高中数学必修-函数性质

高中数学必修
第二章 函数
1.函数的有关概念
(1)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(2)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．
(3)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
2. 求给出解析式的函数定义域的基本方法：
（1）
f(x)
为整式型函数时，定义域为R；
（2）
f(x)
为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合；
（3）
f(x)
为偶次根式型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合；
（4）
f(x)
为零次幂型函数时，定义域为底数不为零的实数的集合；
（5）若
f(x)
是由上述几部分式子构成，则定义域为各个简单函数定义域的交集。
3．增函数、减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I，如果对于任意x< br>1
，x
2
∈D，且x
1
＜x
2
，则都有：
(1)f(x)在区间D上是增函数?f(x
1
)＜f(x
2
)；
(2)f(x)在区间D上是减函数?f(x
1
)＞f(x
2
)．
4.利用定义法判断函数单调性的步骤：
（1）取值：在指定区间上任取
x
1
,
x
2
,
且令x
1
?x
2
(< br>或x
2
?x
1
)
；
（2）作差：将
f(
x
1
)
?f
(
x
2
)[
或 f
(
x
2
)
?f
(
x
1
)]进行化简变形，变形的方向应有利于判断
f(x
1
)?f(x
2
)

[或f(x
2
)?f(x
1
)]
的符号，主要 的变形方法有因式分解、配方、有理化等；
（3）定号：对变形后盾额差进行判断，确定
f< br>(
x
1
)
?f
(
x
2
)[
或f
(
x
2
)
?f
(
x
1
)]< br>的符号；
（4）判断：判断函数符合增函数还是减函数的定义，从而得出结论。
复合函数单调性的确定： “同增异减”.
5．函数的奇偶性
（1）一般地，如果 对于函数
f(x)
的定义域内任意一个
x
，都有
f(x)??f(? x)
，那么函数
f(x)
就叫做奇
函数；奇函数的图象关于
(0,0 )
对称；
f(0)?0

1 8

（ 2）一般地，如果对于函数
f(x)
的定义域内任意一个
x
，都有
f (x)?f(?x)
，那么函数
f(x)
就叫做偶
函数；偶函数的图象关于< br>y
轴对称；
6.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存 在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，
那么就称函数f( x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最
小正周期．
函数周期性的三个常用结论：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，
(2)若f(x＋a)＝
1
，则T＝2a，
f?x?
1
(3)若f(x＋a)＝－
，则T＝2a(a＞0)．
f?x?


题型一：函数三要素求解

【例
1< br>】函数
y
＝
3
－
2x
－
x
2
的定义域是
________
．

【例2】若函数y＝f(x)的定义域为 [0,2]，则函数g(x)＝
【例3】求下列函数的解析式
2
?
(1)已 知f
?
?
x
＋1
?
＝lg x，求f(x)的解析式． < br>(2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式 ．
1
?
(3)已知f(x)＋2f
?
?
x
?＝x(x≠0)，求f(x)的解析式．


f2x
的定义域是________．
x－1
?
log
2
x
，
x≥1
，
【例
4
】已知函数
f(x)
＝
?
x
2
＋
m
2
，
x
＜
1
，
若
f(f(
－
1))
＝
2
， 则实数
m
的值为
(

)
?
A．1 B．1或－1 C.3 D.3或－3
【例
5
】求下列函数的值域：


1?x
的值域。

2x?5
（
2
）求函数
y?2x?1?2x
的值域。

（
1
）求函数
y?
2 8

（3） 求函数
y?(x?2)
2
?(x?8)
2
的值域
（4）求 函数的值域
y?
2x
2
?x?2
x
2
?x?1
【过关练习】
1.函数f(x)＝1－2
x
＋
1
x＋3
的定义域为( )
A．(－3,0] B．(－3,1]
C．(－∞，－3)∪(－3,0) D．(－∞，－3)∪(－3,1)
2.已知函数f(2
x
)的定义域为[－1,1 ]，则f(x)的定义域为________.
3.已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝________.
4.已知函数f(x) 的定义域为(0，＋∞)，且f(x)＝2·f
?
1
?
x
?
?
·x－1，则f(x)＝________.
?
?
?
1
?
x
5.
若
f(x)
＝
?
?
3
?< br>，
x≤0
，
?
?
log

则
f?
?
f
?
1
?
9
?
?
??
＝

3
x
，
x
＞
0
，
A．－2 B．－3 C．9 D．－9
6.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10
lg
x
的定义域和值域相同的是(
A．y＝x B．y＝lg x
C．y＝2
x
D．y＝
1
x

7.求下列函数的值域：
（
1
）求
f
?
x
?
?
2x?1
3x?2
,x?
?
1,2
?
的值域；

（2）求函数
y?x?2x?1
的值域
（3）求函数
y?|x?3|?|x?5|
的值域。
（4）求函数的值域< br>y?
2x
2
?4x?7
x
2
?2x?3





3 8

)
(

)

?
x－1，x＞0，
8 .已知f(x)＝x
－1，g(x)＝
?

?
2－x，x＜0.
2

(1)求f(g(2))和g(f(2))的值；
(2)求f(g(x))的解析式．


题型二：函数单调性

【例1】函数
f(x)
＝
log
2
(x
2
－
1)
的单调递减区间为
________
．

【例
2
】设
a
＝
0.6
0.6
，
b
＝
0.6
1.5
，
c< br>＝
1.5
0.6
，则
a
，
b
，
c< br>的大小关系是
(

)
A．aC．bB．aD．b?
1
?
【例
3
】已知函数
f(x)
是定义在区间
[0
，＋∞
)
上 的函数，且在该区间上单调递增，则不等式
f(2x
－
1)
＜
f?
3
?
的
x
的解集是
________
．
?
?
?a－2?x－1，x≤1，
【例4】已知函数f(x)＝
?
若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为
?
log
a
x，x＞1，
?

________．
k
【例5】试讨论函数f(x)＝x＋
(k＞0)的单调性．
x





x
2
＋
2x
＋
a
【例
6
】已知
f(x)
＝，
x
∈
[1< br>，＋∞
)
，且
a
≤
1.
x
1
(1)当a＝
时，求函数f(x)的最小值；
2
(2)若对任意x∈[1，＋∞]，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围




【过关练习】
1.函数f(x)＝log
1
(x
2
－4)的单调递增区间是( )
2
A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
2.
如果函数
f(x)＝
ax
2
＋
2x
－
3
在区间
(
－∞，
4)
上是单调递增的，则实数
a
的取值范围是
(

)
4 8

1111
－，＋∞
?
B.
?
－，＋∞
?
C.
?
－，0
?
D.
?
－，0
?

A.
?
?
4
? ?
4
??
4
??
4
?
2
?
?x
＋2x，x≥0，
3.已知函数f(x)＝
?
2
若f(－a) ＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是( )
?
x
－2x，x＜0.
?

A．[－1,0] B．[0,1] C．[－1,1] D．[－2,2]

?
－x＋a，x＜1，
?
4.设函数f(x)＝
?
x
的最小值为2，则实数a的取值范围是______
?
2
，x≥1
?

x
5．已知f(x)＝(x≠a)．
x－a
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．







题型三：函数奇偶性和周期性

【例1】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x＜0时，f( x)＝________.
5
－
?
＋f(2)＝________. 【例 2】若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x
，则 f
?
?
2
?
【例3】判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x
3
－2x；
(2)f(x)＝(x＋1)
1－x
；
1＋x
2
?
?
x
＋x，x＞0，
(3)f(x)＝
?
2

?
x
－x，x＜0.
?


【例
4
】设定义在
R
上的函数
f(x)
满足
f(x
＋
2 )
＝
f(x)
，且当
x
∈
[0,2)
时，
f(x)
＝
2x
－
x
2
，则
f(0)
＋< br>f(1)
＋
f(2)
＋…
＋
f(2 017)
＝
________.

【过关练习】
1.已知f(x )＝ax
2
＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
111
A．－
B.
C.

332
1
D．－
2
5 8

2.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确 的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
3. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x
2
－4x，则f(x)＝__ ______.
4.若函数f(x)＝xln(x＋a＋x
2
)为偶函数，则a＝________.
5.
设定义在
R
上的函数
f(x)
满足
f(x＋
1)
＝－
f(x)
，且当
x
∈
[0,2]< br>时，
f(x)
＝
2x
－
x
2
，则
f (0)
＋
f(1)
＋
f(2)
＋…＋
f(2
017)
＝
________.
6.已知定义在R上的函数f(x)满足f (x＋1)＝－f(x)，且f(x)＝
?
?
?
1，－1＜x≤0，
?
?
－1，0＜x≤1，

则下列函数值为1的是(
A．f(2.5) B．f(f(2.5)) C．f(f(1.5)) D．f(2)


课后练习

【补救练习】
1.若函数 y＝ax与y＝－
b
x
在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax
2
＋bx在(0，＋∞)上是( )
A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增
2. 求函数
f(x)?x
2
?x?6
的单调区间。




3.已知
f
(
x
)?x
2
?
2
ax?
2,
x?
?
?1,1
?
，求
f(x)
的最大值和最小值。





【巩固练习】
1.设函数f(x)＝
?
?
?
x
2
＋x，x<0，
?
?
－x
2
，x≥0.

若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．
2．函数f(x)＝ln(4＋3x－x
2
)的单调递减区间是( )
6 8

)

3333
－∞，
?
B.
?
，＋∞
?
C.
?
－1，
?
D.
?
，4
?

A.
?
2
?
2< br>???
2
???
2
?
1＋x
3.函数y＝log2
的图象( )
1－x
A．关于原点对称
C．关于y轴对称
B．关于直线y＝－x对称
D．关于直线y＝x对称
4．已知f(x)在R上是奇 函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x
2
，则f(2 019)＝( )
A．－2 B．2 C．－98 D．98
5 .已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝x
2
，若 对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，
则f(2)－f(3)的值为________． < br>－x
2
＋2x，x＞0，
?
?
6．已知函数f(x)＝
?
0，x＝0，
?
?
x
2
＋mx，x＜0
(1) 求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．





7.已知函数
f(x)
是定义 在
[?1,1]
上的增函数，解不等式
f(x?2)?f(1?x)
，求x
的取值范围。





【拔高练习】
1.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1 －x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝
________.
1
?
2.具有性质：f
?
?
x

?
＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：

是奇函数，
7 8

x，0＜x＜1，
?< br>?
0，x＝1，
11
①f(x)＝x－；②f(x)＝x＋；③f(x)＝?
xx
1
－
?
?
x
，x＞1.

A．①②
C．②③


其中满足“倒负”变换的函数是( )
B．①③
D．①
3.已知函数f(x)＝e
x
－1，g(x)＝ －x
2
＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为( )
A．[0,3]
C．[2－2，2＋2]
B．(1,3)
D．(2－2，2＋2)
1
1
x＋
?
＝
4.已知 函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x
3
－1；当－1≤x≤1时，f(－x )＝－f(x)；当x>时，f
?
?
2
?
2
1
x－
?
，则f(6)＝( )
f
?
?
2
?
A．－2 B．－1 C．0 D．2
5.已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f( x－1)，若f(2)＝2，则f(2 018)的值为( )
A．2 B．0 C．－2 D．±2
2
x
6.已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正 周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝
x
.
4
＋1
(1)求f(1)和f(－1)的值；
(2)求f(x)在[－1,1]上的解析式．






7.若f(x)，g(x)是定义在R上的函数，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(x)＋g(x)＝

，求
x
2
－x＋1
1
f(x)的表达式．
8 8