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高中数学三角函数知识点与题型总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 09:52
tags:高中数学 函数

高中数学新课改中老师的地位和作用-那些高中数学题培养学生的核心素养

2020年9月20日发(作者:樊作楷)


三角函数典型考题归类
1.根据解析式研究函数性质
例1(天津理)已知函 数
f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1,x?R

(Ⅰ)求函数f(x)
的最小正周期;(Ⅱ)求函数
f(x)
在区间
?
?
上的最小值和最大值.
84
【相关高考1】(湖南文)已知函数
f( x)?1?2sin
2
?
x?
?
π3π
?
???
?
π
?
π
?
π
???
?2sinx ?cosx?
?????

8
?
88
????
求 :(I)函数
f(x)
的最小正周期;(II)函数
f(x)
的单调增区间.
【相关高考2】(湖南理)已知函数
f(x)?cos
2
?
x??
?
π
?
1

g(x)?1?sin2x

?
12
?
2
(I)设
x?x
0
是函数y?f(x)
图象的一条对称轴,求
g(x
0
)
的值.(II) 求函数
h(x)?f(x)?g(x)
的单调递增区
间.
2.根据函数性质确定函数解析式
例2(江西)如图,函数
y?2cos(
?
x?
?
)(x?R,
?
>0,≤0
?
≤)
的图象与
y
轴相交于点
(0,3)
,且该函数的
最小正周期为?

(1)求
?

?
的值;
π
2
y
3

?
π
?
0
?
,点
P
是该函数图象上一点,点
Q(x
0
,y
0< br>)

PA
的中点,(2)已知点
A
?

?< br>2
?

y
0
?
P

x

O

A

3
?
π
?

x
0
?
?

π
?
时,求
x
0
的值.
2
?
2
?
【相关高考1】(辽宁)已知函数
f( x)?sin
?
?
x?
?
?
π
?
π
??
2
?
x
?sin
?
x??2cos,x?R
(其中
?
?0
),(I)
???
6
?
6
?
2
?
求函数
f(x)
的值域; (II)(文)若函数
y? f(x)
的图象与直线
y??1
的两个相邻交点间的距离为
π
,求函 数
2
y?f(x)
的单调增区间.
(理)若对任意的
a?R
,函数
y?f(x)

x?(a,a?π]
的图象与直线
y??1
有且仅有两个不同的交点,试确定
?
的值(不必证明),并求函数
y?f(x ),x?R
的单调增区间.
【相关高考2】(全国Ⅱ)在
△ABC
中,已知 内角
A?
?
,边
BC?23
.设内角
B?x
,周长 为
y

?
(1)求函数
y?f(x)
的解析式和定义域; (2)求函数
y?f(x)
的最大值.
3.三角函数求值
例3(四川)已 知cosα=
113
π
,cos(α-β)=,且0<β<α<,(Ⅰ)求tan2α 的值;(Ⅱ)求β.
72
14


?
??
2cos?
2x?
?
4
??
【相关高考1】(重庆文)已知函数f(x) =.(Ⅰ)求f(x)的定义域;(Ⅱ)若角a在第一象限,且
?
sin(x?)
2< br>3

cosa?,求f(a)。
5
【相关高考2】(重庆理)设f (
x
) =
6cosx?3sin2x
(1)求f(
x
) 的最大值及最小正周期;(2)若锐角
?
满足
2
4
f(
?< br>)?3?23
,求tan
?
的值.
5
4.三角形中的函数求值
例4(全国Ⅰ)设锐角三角形ABC的内角A

B

C的对边分别为a

b

c,
a?2 bsinA

(Ⅰ)求B的大小;(文)(Ⅱ)若
a?33

c? 5
,求b.(理)(Ⅱ)求
cosA?sinC
的取值范围.
【相关高考1 】(天津文)在
△ABC
中,已知
AC?2

BC?3
,< br>cosA??
(Ⅰ)求
sinB
的值;(Ⅱ)求
sin
?2B?
4

5
?
?
?
?
?
的值.
6
?【相关高考2】(福建)在
△ABC
中,
tanA?
13
tanB?
.(Ⅰ)求角
C
的大小;文(Ⅱ)若
AB
边的长为< br>17

45

BC
边的长.理(Ⅱ)若
△ABC最大边的边长为
17
,求最小边的边长.
5.三角与平面向量
例5( 湖北理)已知
△ABC
的面积为
3
,且满足0≤
AB?AC

6
,设
AB

AC
的夹角为
?
.(I) 求
?
的取值范
围;
(II)求函数
f(
?
)?2 sin
?
2
?
π
?
?
?
?
?3c os2
?
的最大值与最小值.
?
4
?
【相关高考1】(陕 西)设函数
f
?
x
?
?a?b

?
?< br>?
其中向量
a?(m,cos2x),b?(1?sin2x,1),x?R
, 且函数y=f(x)的图象经过点
?
,2
?

?
4
?
(Ⅰ)求实数m的值;(Ⅱ)求函数f(x)的最小值及此时
x
的值的集合. < br>【相关高考2】(广东)已知ΔABC三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c
,0).
(文)(1)若
AB?AC?0
,求
c< br>的值;(理)若∠A为钝角,求c的取值范围;(2)若
c?5
,求sin∠A
的值.
6三角函数中的实际应用
例6(山东理)如图,甲船以每小时
302
海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于
A
1
处时,乙 船位于甲船的北偏西
105
方向的
B
1
处,此时两船相距
2 0
海里,当甲船航行
20
分钟到达
A
2
处时,乙船航行到甲船的北偏西
120
方向的
B
2
处,此时两船相距
1 02
海里,问乙船每小时航行多少海里?
【相关高考】(宁夏)如图,测量河对岸的塔高AB
时,可以选与塔底
B
在同一水平面内的两个侧点
C

D
.现测

120
A
2
B
2

< br>得
?BCD?
?
,?BDC?
?
,CD?s
,并在点
C
测得塔顶
A
的仰角为
?
,求塔高
AB


7.三角函数与不等式
例7(湖北文)已知函数
f(x)?2sin2
?
?
ππ
?
?
π
?
?x
?
?3cos2x

x?
?

?
.(I)求
f(x)
的最大值和最小值;
?
42
?
?
4
?< br>(II)若不等式
f(x)?m?2

x?
?

?< br>上恒成立,求实数
m
的取值范围.
42
8.三角函数与极值
例8(安徽文)设函数
f
?
x
?
??cos
2
x ?4tsin
其中
t
≤1,将
f
?
x
?
的 最小值记为
g
(
t
).
(Ⅰ)求
g
(
t
)的表达式;(Ⅱ)讨论
g
(
t
)在区间(-1,1)内的单调性并 求极值.
三角函数易错题解析
例题1 已知角
?
的终边上一点的坐标为(
sin
?
ππ
?
??
xx
cos?4t
3
?t
2
?3t?4,x?R

22
2
?
2
?
,cos
),则角
?
的最小值为( )。
3 3
5
?
5
?
11
?
2
?
A、 B、 C、 D、
636
3
2
例题2 A,B,C是
?
ABC的三个内角,且
tanA,tanB
是方程
3x?5x?1 ?0
的两个实数根,则
?
ABC是( )
A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形
例题3 已知方程
x ?4ax?3a?1?0
(a为大于1的常数)的两根为
tan
?

tan
?


?

?
?
?
?< br>2
?
?
?
?
?
?
?
,
?< br>,则
tan
的值是_________________.
2
2
2
?
?
例题4 函数
f()
的最大值 为3,最小值为2,则
a
______,
b?
_______。
?
x?asinx?b
sinxcosx
的值域为______________。 < br>1?sinx?cosx
222
?sin
?
?3sin
?,则sin
?
?sin
?
的取值范围是
2
例题6 若2sinα
例题5 函数f(x)=
例题7 已知
?
的最小值及最大值。
?cos
?
?6sin
??
?
?
?
?
,求
y
例题8 求函数
f(x)?
2tanx
的最小正周期。
1?tan
2
x
例题9 求函数
f(x)?sin2x?22cos(?x)?3
的值域
?
4
例题10 已知函数
f(x)?sin(
?
x??)(
?
?0,0

?

?
)
是R上的偶函数, 其图像关于点M
(
?
,0)
对称,且在区
3
4


间[0,
?
]上是单调函数,求
?

?
的值。
2
b?5,?B?
?
4
1.(2011年北京高考9)在
A BC
中,若
,sinA?
1
3
,则
a?
.
a552
?,a?
ab
?
1
52
1
?
3
?
b?5,?B?,sinA?
sin
43
所以
34
【答案】
3
【解析】:由正弦定理得
sinAsinB
2
2.(2011年浙江高考5).在
?ABC
中,角
A,B,C
所对的边分
a,b,c
.若
acosA?bsinB
,则
sinA cosA?cosB?

11
(A)-
2
(B)
2
(C) -1 (D) 1
【答 案】D【解析】∵
acosA?bsinB
,∴
sinAcosA?sinB


sinAcosA?cosB?sinB?cosB?1
.
222< br>2
?
3.(2011年全国卷1高考7)设函数
f(x)?cos
?< br>x(
?
?0)
,将
y?f(x)
的图像向右平移
3< br>个单位长度后,所得的
图像与原图像重合,则
?
的最小值等于
1
(A)
3
(B)
3
(C)
6
(D)
9

?
?
【解 析】由题意将
y?f(x)
的图像向右平移
3
个单位长度后,所得的图像与原 图像重合,说明了
3
是此函数周期的
2
?
整数倍,得
??k?
?
3
(k?Z)
?
?6
. ,解得
?< br>?6k
,又
?
?0
,令
k?1
,得
min< br>4.(2011全国卷),设函数
(A)y=
对称
在单调递增,其图像关于 直线对称(B)y=在单调递增,其图像关于直线
πππ
(C)y= f (x) 在(0,
2
)单调递减,其图像关于直线x =
4
对称(D)y= f (x) 在(0,
2
)单调递减,其图像关
π
于直线x =
2
对称
ππ
?
解析:解法一:f(x)=
2
si n(2x+
2
)=
2
cos2x.所以f(x) 在(0,
2
)单调递减,其图像关于直线x =
2
对称。故选
D。
5.(2011年江西高考14)已知角
?
的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴, 若
p
?
4,y
?
是角
?
终边上一点,且

< p>
sin
?
??
25
5
,则y=_______.
答案:—8. 解析:根据正弦值为负数,判断角在第三、四象限,再加上横坐标为正,断定该 角为第四象限角。
y25
对边
??
sin
?
?
2< br>5
?y??8
斜边
=
16?y

f(x)?f()< br>f()?sin(?
?
?)1
6

x?R
恒成立,则
63
6.(2011年湖南高考9)【解析】若,所以
?
??
?3
?
?
?k
?
?
?
2
,k?Z

?
?k
?
?
?
6
,k?Z
f()?f (
?
)
?
?
?
)
,即
2
.由,(
k?Z
),可知
sin(
?
?
?
)?sin(2< br>?
,代入
f(x)
?
sin
?
?0
,所以< br>2k
?
?
?
?(2k?
?
1?)
?
6
k?,Z
f(x)??sinx(?2)
sin?x(
?
2
,得
6
,由
?
?
2
剟2x?
?
6
2
?
k?
?
3
?
k
?
?剟x
6
2
,得
k
?
?
2
?
3
,故选C.
b
2
?c
2
?a
2
1
?
222< br>222
a?b?c?bc
sinA?sinB?sinC?sinBsinC
2 bc2
, 7.(2011四川高考8)解析:由得,即

cosA?
1?
0?A?
2
,∵
0?A?
?
,故
3
,选C.
f(x)?4cosxsin(x?
1.【解析】:(Ⅰ)因为
?
6
)?1
?4cosx(
31
sinx?cosx)?1
22

?3sin2x?2cosx?1
?3sin2x?cos2x
?
(Ⅱ) 因为
2
?2sin(2x?
?
6
所以
f(x)
的最 小正周期为
?

)
?
6
?x?
?
4
,所以?
?
6
?2x?
?
6
?
2
????
2x??,即x?
.
626
时,
f(x)
取得最 大值2;当
3
于是,当
2x?
?
6
??
?
,即x??时,f(x)
66
取得最小值—1.
f(x)?Asin(
?< br>?
3
x?
?
)
2.(2011年浙江高考18)已知函数,< br>x?R

A?0

0?
?
?
?
2< br>.
y?f(x)
的部分图像,如
图所示,
P

Q分别为该图像的最高点和最低点,点
P
的坐标为
(1,A)
.


(Ⅰ)求
f(x)
的最小正周期及
?
的值;(Ⅱ)若 点
R
的坐标为
(1,0)

?PRQ?
2
?
3
,求
A
的值.
T?
2.(Ⅰ)解:由题意得,
上 < br>2
?
?
3
?6
y?Asin(x?
?
)P(1,A)
3
因为在的图
?

sin(?
?
)?1.
0
?
3
所以又因为
?
?
2
,所以
?
?
?
?
6
(Ⅱ)解:设点Q的坐

?< br>为(
x
0
,A
).,由题意可知
3
x
0?
?
6
2
?
2
?
3
,得
x< br>0
?4
,所以
Q(4,?A)
,连接PQ,在△PRQ中,∠PRQ=
3
,由余弦定
RP
2
?RQ
2
?PQ
2< br>A
2
?9?A
2
?(9?A
2
)1
cos? PRQ???
2
2
,解得A
2
=3。
23.9?A
理得
又A>0,所以A=
3

cosA?2 cosC2c?a
?
A,B,Ca,b,c
?ABC
cosBb
, 3. (2011年山东高考17) 在中,内角的对边分别为,已知
sinC
1
co sB?,b?2
4
(Ⅰ)求
sinA
的值;(Ⅱ)若,求
?ABC< br>的面积S。
cosA?2cosC2c?acosA?2cosC2sinC?sinA
??
?ABC
cosBbcosBsinB
解:(Ⅰ)在中,由及正弦定理可得,,

sinAsinB?2cosCsinB?2sinCcosB?sinAcosB


sinAsinB?sinAcosB?2sinCcosB?2cosCsinB

sinC
?2
sin(A?B)?2sin(C?B)
,而
A?B? C?
?
,则
sinC?2sinA
,即
sinA
。另解1: 在
?ABC
中,由
cosA?2cosC2c?a
?
cosBb可得,
bcosA?2bcosC?2ccosB?acosB

b
2< br>?c
2
?a
2
a
2
?b
2
?c2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
? c
2
?b
2
???
2caa2c
由余弦定理可得,整理可得
c?2a
,由正弦定理可得
sinCc
??2
sinAa
。 另解2:利用教材习题结论解题,在
?ABC
中有结论
cosA?2cosC2c?a
?
a?bcosC?ccosB,b?ccosA?acosC,c?acosB?bcosA

cosBb
可得


bcosA?2bcosC?2ccosB ?acosB

bcosA?acosB?2ccosB?2bcosC
,则
c?2a

siCnc
??2
siAna
1
cosB?, b?2
4
由正弦定理可得。(Ⅱ)由
c?2a
及可得
4?c
2
?a
2
2?accos?B
2
4a?
2
1115
2
acsinB??1?2?1?cosB?
2
a?a?4,
24< br>,即
c?2
a

a?1
,,S
2
?
S?
15
4

1?2cos(B?C)?0
,4.(2011年安 徽高考16)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长,a=
3
,b=
2

求边BC上的高.

解:∵A+B+C=180°,所以B+C=A ,又
1?2cos(B?C)?0
,∴
1?2cos(180?A)?0
,即
1?2cosA?0

cosA?
1
ab
?
2,又0°sinAsinB

sinB?
bsinA2sin602
??
a2

3
2sin(45?30)
又∵
b?a
,所以B<A,B=45° ,C=75°,∴BC边上的高AD=AC·sinC=
2sin75?
?2(sin45co s30?cos45sin30)
?2(
23213?1
???)?
2222 2
.
5.(2011年全国卷高考18)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c .己知
asinA?csinC?2asinC?bsinB
.
0
A?75,b?2,
求a,c
. (Ⅰ)求B;(Ⅱ)若
222
【解析】(I)由正弦定理得
a?c?2ac?b
…由余弦定理得
b?a?c ?2accosB
.故
222
cosB?
2
2
,因此
B?45

sinA?sin(30?45)
(II)
?sin30co s45?cos30sin45
?
2?6
4


a ?b?
sinA2?6
??1?3
c?b?
sinC
?2?
sin60
?6
sinB
2
sinBsin45
.…………………… ………
6.(2011年安徽高考17)在
ABC
中,角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
且满足
csinA?acosC.

3 sinA?cos(B?)
C
4
的最大值,并求取得最大值时角
A,B
的大小. (I)求角的大小;(II)求
解析:(I)由正弦定理得
?
sinCs inA?sinAcosC.
因为
0?A?
?
,
所以
siA ?n从而0.C?
?
s又iCn所以c?Cos
?
3
?
.则 ?Ccos?C0,
B?
t
?A
a
.
n
4
4
(II)由(I)知于是
1,
3sinA?cos(B?)?3sinA?cos (
?
?A)
4
?3sinA?cosA?2sin(A?).
6?
3
???
11
????
0?A?,??A??,从而当A?? ,即A?时,
2sin(A?)
6
取最大值2.
46612623

?
?
5
?
?
3sinA?cos(B?)A?,B?.< br>312
4
综上所述,的最大值为2,此时
1
?
f(x)?2 sin(x?)
36

x?
R
. 7.(2011年广东高考16) 已知函数
f(
(1)求
?
?
?
5
?
?,
?
?
?
0,
?
f(3
?
?
?
)?
10
f(3
?
?2
?
)?
6
)
?
2
?

4
的值;(2)设
213

5
,求
cos(
?
?
?
)
的值.
f(
16.解:(1)
5
?
15
???
?
1??
10
)?2sin(??)?2sin?2f(3
?
?)?2sin [(3
?
?)?]?2sin
?
?
43464232613
,(2)
sin
?
?

?
?
?
5
1
??
6
3
?
,
?
?
?
0,?
cos
?
?
f(3
?
?2
?
)?2 sin[(3
?
?2
?
)?]?2sin(
?
?)?
?
2
?

13

5
,∵
3625,即
cos
?
?1?sin
2
?
?

12
13
sin
?
?1?cos
2
?
?

4
5

cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?
8. (2011年广东高考18)已知函数
1235416
????
13513565
f(x)?sin(x?
7
?
3
?
)?cos(x? )
44
,x
?
R.
cos(
?
?
?)?
4
4
?
cos(
?
?
?
)??< br>0?
?
?
?
?
5

5

2
.求证:(Ⅰ)求
f(x)
的最小正周期和最小值;(Ⅱ)已知
[f(
?
)]
2
?2?0

(Ⅰ)解析:
f(x)?sinx cos
?
7
?
7
?
3
?
3
??2sin(x?)
?cosxsin?cosxcos?sinxsin
4
,∴
f(x)

4444
?2sinx?2cosx


最小 正周期
T?2
?
,最小值
f(x)
min
??2
. Ⅱ)证明:由已知得
两式相加得
2cos
?
cos
?
?0< br>,∵

cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?
44
cos
?
cos
?
?s in
?
sin
?
??
5

5

0 ?
?
?
?
?
?
2
,∴
cos
?< br>?0
,则
?
?
?
2

[f(
?< br>)]
2
?2?4sin
2
?
4
?2?0

9.(2011年江苏高考17)在△ABC中,角A、B、C所对应的边为
a,b,c

sin(A?
(1)若
?
6
)?2cosA,
1
cosA?,b?3c
3
求A的值;(2)若,求
sinC
的值. sin(A?
?
)?2cosA,?sinA?3cosA,?A
?
解析 :(1)
6
?
3

cosA?
1
,b?3c,?a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA?8c
2
,a?22c
(2)
3

22c
?
c
sinA? 1?cos
2
A?
22
1
由正弦定理得:
sinAsinC
,而
3
,
?sinC?
3
。(也可以先推出直角三角形)< br>


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本文更新与2020-09-20 09:52,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/405382.html

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