高中数学：函数与方程练习

高中数学：函数与方程练习
(时间:30分钟)
1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( D )
(A)，0 (B)-2，0 (C) (D)0
解析:当x≤1时，则f(x)=2
x
-1=0，解得x=0.
当x>1时，由f(x)=1+log
2
x=0，解得x=，
又因为x>1，所以此时方程无解.
综上函数f(x)的零点只有0.
2.(豫西南部分示范性高中联考)函数f(x)=ln x-的零点所在的区间为( B )
(A)(0，1) (B)(1，2)
(C)(2，3) (D)(3，4)
解析:易知f(x)=ln x-在定义域(0，+∞)上是增函数，
又f(1)=-2<0，f(2)=ln 2->0，
则f(1)·f(2)<0，
故f(x)的零点在区间(1，2)内.
3.函数f(x)=2
x
--a的 一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( C )
(A)(1，3) (B)(1，2) (C)(0，3) (D)(0，2)
解析:因为函数f(x)=2
x
--a在区间(1，2)上单调递增，
又函数f(x)=2
x
--a的一个零点在区间(1，2)内，
则有f(1)·f(2)<0，
所以(-a)(4-1-a)<0，
即a(a-3)<0，所以04.已知函数f(x)=2
x
+x +1，g(x)=log
2
x+x+1，h(x)=log
2
x-1的零点依 次为a，b，c，则(

A )

(A)a(C)b解析:令函数f(x)=2
x
+x+1=0，可知x<0，即a<0;
令g(x)=log
2
x+x+1=0，
则0令h(x)=log
2
x-1=0，
可知x=2，即c=2.显然a5.(湖北七校联考)已知f(x)是奇函数且是 R上的单调函数，若函数y=f(2x
2
+1)+f(λ-x)只有
一个零点，则实数 λ的值是( C )
(A) (B) (C)- (D)-
解析:令y=f(2x+1)+f(λ-x)=0，
则f(2x
2
+1)=f(x-λ)，
因为f(x)是R上的单调函数，
所以2x
2
+1=x-λ，只有一个实根，
即2x
2
-x+1+λ=0只有一个实根，
则Δ=1-8(1+λ)=0，解得λ=-.
6.(北京燕博园联考)已知函数f(x)=
数k的取值范围是( C )
(A)(-2，2) (B)(-2，1)
(C)(0，2) (D)(1，3) < br>解析:当x<0时，f(x)=x
3
-3x，则f′(x)=3x
2
- 3，
令f′(x)=0，所以x=±1(舍去正根)，
故f(x)在(-∞，-1)上单调递增，在(-1，0)上单调递减，
又f(x)=ln(x+1)在x≥0上单调递增，
则函数f(x)的图象如图所示.
若函数y=f(x)-k有三个不同的零点，则实
2

f(x)
极大值
=f(-1)=2，且f(0)=0，
故当k∈(0，2)时，y=f(x)-k有三个不同零点.
7.(2017·河南焦作二模)已知函数f(x)=
F(x)=f(x)-x-1，且函数F(x)有2个零点，则实数a的取值范围为( C )
(A)(-∞，0]
(C)(-∞，1)
(B)[1，+∞)
(D)(0，+∞)
解析:由题意，x≤0，F(x)=e
x
-x-1，有 一个零点0;x>0，F(x)=x[x+(a-1)]，因为函数F(x)有2
个零点，
所以1-a>0，所以a<1.
故选C.
8.函数f(x)=-()
x
的零点个数为 .
解析:令f(x)=0，得=()
x
.
在平面直角坐标系中分别画出函数y=与y=()
x
的图象.如图所示.

由图可知两函数图象有1个交点，故f(x)的零点只有一个.
答案:1
9.(衡水中学检测)已知函数f(x)=
3f(x)的零点个数是 .
解析:由y=2f(x)-3f(x)=0，得
f(x)=0或f(x)=.
作出y=f(x)的图象(如图).
2
则函数y=2f
2
(x)-

由图象知，f(x)=0时，方程有2个实根，
f(x)=时，方程有3个实根.
故y=2f
2
(x)-3f(x)共有5个零点.
答案:5
能力提升(时间:15分钟)
10.函数f(x)=ln x+e
x
(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是( A )
(A)(0，) (B)(，1)
(C)(1，e) (D)(e，+∞)
解析:函数f(x)=ln x+e
x
在(0，+∞)上单调递增，
因此函数f(x)最多只有一个零点.
f(e
-3
)=-3+<-3+e<0，
又f()=ln +=-1>0，
所以函数f(x)=ln x+e
x
(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是(0，).
11.(2017 ·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=x
2
-2x+a(e
x-1
+e
- x+1
)有唯一零点，则a等于( C )
(A)- (B) (C) (D)1
解析:因为y=x
2
-2x在x=1处有最小值-1，
y=e
x-1
+e
-x+1
在x=1处有最小值2.
又因为f(x)有唯一的零点，
所以当x=1时，f(x)有最小值f(1)=-1+2a=0，
所以a=.故选C. 12.(河北保定第一次模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，当x∈[0， 1]时，
f(x)=-2x+1，设函数g(x)=()
|x-1|
(-1(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

解析:因为f(x+1)=-f(x)，
所以f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x)，
所以f(x)的周期为2.
由于f(x)为偶函数，
所以f(1-x)=f(x-1)=f(x+1)，
故f(x)的图象关于直线x=1对称.
又函数g(x)=()
|x-1|
的图象关于直线x=1对称，在同一坐标系内作出f(x)与g(x)在(-1，3)上
的图象，如图，

由图可知四个交点的横坐标关于x=1对称，其和为2×2=4.
13.(河北邯 郸第一次模拟)若曲线y=log
2
(2
x
-m)(x>2)上至少存在一点 与直线y=x+1上的一点关
于原点对称，则m的取值范围为
.
解析:因为直线y=x+1关于原点对称的直线为
y=x-1.
依题意，方程lo g
2
(2
x
-m)=x-1在x∈(2，+∞)上有解，
则m=2
x-1
在x∈(2，+∞)上有解，所以m>2.
又2
x
-m>0在x∈(2，+∞)上恒成立，则m<(2
x
)
min
，所 以m≤4.
所以实数m的取值范围为(2，4].
答案:(2，4]
14.(济南质检)已知函数f(x)=
取值范围是 .
解析:在同一坐标系内，作函数y=f(x)与y=ax的图象.
若方程f(x)=ax有三个不同的实数根，则实数a的

当y=ax是y=ln x的切线时，设切点P(x
0
，y
0
)，
因为y
0
=ln x
0
，a=(ln x)′=，所以y
0
=ax
0
=1=ln x
0
，x
0
=e，故a=.
故y=ax与y=f(x)的图象有三个交点时，0答案:(0，)