LS 高一数学函数的概念及基本性质

函数的概念讲义
姓名：
（一）函数的有关概念
设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系
f
，使对于集合A中的任意一个
x
，在集合B中
都有唯一确定的数
f(x)
和它对应，那么就称
f:A ?B
为从集合A到集合B的函数，记作
y?f(x)
， x
?
A
其中
x
叫自变量，
x
的取值范围A叫做函数
y?f(x)< br>的定义域；与
x
的值相对应的
y
的值叫做函数值，函
数值的集 合
?
f(x)|x?A
?
（
?
B）叫做函数y=f(x)的 值域.
函数符号
y?f(x)
表示“y是x的函数”，有时简记作函数
f( x)
.
(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应
f:A?B

这里 A, B 为非空的数集.
（2）A：定义域，原象的 集合；
?
f(x)|x?A
?
：值域，象的集合,其中
?
f (x)|x?A
?
? B ；
f
：对
应法则 ，
x
?A ，
y
?B
（3）函数符号：
y?f(x)

?
y
是
x
的函数，简记
f(x)

（二）已学函数的定义域和值域
1．一次函数
f(x)?ax?b(a?0)
:定义域R, 值域R;
2． 反比例函
f(x)?
k
(k?0)
:定义域
?
x|x?0< br>?
, 值域
?
x|x?0
?
;
x
3．二次 函数
f(x)?ax
2
?bx?c
(a?0)
:定义域R
??
4ac?b
2
?
4ac?b
2
?
值域：当a?0
时，
?
y|y?
?
；当
a?0
时，?
y|y?
?

4a4a
????
（三）函数的值：关于函数值
f(a)

例：
f(x)
=
x
+3x+1 则 f(2)=
2
+3×2+1=11
注意：1?在
y?f(x)
中< br>f
表示对应法则，不同的函数其含义不一样
2
2
2?
f(x)
不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”
3?
f(x)
与
f(a)
是不同的，前者为变数，后者为常数
（四）函数的三要素： 对应法则
f
、定义域A、值域
?
f(x)|x?A
?


1

只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数
（五）区间的概念和记号：
在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.
设a,b
?
R ,且a①满足不等式a
?
x
?
b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
②满足不等式a③满足不等式a
?
x?
b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b) ,(a，b].
这里的实数a和b叫做相应区间的端点.
这样实数集R也可用区间表示为(-
?,+
?
),“
?
”读作“无穷大”，“-
?
”读作“负 无穷大”，“+
?
”
读作“正无穷大”.还可把满足x
?
a，x>a ，x
?
b，x?
)
，（a， +
?
）,(-
?
,b
]
,(-
?
,b).
【例题解析】
例1 判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？为什么？
22
(1)x＋y＝1 (2)x＋y＝1 (3)
y?
1?x
(4)y=
x?1?-x

x?1






例2 求下列函数的定义域：
（1）
f(x)?1?x?







例3 已知函数
f(x)
=3
x
-5x+2，求f(3), f(-
2
), f(a+1).










2
2
(x?1)
0
1
(2)
f(x)?

x?4
x?x

(x?0)
?
0
例4 已知
f(x)?
?
?
?

(x?0)
，求
f(1)
，
f(?1)
，
f(0)
，
f{f[f(?1) ]}

?
x?1
(x?0)
?







x
3
讨论：函数y=x、y=(
x
)、y=
2
、y=
4
x
4
、y=
x2
有何关系？
x
2






例5 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
⑴
y
1
?
(x?3)(x?5)
x?3
y
2
?x?5
⑵
y
1
?x?1x?1

y
2
?(x?1)(x?1)







练习：下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
①
f(x)
=
(x?1)
0
；
g(x)
= 1.
②
f(x)
=
x
；
g(x)
=
x
2
.
③
f(x)
=
x
；
g(x)
=
(x?1)
2
.
④
f(x)
= |
x
| ；
g(x)
=
x
2
.

例6 已知函数
f(x)
=4x+3， g(x)=x,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].










3
2
2

复合函数：设
f
(
x
)=2
x
?3，
g
(
x
)=
x
+2，则称
f
[
g
(
x
)] =2(
x
+2)?3= 2
x
+1（或
g
[
f
(
x
)] =(2< br>x
?3)+2=4
x
?12
x
+11）
为复合函数
例7求下列函数的值域（用区间表示）：
（1）y＝x
2
－3x＋4； （2）
f(x)?x
2
?2x?4
；
?5x?2
（3）y＝； （4）
f(x)?
.
x?3x?3








例8
※ 动手试试

1. 若
f(x?1)?2x
2
?1
，求
f(x)
.
2 2222
?
|x?1|?2,|x|?1,
1
?
2、设f(x)＝< br>?
1
，则f[f()]＝( )
2
, |x|?1
?
2
?
1?x
(A)
9
1425
(B) (C)－ (D)
5
21341

3．设函数
f
1
(x)?
x
2
，f
2
(x)?x
?1
，f
3
(x) ?x
3
，则
f
1
(f
2
(f
3
( 2007)))?

4、已知a,b为常数，若
f(x)?x?4x ?3,f(ax?b)?x?10x?24,
则
5a?b?

22x
2
?1
f(2)
5．函数
f(x)?
2
, 则
?
（ ）
1
x?1
f()
2
A．2 B．－2 C．
6. 设?（x+1）的定义域为[-2,3）则?(













1
-11
+2）的定义域为___({x|x≤或x>}
32
x
33
D．
?
55

4

函数的概念习题：
1．如下图可作为函数
?f(x)
的图像的是( )


y

y

y

y

O

（A）
x

O

（B）
x

O

（C）
x

O

（D）
x

2.对于函数
y?f(x)
，以下说法正确的有 （ ） ①
y
是
x
的函数；②对于不同的
x,y
的值也不同；③
f(a)
表示当
x?a
时函数
f(x)
的值，是一个常量；
④
f(x)
一定可以用一个具体的式子表示出来。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3．在下 列四组函数中，
f
（
x
）与
g
（
x
）表示 同一函数的是（ ）
x
2
－1
A．
f
（
x）＝
x
－1，
g
（
x
）＝
x＋1
B ．
f
（
x
）＝｜
x
＋1｜，
g
（
x
）＝
?
1x
?
－1
?
x＋

1 －xx＜－1
?
－
C．
f
（
x
）＝
x＋1，
x
∈R，
g
（
x
）＝
x
＋1，
x
∈
Z

D．
f
（
x
）＝
x
，
g
（
x
）＝
(x)
2

4 ．拟定从甲地到乙地通话
m
分钟的电话费由
f
（
m
）＝1. 06×（0.5·［
m
］＋1）（元）决定，其中
m
＞0，［
m］
是大于或等于
m
的最小整数，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为 （ ）
A．3.71元 B．3.97元 C．4.24元 D．4.77元
?
x?2 (x≤?1)
?
2
5.设
f(x)?
?
x (?1?x?2)
，若
f(x)?3
，则
x?
。
?
2x (x≥2)
?
6. 求下列函数的定义域，要求把结果写成区间形式．
（1）
y＝






(x－1)
0
－x
2
＋x＋2；（2）
y＝
x＋2
1
；（3）
y＝

2x＋1＋x－1
x－x
5

7．设
f(x)
的定义域是[?3，
2
]，求函数
f(x?2)
的定义域





8．已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x?1, 求f(x)的解析式



x
2
9．已知函数
f
（
x
）＝
2
1＋x
（1）求
f
（
x
）+
f()
的值






（2）
f
（1）＋
f
（2）＋
f
（





















6
1
x
111
）＋
f
（3）＋
f
（）＋
f
（4）＋
f
（）＝ ．
3
24