高中数学-函数零点问题及例题解析

高中数学-函数零点问题及例题解析
、函数与方程基本知识点
1、 函数零点：(变号零点与不变号零点)
(1 )对于函数
y f
(
x)
，我们把方程
f(x) 0
的实数根叫函数
y f(x)
的零点。
(2)方程
f (x) 0
有实根 函数
y f(x)
的图像与x轴有交点 函数
y f (x)
有零点。
若函数
f(x)
在区间
a
,b
上的图像是连续的曲线，则
f(a)f(b ) 0
是
f(x)
在区间
a
,b
内有零点的 充分不必要
条件。
2、 二分法：对于在区间
［a,b］
上连续不断且
f(a) f(b) 0
的函数
y f(x)
，
通过不断地把函数
y f(x)
的零点所在的区间一分为二
，
使区间的两个端点逐步逼近零点
，
进而得到零点 的近似 值的
方法叫做二分法
；
二、函数与方程解题技巧
零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：
(一) 函数零点的存在性定理指出：“如果函数
y f (x)
在区间［a,b］上的图象是连续不断的一
条曲线，并且
f(a)f(b) 0
，那么，函数
y f(x)
在区间(a,b )内有零点，即存在
c (a,b)
, 使得
f(c) 0
,这个c
也是方程
f (x) 0
的根”。根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区
间上是否有零点(或方程在某个区间上是否有根)时，一定要注意该定理是函数存在零点的充 分不必
要条件：如
2
例、函数
f(x) In(x 1)
-的零点所在的大致区间是()
x
(A)( 0, 1)； ( B)( 1, 2)； ( C)
2
( 2, e); ( D)( 3, 4)。
0
,
f(2) 0
,所 分析：显然函数
f (x) ln(x 1)
在区间［1,2］上是连续函数，且
f (1)
x
以由根的存在性定理可知，函数
f(x) ln(x 1)
的零点所在的大致区间是(1, 2),选B
x
2
(二) 求解有关函数零点的个数(或方程根的个数)问题。
函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的 个
1

数问题，我们可以通过适当构造函数，禾
I
」用函数的图象 和性质进行求解。如：
1对于求一个陌生函数的零点个数，若能把已知函数分解成两个熟悉的函数，那么可利
用构造函数法化归为求两个熟悉函数图象的交点个数求解
，
如：
例.求
f(x) X
2
2
x
零点的个数。
分析：本题直接求解，无法下手，由函数
f (x) x
2
2
X
的零点也是方程
f (x) x
2

根，即方程
x
2

2
X
0
的
2
x
的解，但这个方程不是熟悉的常规方程，由方程的解与两函数图象交点的
关系，可构造函数
y
i
x
2
、
y
2
2
x
,在同一坐标系中作出它们的图象，可得出它们有三个交点， 所以
f (x)
x
2
2
x
零点的个数有三个。
y =
2i

o
2.对于一元高次函数，可利用导数法研究函数图象的特征，作出函数的图象，确定图象与
X轴交点的情况求解。(导数专题再续讲)
(三) 求函数的具体零点或求方程的根。对于某些特殊类型的函数，可通过研究式子的特征，
构造新函数
，
转化求解。如：
例、求函数
f (x) (5x 3)
5
x
5
6x 3
的零点。
分析：考察
f(x) (5x 3)
5
x
5
6x 3 0
的特点，直接求解难以入手，可转化为求
(5x 3)
5
(5x 3) (x
5
x)
的解，根据式子特点构造函数
g(x) x
5
x
，显然
g(x)
为奇函数,
(5x 3) (x
5
x)
可化为
g(5x 3) g(x) g( x)
，故利用
i
2
且在R上单调递增，由
(5x 3)
5

1
函数
g (x)
的性质可得
5 x 3 x
，则
x
一，所以函数
f (x)
的零点为
x
一
2
2

基础练习
1、下列函数中，不能用二分法求零点的是(
)答案B

2、已知函数
f(x)
的图象是连续的，有如下表。函数
f(x)
在区间
［1,6］
上的零点至少有(
答案C
x
f(x)

)
1
123.56
A. 2个
2
21.45
B . 3个
3
—7.82
4
11.57
5
53.76
D . 5个
6
—126.49
C . 4个
3.
2
x
x 4 0
的根，贝
U
设 、 分别是方程
log
2
x x 4 0
和
+ = _________ 。答案4
x
2
4.已知函数
f (x) (a,b
为常数),且方程
f (x)
x 12
0
有两实根3和4
(k 1)x k
2 x
ax b
(1)求函数
f (x)
的解析式;
2
(2)设k 1，解关于x的不等式:
f (x)
解：
(1 )即方程」

x 12 0
有两根3和4，所以
ax b
9
9 0
a 1 才
3a b
得
f(x)
16
b 2所以

8 0
4a b


2
x

2
坐
1)x k
整理的
(x 2)(x 1)(x k) 0
2 x
1 k 2时，不等式的解集｛x|1 x k或x 2｝ ； k 2时，不等式的解集｛x|1 x 2或x 2｝；
7 7
k 2时，不等式的解集｛x|1 x 2或x k｝
3