2
(x)?2x?5



二、函数－区间的概念及求定义域的方法
教学过程：
一、复习引入：
函 数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函
数的核心(它规定了x和y之间 的某种关系)，定义域是函数的重要组成部分（对
应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数） ；定义域和对应法则一经
确定，值域就随之确定
前面我们已经学习了函数的概念，，现在我们来学习区间的概念和记号
二、讲解新课：
1．区间的概念和记号
在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.
设a,b
?
R ,且a①满足不等式a
?
x
?
b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
②满足不等式a③满足不等式a
?
x?
b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表
示为[a，b) ,(a，b].
这里的实数a和b叫做相应区间的端点.
在数轴上，这些区间都可以用一条 以a和b为端点的线段来表示，在图中，
用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间 内的端点：
定 义 名 称 符 数 轴 表 示
号
闭区间 [a，
{x|a
?
x
?
b

} b]
开区间 (a，
{x|ab)

[a，
{x|a
?
x左闭右开区间

b]


(a，
{x|a?
b}
左开右闭区间

b)


这样实数集R也可用区间表 示为(-
?
,+
?
),“
?
”读作“无穷大”，“-
?
”

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读作“负无穷大”，“+
?
”读作“正无穷大”.还可把满足x
?
a，x>a ，x
?
b，x的实数x的集合分别表示为[a，+
?
)
，（a，+
?
）,(-
?
,b
]
,(-
?
,b).
注意：书写区间记号时：
①有完整的区间外围记号（上述四者之一）；
②有两个区间端点，且左端点小于右端点；
③两个端点之间用“，”隔开.
2．求函数定义域的基本方法
我们知道，根据函数 的定义，所谓“给定一个函数”，就应该指明这个函数
的定义域和对应法则（此时值域也往往随着确定） ，不指明这两点是不能算给定
了一个函数的，那么为什么又在给定函数之后来求它的定义域呢？这是由于 用解
析式表示函数时，我们约定：如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函
数的定义域 就是能使这个式子有意义的所有实数x的集合.有这个约定，我们在用
解析式给出函数的对应法则的同时 也就给定了定义域，而求函数的定义域就是在
这个意义之下写出使式子有意义的所有实数组成的集合.
3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，
对应法则不同，这样 的函数通常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个
函数.
4．复合函数：设 f(x)=2x?3，g(x)=x
2
+2，则称 f[g(x)] =2(x
2
+2)?3=2x
2
+1（或
g[f(x)] =(2x?3)
2
+2=4x
2
?12x+11）为复合函数
三、讲解范例：下面举例说明函数定义域的求法.
(x?0)
?
0
f(1)?;f(?1)?;f(0)?
?
例1已知
f(x)?
?
?

(x?0)

?

f{f[f(?1)]}?
?
x?1
(x?0)
?



例2已知f(x)=x
2
?1 g(x)=
x?1
求f[g(x)]



例3 求下列函数的定义域：
①
f(x)?
③
f(x)?
4?x?1
②
f(x)?
1
1?
1
1?
1
x
1
3x?7
2
x
2
?3x?4

x?1?2
(x?1)
0
x?x
④
f(x)?

⑤
y?x?2?3?
3

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例4 若函数
y?ax
2
?ax?




11
例5 若函数
y?f(x)
的定义域为[?1，1]，求函数
y ?f(x?)?f(x?)
的定义域
44






求用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；
②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；
③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实
数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子
都有意义的实数集合 ；
⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.





求解函数解析式
1
的定义域是R，求实数a 的取值范围
a
例6 已知f(x)满足
2f(x)?f(
1
)?3x
，求
f(x)
；
x




例7 设二次函数
f(x)
满 足
f(x?2)?f(2?x)
且
f(x)
=0的两实根平方和为10，图象
过点(0,3)，求
f(x)
的解析式.



四、练习：

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1．设
f(x)
的定义域是[?3，
2
]，求函数
f(x?2)的定义域




2．已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x?1, 求f(x)的解析式




）?x?2x
,求f(x) 3．若
f(x?1




检测：补充：1 已知：
f(x)
=x
2
?x+3 求： f(x+1), f(
1
)
x


2 已知函数
f(x)
=4x+3，g(x)=x
2
,求f[f(x)]，f[g(x)] ，g[f(x)]，g[g(x)].


1x
3 若
f()?
求f(x)
x1?x


三、函数－映射
内容分析：
本节是在集合与简易逻辑和函数的概念之后学习的，映射概念本身就
属于集合的知识因此，要联系前一章的内容和函数的概念来学习本节，映
射是是两个集合的元素 与元素的对应关系的一个基本概念映射中涉及的
“原象的集合A”“象的集合B”以及 “从集合A到集 合B的对应法则f”
可以更广泛的理解集合A、B不仅仅是数集，还可以是点集、向量的集合
等 ，本章主要是指数的集合随着内容的增多和深入，可以逐渐加深对映射
概念的理解，例如实数对与平面点 集的对应，曲线与方程的对应等都是映
射的例子映射是现代数学的一个基本概念
教学过程：
一、复习引入：
在初中我们已学过一些对应的例子：（学生思考、讨论、回答）
①看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系
②对任意实数a，数轴上都有唯一的一点A与此相对应
③坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应
④任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与此相对应

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⑤高一（2）班的每一个学生与学号一一对应
函数的概念
本节我们将学习一种特殊的对应—映射.
二、讲解新课：看下面的例子：
设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集
A
9
4
1
(1)
A
1
-1
2
-2
3
-3
( 3)
求平方
B
1
4
9
A
1
2
3< br>(4)
开平方
B
3
-3
2
-2
1
- 1
A
求正弦
B
30
45
0
60
0
90
0
(2)
乘以2
0
1
2
2
3
2
2
1
B
1
2
3
4
5
6

说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中
的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应
映射：设A，B是两个集合，如果 按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一
个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应 （包括集合A、
B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射
记作：
f:A?B

象、原象：给定一个集合A到集合B的映射，且
a?A,b?B
，如果元素
a
和元素
b

对应，则元素b
叫做元素
a
的象，元素
a
叫做元素
b
的原象
关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调）
①“A到B”：映射是有方向的，A 到B的映射与B到A的映射往往
不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；
②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和
它对应，这 是映射的存在性；
③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元
素和它 对应，这是映射的唯一性；
④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射
的封闭性.
指出 ：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B的映射；
注意到其中（2）（4）是一 对一，（3）是多对一
思考：（1）为什么不是集合A到集合B的映射？
回答：对于（1） ，在集合A中的每一个元素，在集合B中都有两个元素与之
相对应，因此，（1）不是集合A到集合B的 映射
思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射?
一对一，多对一是映射 但一对多显然不是映射

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辨析：
①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；
②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个
映射；
③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；
④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；
⑤封闭性：映射中集合A的任 一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中
的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.
映射三要素：集合A、B以及对应法则
f
，缺一不可；
三、例题讲解
例1 判断下列对应是否映射？有没有对应法则？

a e a e a e
b f b f b f
c g c g c g
d d
(是) （不是） （是）
是映射的有对应法则，对应法则是用图形表示出来的


例2下列各组映射是否同一映射？

a e a e d e
b f b f b f
c g c g c g



例3判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？
（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，
对应法则
f:x?2x?1

（2）设
A?N
*< br>,B?{0,1}
，对应法则
f:x?x除以2得的余数

（3）
A?N
，
B?{0,1,2}
，
f:x?x被3除所得的余数

111
（4）设
X?{1,2,3,4},Y?{1,,,}
f: x?x取倒数

234
（5）
A?{x|x?2,x?N},B?N
，
f:x?小于x的最大质数




四、练习：
1．设A={1,2,3,4}，B={3,4 ,5,6,7,8,9}，集合A中的元素x按照对应法则“乘
2加1”和集合B中的元素2x+1对应 ．这个对应是不是映射？（是）

2．设A=N*，B={0，1}，集合A中的元素x按照 对应法则“x除以2得的
余数”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？（不是（A中没有象））

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3．A=Z，B=N*，集合A中的元素x按照对应法则“求绝对值”和集合B
中的元素对应． 这个对应是不是映射？ （是）

4．A={0,1,2,4}，B={0,1,4,9,64}，集合A中的元素x按照对应法则“f ：a?
b=(a?1)2”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）
5．在从集合A到集合B的映射中，下列说法哪一个是正确的？
（A）B中的某一个元素b的原象可能不止一个
（B）A中的某一个元素a的象可能不止一个
（C）A中的两个不同元素所对应的象必不相同
（D）B中的两个不同元素的原象可能相同

6．下面哪一个说法正确？
（A）对于任意两个集合A与B，都可以建立一个从集合A到集合B的映射
（B）对于两个无限集合A与B，一定不能建立一个从集合A到集合B的映射
（C）如果集合 A中只有一个元素，B为任一非空集合，那么从集合A到集合B
只能建立一个映射
（D）如果集合B只有一个元素，A为任一非空集合，则从集合A到集合B只能
建立一个映射

2n?12x?1
7．集合A=N，B={m|m=,n∈N},f:x→y=，x ∈A，y∈B.请计算在
2n?12x?1
9
11
f作用下，象，的原象分别 是多少.( 5，6.)
11
13
2x?1
99
11
分析 ：求象的原象只需解方程=求出x即可.同理可求的原象.
11
2x?1
11
13





课 堂

检 测
课 后
1 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）
(x?3)(x?5)
作 业 ⑴
y
1
?
，
y
2
?x?5
；⑵
y
1
?x?1x?1
，
y
2
?(x?1)(x?1)；
x?3
⑶
f(x)?x
，
g(x)?x
2
；⑷
f(x)?
3
x
4
?x
3
，
F(x) ?x
3
x?1
；
⑸
f
1
(x)?(2x?5)< br>2
，
f
2
(x)?2x?5
A ⑴、⑵ B ⑵、⑶ C ⑷ D ⑶、
⑸
2 函数
y?f(x)
的图象与直线
x?1
的公共点数目是（ ）
A
1
B
0
C
0
或
1
D
1
或
2

?
x?2(x??1)
?
3 已知
f(x)?
?
x
2
(?1?x?2)
，若
f(x)?3
，则
x
的 值是（ ）
?
2x(x?2)
?

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A
1
B
1
或
33
C
1
，或
?3
D
3

22
?
1
x?1(x?0),
?
?
2
若f(a)?a.
则 实数
a
的取值范围是 4 设函数
f(x)?
?
1
?
(x?0).
?
?
x
x?2
5 函数
y?
2
的定义域
x?4
6 若二次函数
y ?ax
2
?bx?c
的图象与
x
轴交于
A(?2,0),B (4,0)
，且函数的最大
值为
9
，
则这个二次函数的表达式是
7 函数
y?
(x?1)
0
x?x
的定义域是_____ _____________
8 函数
f(x)?x
2
?x?1的最小值是_________________
3
9 求函数
f(x)?
x?1
的定义域
x?1
10.
x< br>1
,x
2
是关于
x
的一元二次方程
x
2?2(m?1)x?m?1?0
的两个实根，又
y?x
1
2
?x
2
2
，求
y?f(m)
的解析式及此函数的定义域


11 已知函数
f(x)?ax
2
?2ax?3?b(a?0)
在
[1,3]
有最大值
5
和最小值
2
，求
a
、
b
的