高中数学容易出难题的点-高中数学教学四基
函数的三要素:定义域、对应关系和值域
函数的定义域:
函数的定
义域是自变量x的取值范围,它是构成函数的重要组成部分,如果没有标明定
义域,则认为定义域是使函
数解析式有意义的或使实际问题有意义的x的取值范围
函数y=f(x)的定义域的求法:
①若f(x)是整式,则函数的定义域是实数集R;
②若f(x)是分式,则函数的定义域是使分母不等于0的实数集;
③若f(x)是二次根式,则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合;
④若
f(x)是由几个部分的数学式子构成的,则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实
数集合; ⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数,则函数的定义域应符合实际问题.如为半径r与圆
面积
S的函数关系为S=πr
2
的定义域为{r︱r>0}
⑥
f(x)
=x的定义域是{x∈R︱x≠0}
注意:列不等式(组)求函
数的定义域时,考虑问题要全面,要把所有制约自变量取值的条
件都找出来。
【例1】求下列函数的定义域:
①
f(x)?
【练1】求下列函数的定义域:
(1)
f
?
x
?
?
0
11
;②
f(x)?3x?2
;③
f(x)?x?1?
.
x?22?x
x?2
x?4
f(x)?
(2)
(3)
y?x?8?3?x
(4)
2
x?4
x?2
(x?1)
0
y?
|x|?x
【2012高考四川文13】函数
f(x)?
1
的定义域是____________。(用区间表示)
1?2x
【2012高考广东文11】函数
y?
表达式中参数求法:根据定义域或其他的条件找到参数应满足的条件或
表达式,从而求出
相应参数的取值范围。
【例1】若函数
y?
【练1】已知函数
f(x)
?kx
2
?6kx
?(k?8)
的定义域为
R
,求实数
k
的范围
x?1
的定义域为 .
x
ax
2
?ax?
1
的定义域是R,求实数a 的取值范围
a
复合函数
1.复合函数定义
定义:设函数
y
内函数<
br>u
?f(u)
,
u?g(x)
,则我们称
y?f(g(x))
是由外函数
y?f(u)
和
?g(x)
复合而成的复合函数。其中<
br>x
被称为直接变量,
u
被称为中间变量。复
合函数中直接变量
x
的取值范围叫做复合函数的定义域,中间变量
u
的取值范围,即是
g(x)
的值域,是外函数
y?f(u)
的定义域。
设
f(x)=2x?3,g(x)=x
2
+2,则称 f[g(x)]
=2(x
2
+2)?3=2x
2
+1(或g[f(x)]
=(2x
?3)
2
+2=4x
2
?12x+11)为复合函数,这样把两个函数,或者
几个函数套在一起,就称为复
合函数.
做复合函数的题目,一定要分清几个函数叠套的关系,知道什么是真正的自变量.
2.定义域问题
复合函数的定义域,就是复合函数
y?f(g(x)
)
中
x
的取值范围。
①若
f(x)
的定义域为
?
a,b
?
,
y?f(g(x))
的定义域应由
a?g(x)
?b
解出;
②若
y?f(g(x))
的定义域为
?
a,b
?
,则
f(x)
的定义域为
g
?
x
?在
?
a,b
?
上的值域.
注意:①
f
?<
br>x
?
中的x与f
?
g
?
x
?
?中的
g
?
x
?
地位相同;
②
定义域永远都是
y?f(g(x))
中x的取值范围.
题型一、已知
f(x)
的定义域,求
f[g(x)]
的定义域。
[例1]已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(x
2
)的定义域.
[练1]若函数
y?f(x)
的定义域是
[
0,2]
,则函数
g(x)?
A.
[0,1]
B.
[0,1)
C.
[0,1)?(1,4]
D.
(0,1)
[练2]已知
f(x)
的定义域为
(0,
1)
,则
y
的定义域是
?f(xa?)?f(xaa?)(||?)
_____________。
f(2x)
的定义域是(
)
x?1
1
2
题型二、已知
f[g(x)]
的定义域,求f(x)的定义域。
[例2]f(2x+1) 定义域为[2,5],求f(x)的定义域。
2
[练2]已知函数
f(x?2x?2)
的定义域为
?<
br>0,3
?
,求函数
f(x)
的定义域.
题型三、已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域
[例3]已
知函数f(x+1)的定义域为[-2,3],求f(2x
2
-2)的定义域.
【配套练习】
1.若
f
?x
?
的定义域为
x?2
,则
f
?
x?3
?
的定义域为_____________
2 设函数
f
(x)
的定义域为
[0,1]
,则函数
f(x?2)
的定义域为__
________
3.已知函数
y
=
f
(
x
)的定义域为[0,1],求
f
(
x
-1)
的定义域.
4.已知函数
y
=
f
(
x
-1)的定义域为[0,1],求
f
(
x
)的定义域.
5.已知函数
y
=
f
(
x
-2)的定义域为[1,2],求
y
=
f
(
x
+3
)的定义域
函数的对应法则:
①对应关系
f是函数关系的本质特征,
y?f(x)
的意义是:y就是x在关系
f
下的
对应值,
而
f
是“对应”得以实现的方法和途径。如
f(x)
=3x
+4,
f
表示3倍的自变量加上4,
f
(8)
=3x8+4=28
②
f(x)
与
f(a)
的区别
f(a)
表示f(x)
在x=a时的函数值,是常量;而
f(x)
是x的函数,通常是变量.<
br>f(a)
是
f(x)
的一个特殊值。如一次函数
f(x)
=3
x+4,当x=8时,
f
(8)=3x8+4=28是一个常量。
【
例1】已知函数
f(x)
=3
x
2
-5x+2,求f(3),
f(-
2
), f(a+1).
【练1】已知函数
f(x),g(x)
分别由下表给出:
x
1
2
2
1
3
2
x
g(x)
1
3
2
2
3
1
f(x)
则
f
?
g(1)
?
?
;满足
f[g(x)]?g[f(x)]
的x的值是 。
【练2】已知函数f(x)满足:f(p+q)= f(p) f(q),f(1)= 3,
则+错误!未找
错误!未找到引用源。
到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用
源。+错误!未找到引用源。的值
为 .
1.一次函数 <
br>【例1】求
f
?
x
?
??3x?2,x?
?
?3,1
?
的值域
【练1】求函数
y?ax?1(a?0,?1?x?1)
的值域。
【练2】函数
f(x)?x?1,x?
?
?1,1,2
?
的值域是
( )
A.
0,2,3
B.
0?y?3
C.
{0,2,3}
D.
[0,3]
2.二次函数(配方法)
2
特征:
f(x)?ax?bx?c
对策:
①
先找二次函数的对称轴,
②
A、若对称轴在定义域内,
y
的两个最值点分别出现在顶点处及距对称轴较远处
B、若对称轴不在定义域内,则将定义域两端点代入函数,即得
y
的两个最值点
【例1】求函数y=
x
2
-2x+5的值域。
【例2】
f
?
x
?
?2x
2
?4
x?1,x?
?
?3,0
?
的值域
【例3】
f
?
x
?
??2x
2
?4x?1,x?
?
2,5
?
的值域。
【练2】函数
y?3?x
的值域是
【练3】
f(x)?x
2
?2x?1
,
x?[?2,2]<
br>的最大值是
【练4】函数
y?2??x
2
?4x
的值域是( )
A.
[?2,2]
B.
[1,2]
C.
[0,2]
D.
[?2,2]
【练5】若函数
y?x
2
?3x?4
的定义域为
[0,m],值域为
[?
25
4
,?4]
,则
m
的取值范
围是(
A
?
0,4
?
B
[
3
,4]
C
[
3
3
,
D
22
3]
[
2
,??)
【练6】若函数
y?
1
2
x
2
?x?
3
2
的定义域和值域都是
?
1,b
?
,则实数
b
的值为 ___________
【练7】已知函数
f
?
x
?
?ax
2
?
?
b?8
?
x?a?ab
,当
x?
?
?3,2
?
时,
f
?
x
?
?0
,当
)
x?
?
??,3
?
?
?
2,??
?
时,
f
?
x
?
?
0
(1)求
f
?
x
?
在x?
?
0,1
?
上的值域。
(2)当c取何值时,
ax?bx?c?0
恒成立。
带参数的二次函数:函数中带有参数或定义域里有参数,均已讨论对称轴在区间的位置为
方向
【例1】(1)求函数
f(x)?x
2
?ax?1,x?[?2,2]
的值域;
2
【例2】对于二次函数
y?x?4x?3
,当
m?x?m?2
时,求出函数的最小值。
2
【练1】已知函数
f(x)?x?ax?3
,当x?[?2,2]
时,
f(x)?a
恒成立,求
a
的最小值.
2
【练2】设函数
f(x)?x?4x?
1,x?
?
t,t?1
?
,求
f(x)
的最小值
g
(t)
的解析式.
2
【练3】已知函数
f(x)?xx?2m
, 常数
m?0
,若函数<
br>f(x)
在区间
[0,1]
上的最大值为
m
2
,
求正实数
m
的取值范围;
3.反比例函数
【例1】
求y?
【练1】
求y?
4.分离常数法
【练1】(1)
y?
5.打勾函数法
【例1】(1)
y?x?
【练1】已知
x?2,
求
y?x?
2
?
2
?
在x?
?
?,1
?<
br>上的值域
?3x?4
?
3
?
3
?<
br>1
?
在x?
?
?,4
?
上的值域。
2x?1
?
3
?
2x?1
x
(2)
y?
x?1
x?3
1
1
?3
(2)
y?x?2?
x?2
x
1
的最小值为_________
x?2
【练2】(12重庆文7)若函数
f(x)?x?
(A)
1?2
(B)
1?3
(C)3 (D)4
【练3】求
y?2x?
【例2】求下列函数的值域
1
(x?2)
在
x?a
处取最小值,则
a?
(
)
x?2
1
(x?3)
的值域。
x?2
1
?1
(1)
y?x?
2
x?1
2
x
2
?7x?10
(2)
y?
?
x??1
?
x?1
t
2
?4t?1
【练1】已知
t?0
,则函数<
br>y?
的最小值为____________ .
t
x
2
?3x?1
【练2】当
x??1
时,求
f(x)?
的最小值是___________
x?1
【练3】已知函数
f(x)
满足
2f(
x)?f(
1
)?
1
,则f(x)
的最小值为_____.
x|x|
【练4】(
2012年高考(江苏))
如图,
建立平面直角坐标系
xoy
,
x
轴在地平面上,
y
轴垂直于
地
平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程
y?kx?1
(1?k
2
)x
2
(k?0)
表示的曲线上,其中<
br>k
与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点
20
的横坐标,求
炮的最大射程。
6.一次根式函数换元法:
f(x)?ax?bx?c
t
2
?c
解题方法:换元法,取
t?bx?c
,则
x?
,将原函数改写
为二次函数求值域,记得
b
写新定义域
【例1】求函数
y?x?x?1
的值域。
【练1】求函数求函数
y?x?2x?1
的值域
7.带绝对值或分段函数
【例】求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
【练1】求函数
f(x)?|x?2|?|3?x|
的值域;
?
2x?x
2
(
0?x?3)
?
【练2】求分段函数
f(x)?
?
的值域
2
?
?
x?6x(?2?x?0)
8.数型结合法
【例】定义运算
a?b?
?
为 .
?
a(a?b)
2
,例如,
1?2?1
,则函数
f(x)?x?(1
?x)
的最大值
?
b(a?b)
【练1】已知函数
f(x)?3?2x,g(x)?x?2x
.构造函数
y?F(x)
,定义如下:当
2
f(x)?g(x)
时,
F(x)?g(x);当
f(x)?g(x)
时,
F(x)?f(x)
.那么
y?F
(x)
( )
A.有最大值3,最小值-1
B.有最大值3,无最小值
C.有最大值
7?27
,无最小值
D.有最大值
7?27
,最小值
3?23
【练2】(2010天津文数)设函数g(x)?x
2
?2(x?R)
,
f
?
x
?<
br>?
?
则
f(x)
的值域是( )
?
g
?
x
?
?x?4,x?g
?
x
?
,
?g
?
x
?
?x,x?g
?
x
?
(A)
?
?,0
?
?(1,??)
(B)
[0,??)
4
(C)
[?,??)
?
9
?
9
4
?
?
(D)
?
?
?
9?
,0
?
?(2,??)
?
4
?
2
?
a
?
?ab,
a?b
【练3】(
2012年高考(福建理))
对于实数
a
和
b<
br>,定义运算“﹡”:
a*b?
?
,设
2
?
?
b?ab,
a?b
f(x)?(2x?1)*(x?1)
,且关于
x
的方程为
f(x)?m(m?R)
恰有三个互不相等的实数根
x
1
,
x
2
,x
3
,则
x
1
x
2
x3
的取值范围是_________________.
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