高中数学2.3幂函数人教A版必修1

2.3幕函数
提升
[A
1.在下列函数中，定义域和值域不同的是
1
A.
y
=
x
3
5
C. y
=
x
3
解析：选D.A, C的定义域和值域都是

基础达标］
1

B.
y
=
x2
2

D.
y
=
R; B的定义域和值域都是
x3
［0 ,+^） D的定义域


是R,值域是［0 ,+^）.故选D.

下列函数中，既是偶函数，又在区间
A.
y
=
x


-
2
m
）
B. y
=
x
-
1
（0，+）上单调递减的是
（

1
2

C.
y
=
x
D. y
=
x
3



解析：选A.所给选项都是幕函数，其中
y
=
x
_
2
和
y
=
x
2
是偶函数，
y
=
x
_
1
和


函数，故排除选项 B, D,又
y
=
x
2
在区间
（
0,+^）上单调递增，不合题意,

m

+
）上单调递减，符合题意，故选 A.

3.已知 m= (
a
2
+ 3)
-
1
(
a
M
0)，
n
= 3
-
1
，贝U ( )


A.
n
>
n
























1
y
=
x
3不是偶
y
=
x
一
2
在区间
（
0 ,
B.
n
<
n
C. m= n
D. m
与
n
的大小不确定
解析：选B.设
f
（
x
） =
x
-
1
，已知
a
^0,
则
a
2
+ 3>3>0，
f
（
x
）在（0，+^）上是减函数，
则
f
（
a
+ 3）<
f
（3），
2
一
1
一
1
即
（
a
+ 3） <3 ，
故
n
r
n
.
1
4. （2019 ?成都高一检测
）
已知
a
= 1.22，
b
= 0.9
A.
c
<
b
<
a
1
2
，
c
= 1.1，则(
B. c
<
a
<
b
D. a
<
c
<
b
C. b
<
a
<
c
-1 -

解析：选A.
b
= 0.9


上单
调递
增，
且
1.2>曾>1.1
1
所以1.2 2>
5 .已知当
x
? (1 ,+^)时，函数
y
=
x

的图象恒在直线
y
=
x
的下方，贝U
a
的取值范围
是
()
A
.
0<
a
<1
C.
a
<1
解析：选C.由幕函数的图象特征知
D.
a
>1
B.
a
<0
a
<1.
6 .已知幕函数
f
(
x
) =
x

的部分对应值如表:
x
1
1
2
f
(
x
)
1
亚

2
则____________

f
(
x
)的单调递增区间是
所以2
a =_
2
2
，即
a
1
2,
解析：因为
f
2冷，
1
所以
f
(
x
) =
x
2的单调递增区间是［0 ,+^).
答案：［0 ,+^)
7 .已知2.4

> 2.5

，贝
U a
的取值范围是 ____________ .
解析：因为 0
V
2.4
V
2.5，而 2.4
a
> 2.5

,
所以
y
=
x

在(0,+^)上为减函数.故
a
<0.
答案：
a V
0
8.已知幕函数
f
(
x
) =
x
乳
g
(me Z)的图象关于
y
轴对称，并且
f
(
x
) 在第一象限内是单调 递减函数，
3
则仆 _____________________ .
解析：因为幕函数
f
(
x
) =
x
启
2
心(水Z)的图象关于
y
轴对称，所以函数
f
(
x
)是偶函数, 所以
m
—
2
m-
3为偶数，所以
m
— 2
m
为奇数.又因为
f
(
x
)在第一象限内是单调递减函数，故 吊―2
m
— 3<0,解
得
m=
1.
答案：1
2
-2 -

9 .已知函数
y
= (
a
1 2
— 3
a
+ 2)
x
a

^
(a
为常数
)
，问：
+5
(1) 当
a
为何值时，此函数为幕函数？
(2) 当
a
为何值时，此函数为正比例函数？
(3) 当
a
为何值时，此函数为反比例函数？
解：(1)由题意知
a
— 3
a
+ 2 = 1，即
a
— 3
a
+ 1 = 0,
解得
a
=
— 5
a
+ 5 = 1,
(2) 由题意知

解得
a
= 4.
a
2
— 3
a
+ 2工 0,
[a
2
— 5
a
+ 5 = — 1,
(3) 由题意知

解得
a
= 3.
a
2
— 3
a
+ 2工 0,
|a
2
10. 已知幕函数
f
(
x
) = (2
m
i
— 6
m
+ 5)
x
m1
为偶函数.
(1) 求
f
(
x
)的解析式；
(2) 若函数
y
=
f
(
x
) — 2(
a
— 1)
x
+ 1在区间(2 , 3)上为单调函数，求实数
a
的取值范围.
解：(1)由
f
(
x
)为幕函数知 2
m
i
— 6
m
+ 5= 1，即
吊
一3
m
+ 2= 0,得
m
= 1 或
m
= 2.
当m= 1时，
f
(
x
) =
x
2
,符合题意；当m= 2时，
f
(
x
)=
x
3
,为奇函数，不符合题意，舍去.所 以
f
(
x
) =
x
2
.
(2)由(1)得
y
=
f
(
x
) — 2(
a
— 1)
x
+ 1 =
x
— 2(
a
— 1)
x
+ 1,即函数的对称轴为
x
=
a
— 1，由
题意知函数在(2 , 3)上为单调函数，所以对称轴
a
— 1
W2
或
a
—1>3, 即卩
a
<3
或
a
>4.故实 数
a
的取
值范围是
(
一
R,
3]
U
[4 ,+^).
[B 能力提升]
11.
第一象限内的图象，则
(

A.
—
1
v
n
v
0
v
m
K
1
B.
n
v —
1
,
0
v
m
v
1
C.
—
1
v
n
v
0
,
mi> 1
如图是幕函数
y
=
x
m
与
y
=
x
n
在
)

1
2 —
—

2
12.
关系是
(

当 0<
x
<1 时，
f
(
x
) =
x
,
g
(
x
) =
x
2,
h
(
x
) =
x
的大小
)

B.
h
(
x
)<
f
(
x
)<
g
(
x
)
D.
f
(
x
)<
g
(
x
)<
h
(
x
)
A.
h
(
x
)<
g
(
x
)<
f
(
x
)
C.
g
(
x
)<
h
(
x
)<
f
(
x
)
1
解析：选D.特值法.取
x
= 2代入排除A、B、C,可知D正确.故选D.
-3 -

D.
n
v —
1
,
m
>
1
解析：选B.在(0 ,1)内取
x
o
,作直线
x
=
x
o
,与各图象有交点，则“点低指数大”.
0
v
m
v
1
,
n
v —
1.


如图，
-4 -

1 1
—2
13.
1
解：
(
a
+ 1)
2
— 2
<(3 — 2
a
) ，求
a
的取值范围.
1
，函数
y
= x2在［0 ,+^)上是增函数,
若
(
a
+1)
<(3 — 2

a
)
a
+ 1>0,
所以 3 — 2
a
>0,
a
+ 1>3— 2
a
,
2 3
解得3<
a
<2,
故
a
的取值范围为
)
3, | .
14.
知幕函数
f
(
x
)
=
(
m
—
1)
2
x
m
—
4m+ 2
在(0
,+s
)上单调递增，函数
—
k
.
(1) 求实数
m
的值；
(2) 当
x
? (1 , 2］时，记
f
(
x
),
g
(
x
)的值域分别为集合
A
,
B,
若
A
U
值范围.
解：
(
1)依题意得
(
m
—1)
2
= 1.
所以m= 0或m= 2.
当
m
= 2时，
f
(
x
) =
x
—
2
在(0，+
m
)上单调递减，与题设矛盾，舍去.
所以
m
= 0.
(2)由(1)可知
f
(
x
) =
x
2
，当
x
? (1 , 2］时，函数
f
(
x
)和
g
(
x
)均单调递增.
所以集合
A
= (1 , 4］ ,
B
= (2 —
k
, 4—
k
］.
因为
A
U
B
=
A
,所以
B
?
A
所以<
—k>
1
，
4
—
k
w
4.
所以0
w
k
w
1.
所以实数
k
的取值范围是［0 , 1］.

(选做题)已
g
(
x
)
=
2
x

=
A,
求实数
k
的取
-5 -
B