掌门1对1高中数学面试-高中数学选修2一1目录
高一函数经典难题讲解
1.已知函数f(x)=(x+1-a)(a-x),x∈R且
x≠a,当f(x)的定义域为
[a-1,a-12]时,求f(x)值
解:由题知,已知函数f(x)=(x+1-a)(a-x),
所以,f(x)=
-1+1(a-x),
当f(x)的定义域为[a-1,a-12]时
x∈[a-1,a-12]
(a-x)∈[12,1]
1(a-x)∈[1,2]
f(x)=-1+1(a-x)∈[0,1]
2.设a为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间
(2)
讨论函数y=f(x)的零点个数
解析:(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2
当x<2时,f(x)=-x^2+2x-2,为开口向下抛物线,对称轴为x=1
当x>=2时,f(x)=x^2-2x-2,为开口向上抛物线,对称轴为x=1
- 1
-
∴当x∈(-∞,1)时,f(x)单调增;当x∈[1,2]时,f(x)单调减;当x∈(2,
+∞)时,f(x)单调增;
(2).f(x)=x|x-a|-a=0,
x|x-a|=a,①
a=0时x=0,零点个数为1;
a>0时x>0,由①,x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]2;
0
a>4时,②无实根,零点个数为1。
a<0时,x<0,由①,x>=a>-4,x^2-ax-a=0③,x1,2=[a土√(a^2+
4a)]2;
xa=-4时x1,2=a2,零点个数为2;
a<-4时③无实根,零点个数为1.
综上,a<-4,或a=0,或a>4时零点个数为1;
a=土4时,零点个数为2;
-4
3.已知函数f(x)=log3为底 1-m(x+2)x-3的图像关于原点对称
(1)求常数m的值
(2)当x∈(3,4)时,求f(x)的值域;
(3)判断f(x)的单调性并证明。
解:1、函数f(x)=log3
[1-m(x+2)[(x-3)图象关于原点对称,
则该函数是奇函数,满足f(-x)=-f(x)。
log3
[1-m(2-x)](-x-3)=-log3 [1-m(x+2)](x-3)
log3
[1-m(2-x)](-x-3)=log3(x-3) [1-m(x+2)]
[1-m(2-x)](-x-3)=(x-3)[1-m(x+2)]
化简得
-x^2+9=-m^2(x^2)+(2m-1)^2
所以 -m^2=-1
(2m-1)^2=9
解得 m=-1
所以,函数解析式为f(x)=log3
[ (x+3)(x-3)]
2、先求t(x)=(x+3)(x-3)在(3,4)上的值域。
t(x)=(x+3)(x-3)=[(x-3)+6](x-3)=1+[6(x-3)]
当3
6(x-3)>6
所以 t(x)=1+[6(x-3)]>7
无穷)
那么,原函数在(3,4)上值域是(log3 (7),正
- 2 -
3、先求函数定义域
(x+3)(x-3)>0且x≠3 解得
x>3或x<-3
(1)当x>3时,
因为t(x)=(x+3)(x-3)=1+[6(x-3)]单调递减,所以
函数f(x)=log3 t(x)单调递减。
(2)当x<-3时,因为t(x)=(x+3)(x
-3)=1+[6(x-3)]单调递减,所以函数f(x)=log3 t(x)单调
递减。
4.已知函数f(x)=log4(4^x+1)+kx是偶函数.
(1)求k的值
(2)设f(x)=log4(a2^x-43a)有且只有一个实数根,求实数的取值范围.
解:(1)f(x)=log4(4^x+1)+kx(K∈R)是偶函数,
∴f(-x)=f(x),
即log<4>[4^(-x)+1]+k(-x)=log<4>(4^x+1)+kx,
∴log<4>{[4^(-x)+1](4^x+1)}=2kx,
-x=2kx,
k=-12.
(2)f(x)=log4(4^x+1)-x2=log4(4^x+1)-
log4(2^x)=log4[(4^x+1)2^x]
g(x)=log4(a ·
2^x-43a)
联立
log4[(4^x+1)2^x]=log4(a · 2^x-43a)
∴
(4^x+1)2^x=a·2^x-43a
不妨设t=2^x t>0
t^2+1t=at-43a
t^2+1=at^2-43at
(a-1)t^2-43at-1=0
设u(t)=(a-1)t^2-43at-1
∵两函数图像只有1个公共点,在这里就变成了有且只有一个正根
1.当a=1时
t=- 34 不满足 (舍)
2.当△=0时 a=34 或a=-3
a=34时 t= -12<0 (舍)
a=-3时 t=12满足
3.当一正根一负根时
(a-1) × u(0)<0 (根据根的分布)
∴a>1
综上所述,得a=-3或a>1
5.
- 3 -
这个是概念的问题:1.对于f(x)取值范围(0,无穷),f?(x)+bf(x)+c=0最多有
两个不同的f(x)。
2.对f(x)的图像进行分析,知道f(x)=1对应的x值有三个,即除x
=2外另有两个关于x=2对称的
x。f(x)不等于1时对应的x值有两个,即两个关于x=2对称的
两个x。
3.题意说f?(x)+bf(x)+c=0对应的x根有5个,显然满足f?(x)+bf
(x)+c=0的f(x)有两个,一个
f(x)对应三个x值,设为x1,x2,x3;另一个f(x
)对应两个x,设为x4,x5;
根据以上分析,应有x1+x3=2*2,x2=2;x4+x5=2*2=4
则f(x1+x2+x3+x4+x5)=f(10)=18,选B
?
1
?
x?
6.已知函数
f(x)?
?
x
,x?0
,,
f
(x)的值域是{0}∪【1,+∞).
求关于x的方程
?
0,x?0
?
f^2(x)+bf(x)+c=0有五个根的充要条件?
函数图像是一个“W”字样两个V字的连接点落到坐标原点的形状,也就是两个“V”字加原点
- 4 -
- 5 -
7.定义域为R的偶函数f(x),当x>0时,f(x)=lnx-
ax(a属于R),方程f(x)=0在R上恰有5个不同的
实数解
(1)求x<0时,函数f(x)的解析式
(2)求实数a的取值范围
(1)f(
x)为偶函数,有一个大于零的解,则一定会有一个小于零的解和他对应,f(x)=0
在R上有5个不
同的实数解,则f(0)=0,f(x)在x >0时有两个解当x<0时,-x>0,f(x)
=f(
-x)=ln(-x)+ax2)当a<0时,y=lnx , y=-ax在x
>0时都单调增,则f(x)=lnx-ax
在x
>0时单调增,只有一个解,不满足题意当a=0时,f(x)=lnx 在x
>0时单调增,只
有一个解,不满足题意当a>0时,f '(x)=1x-a 当x=1a时,f
'(x)=0,f(x)在(0,1
a)单调增,在(1a,+∞)单调减,在x=1a取到最大值
要f(x)在x >0时有两个解,只要
f(1a)>0,即ln(1a)>1,1a>e,得a<1e
综上,a∈(0,1e)
8.定义域为R的偶函数f(x),当x>0时,f(x)=lnx-
ax(a∈R),方程f(x)=0在R上恰有5
个不同的实数解.
(2)求实数a的取值范围.
解答:解:(1)设x<0,则-x>0.
∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax.
(2)∵f(x)为偶函数,∴f(x)=0的根关于原点对称.
由f(x)=0恰有5个不同的实数解知5个实根中有两个正根,二个负根,一个零根.
且两个正根和二个负根互为相反数.∴原命题?当x>0时f(x)图象与x轴恰有两个不同的交点.
下面研究x>0时的情况:f(x)=0的零点个数?y=lnx与直线y=ax交点的个数.
∴当a≤0时,y=lnx递增与直线y=ax下降或与x轴重合,
故交点的个数为1,不合题意,∴a>0.
由几何意义知y=lnx与直线y=ax交点的个
数为2时,直线y=ax的变化应是从x轴到与y=lnx相切
(1)求x<0时,函数f(x)的解析
式;
- 6 -
之间的情形.
设切点(
t
,lnt)?k=
(
lnx
)′|x
=
t=,
1
t
∴切线方程为:y?lnt=(x?t).
1
t
由切线与y
=ax重合知a=
11
,lnt=1?t=
e
,a=,
te
1
).
e
故实数a的取值范围为(0,
9.函数y=
loga(2x-3)+
2
的图像恒过定点P,P在幂函数f(x)的图像上,则f(9)=_
__
2
解:由于 loga(1) 恒等于0,
所以
P坐标为(2,
2
),而P在幂函数的图像上,所以设这个函数为 f(x)=x^a,
2
则
2
=2^a,解得 a=-12,所以
f(9)=9^(-12)=1√9=13。
2
10.函数y=loga(-x)+2的图像
恒过定点P,P在幂函数f(x)的图像上,则f(2)=___
解:P点坐标为(-1,2),与a无关
而幂函数f(x)=b^x要经过P点,则2=b^-1,所以b=12
所以f(2)=(12)^2=14
- 7 -
11.若偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1)且在x属于【0,1】时 f(x)=x的平
方,则关于x
的方程f(x)=(110)的x的平方在[0,103]上的实数根有几个
f
(x-1)=f(x+1),则函数f(x)的周期为2,可以作出函数f(x)的图像。另外设g(x)=(1
10)x&sup
2;,利用图像,得出方程f(x)=g(x)的根有2个。
1
2.
已知偶函数f(x)满足f(x+1)=f(x-1),且x∈[0,1],f(x)=(x-1)
?,则f
(72)=
解:由f(x+1)=f(x-1)
则f(x+2)=f(x) 所以 T=2 所以偶函数f(72)=f(72-4)=f(-12)
=f(12)=(12-1)?=14
13.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=2^x+1
(1)求函数f(x)的解析式,作出函数的图象。
(2)写出单调区间,并求出函数f(x)的值域
解:(1)根据题意,
当x>0时,-x<0, ∴f(x)=-f(-x)=-[2^(-x)
+1]=-1-(12)^x ∴x<0时,f(x)=1+2^x
x>0时,f(x)=-1-(12)^x
(2)递增区间是(-∞,0)和(0,+∞)
x<0时,f(x)∈(0,2) x>0时,f(x)(-2,0)
∴f(x)的值域是(-2,0)∪(0,2)
图像
14.题目:设f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,并
式
且f(x)-g(x)=
x?-3x+1,
求f(x)和g(x)的解析
-
8 -
f(x)-g(x)=x?-3x+1
f(-x)-g(-x)=(-x)?-3(
-x)+1=-f(x)-g(x)【根据两个函数性质可得】
解上述两个方程
得f(x)=-3x g(x)=-x?-1
15.已知f(x)是定义在R上的偶
函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),则f(2011)+f(2013)
的值
为?
解:g(x)=f(x-1)=>g(-x)=f(-x-1)=f(x+1)
f(2011)=g(2012)
f(2013)=g(-2012)
f(2011)+f(2013)=0
16.若函数f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
且f(x)+g(x)=1x-1,则f(x)=___”
解:f(x)+g(x)=1(x-1)
(1)
f(-x)+g(-x)=-1(x+1) (2)
由f(x)=f(-x),g(-x)=-g(x)可知
f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=-1(x+1) (3)
(1)和(3)相加则有
2f(x)=-1(x-1)-1(x+1)
则f(x)=1(x^2-1)
17.函数f(x)对任意实数x1,x2,
总有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-3,并且当x>0时,f(x)>3
(1).求证:f(x)在R上是增函数
(2).若f(3)=6,解不等式f(a^2-3a-9)<4
(1).证明:任取x1,x2,且x1
∴f(x2)= f[(x2-x1)+x1]=
f(x2-x1)+f(x1)-3= f(x1)+[f(x2-x1)-3]>f(x1),
∴对任意x1
得f(1)=4,
∴f(a^2-3a-9)
解得-218.若定义在R上的函数f(x)对任意的x
1,x2属于R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1
成立,且当x>0时,f(x)
>1.
(1)求证:[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0;
(2)证:f(x)是R上的增函数
- 9 -
(1)证明:令x1=x,x2=0 ∴f(x)=f(0)+f(x)-1 即f(0)=1
又令x1=x,x2=-x 则f(0)=f(x)+f(-x)-1
又∵f(0)=1 ∴f(x)+f(-x)=2 ∴
[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0
(2)证明:设 x1
f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1
∵当x>0时,f(x)>1
∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1>1(注:已知条件)
即是f(x2)+f(-x1)>2
又∵f(x)+f(-x)=2(注:已证明)
∴f(x2)+2-f(x1)>2 整理得:f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)<f(x2)
在实数R上,存在有任意x1
且f(3)=4
1.求f(1),f(4)的值
2.判断并证明f(X)的单调性
3.若关于x的不等式f(ax-1)
解:(1)令x=y=1可得f(1+1)=f(1)+ f(1)—1 ①
令x=1 y=2可得f(1+2)= f(1)+f(2)—1②
已知f(3)=4③ 联立上式得f(1)=2
令x=1 y=3得f(1+3)=
f(1)+ f(3)—1=5
(2)令y=1
带入已知的抽象函数f(x+1)=f(x)+f(1)—1 移项得f(x+1)—f(x)=1
所
以函数f(x)为增函数
(3)由(2)知函数f(x)为增函数,所以有ax-1﹤f(4)x 由题意知不等式(a-5
)x-1﹤0的
解集为x﹤3(因为不等式解集的最大整数为2所以它的解集就是x﹤3,这里你要想明
白) 所
以问题可以转化为对任意的x﹤3都有(a-5)x-1﹤0 成立
令函数
f(x)=(a-5)x-1 要满足任意的x﹤3都有 f(x)﹤0
①当a≠0时,只要函数为增函数且f
(3)﹤0就行 有a-5 ﹥0 且 f(3)﹤0推出
5﹤ a﹤
16
3
②当a=5时,f(x)=-1,显然f(x)﹤0的解集不是x﹤3,不合题意。
综上a的取值范围为5﹤ a﹤
- 10 -
16
.
3
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