(完整)高一数学函数经典题目及答案

1函数解析式的特殊求法
例1 已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x?1, 求f(x)的解析式
）?x?2x
,求f(x) 例2 若
f(x?1
例3 已知
f(x?1)?x?2x
，求
f(x?1)

例4已知：函数< br>y?x
2
?x与y?g(x)
的图象关于点
(?2,3)
对称 ，求
g(x)
的解析式
例5 已知f(x)满足
2f(x)?f(
1
)?3x
，求
f(x)

x
2函数值域的特殊求法
例1.
例2.
2
y?x?2x?5,x?[?1,2]
的值域。 求函数
1?x?x
2
y?
1?x
2
求函数的值域。
例3求函数y=(x+1)(x+2)的值域
e
x
?1
y?
x
例4. 求函数
e?1
的值域。

例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
①
y
1
?
(x?3)(x?5)
x?3
y
2
?x?5

②
y
1
?x?1x?1

y
2
?(x?1)(x?1)

③
f
1
(x)?(2x?5)
2

f
2
(x)?2x?5

2若函数
f(x)< br>的图象经过
(0,?1)
，那么
f(x?4)
的反函数图象经过点
(A)
(4,?1)
(B)
(?1,?4)
(C)
(?4,?1)
(D)
(1,?4)


例3
已知函数
f(x)
对任意的
a、b?R
满足：
f(a?b) ?f(a)?f(b)?6,

当a?0时,f(a)?6
；
f(?2)?12
。
（1）求：
f(2)
的值；
（2）求证：
f(x)
是
R
上的减函数；
（3）若
f(k?2)?f(2k)?3
，求实数
k
的取值范围。
例4已知
A?{(x,y)|x?n,y?an?b,n?
Z}，
B?{( x,y)|x?m,y?3m
2
?15,m?
Z}，
C?{(x,y)|x< br>2
?y
2
≤
14}
，问是否存在实数
a,b
，使得(1)
AIB??
，(2)
(a,b)?C
同时成立.
证明题
1已知二次函数
f(x)?ax?bx?c
对于
x
1
、
x
2
?
R，且
x
1
＜
x< br>2
时
2
1
f(x
1
)?f(x
2
)
，求证：方程
f(x)
＝
[f(x
1
)?f(x
2
)]
有不等实根，且必有一根属于区间
2
（
x
1
，
x
2
）.

答案
1解：设f(x)=kx+b则 k(kx+b)+b=4x?1
?
?
k< br>2
?4
?
k??2
?
k?2
1
或
?
则
?

?
?
b??
?
b?1< br>?
(k?1)b??1
?
3
?
∴
f(x)?2x?< br>或
f(x)??2x?1

2
换元法：
已知复合函数
f[g(x)]
的表达式时，还可以用换元法求
f(x)
的解析式。
与配凑法 一样，要注意所换元的定义域的变化。
解法一（换元法）：令
1
3
t=
x?1
则
x=t
2
?1, t≥1代入原式有

f(t)?(t?1)
2
?2(t?1)?t
2
?1

∴
f(x)?x
2
?1
（x≥1）
解法二（定义法）：
x?2x?(x?1)
2
?1

∴
f(x?1)?(x?1)
2
?1

x?1
≥1
∴
f(x)?x
2
?1
(x≥1)
4
代入法
：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
解：设
M(x,y)
为
y?g(x)
上任一点，且
M
?< br>(x
?
,y
?
)
为
M(x,y)
关于点(?2,3)
的对称点
?
x
?
?x
?
2??2
?
y
?
?y
?
x
?
??x?4
?
?3
?
2
?
则，解得：
?
y
?
?6?y
，
?
点
M
?
(x
?
,y
?
)
在
y?g(x)
上
?y
?
?x
?
2
?x
?

?
x
?
??x?4
?
把
?
y
?< br>?6?y
代入得：
2
y??x?7x?6
整理得

2
?
g(x)??x?7x?6

例5
构造方程组法
：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构
造方程组，通过解方程组求得函数 解析式。
∵已知
2f(x)?
1
f()?3x

x
①，
f(x)?
3

x
将①中x换成得
2f(
1
)?
x
①×2-②得
3f(x)? 6x?
3

x
1
x
②，
x
∴
f(x)?2x?
1
.
值域求法
例1 解：将函数配方得：
y?(x?1)?4

∵
x?[?1,2]

由二次函数的性质可知：当x=1时，
y
min
?4
，当
x ??1
时，
y
max
?8

故函数的值域是：[4，8]
2. 判别式法例2. 解：原函数化为关于x的一元二次方程
(y?1)x
2
?(y?1)x?0

（1）当
y?1
时，
x?R

??(?1)
2
?4(y?1)(y?1)?0

13
?y?
2
解得：
2
?
13
?
?
13
?
1?
?
,
?
?
2
,< br>2
?
22
（2）当y=1时，
x?0
，而
??
故函数的值域为
??

2

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例3求函数y=(x+1)(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)(x+2)的反函数为:x=(1－2y)（y－1）,其定义域为y ≠1的实数,故函
数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数 的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆
向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y ∣y<－1或y>1｝
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主
来确定函数的值域。 y?1
e
x
?1
e
x
?
y?
x
y?1
例4. 求函数
e?1
的值域。解：由原函数式可得：
∵e
x
?0

y?1
?0
y?1
∴
解得：
?1?y?1

故所求函数的值域为
(?1,1)

例1
（定义域不同）（定义域不同） （定义域、值域都不同）
例3
解: （1）
f(a?b)?f(a)?f(b)?6,
令
a?b?0
，得
f(0)?6

令
a?2,b??2
，得
f(2)?0

（2）证明：设
x
1
,x
2
是
R
上的任意 两个实数，且
x
1
?x
2
，即
x
2
?x< br>1
?0
，
从而有
f(x
2
?x
1
)?6
，
则
f(x
2
)?f(x
1
)?f[(x
2
?x
1
)?x
1
]?f(x
1
)?f(x
2
?x
1
)?f(x
1
)?6?f(x
1
)

?f(x
2
?x
1
)?6?0
∴
f(x
2
)?f(x
1
)
即
f(x)
是
R
上的减 函数
（3）
f(a?b)?f(a)?f(b)?6,
令
a?1,b?1
，得
f(1)?3

∵
f(k?2)?f(2k)?3
∴
f(k?2)?3?f(2k)
，又
f(1)?3
，
f(2)?0

即有
f(k?2)?f(1)?f(2k)?f(2)

∴
f(k?2)?f(1)?6?f(2k)?f(2)?6

∴
f[(k?2)?1]?f[(2k)?2]

又∵
f(x)
是
R
上的减函数 ∴
(k?2)?1?(2k)?2
即
k??3

(A)
∴实数
k
的取值范围是
k??3

例4分析 ：假设存在
a,b
使得(1)成立，得到
a
与
b
的关系后与
x?y
≤
14
联立，然后
讨论联立的不等式组.
解：假设 存在实数
a,b
，使得
AIB??
，
(a,b)?C
同时成 立，则集合
22
A?{(x,y)|x?n,y?an?b,n?
Z}与集合
B?{(x,y)|x?m,y?3m
2
?15,m?
Z}分别
2
对 应集合
A
1
?{(x,y)|y?ax?b,x?
Z}与
B
1
?{(x,y)|y?3x?15,x?
Z}，
A
1
与
B
1
对应

的直线
y ?ax?b
与抛物线
y?3x?15
至少有一个公共点，所以方程组
?
解，即方程
3x?15?ax?b
必有解.
2
因此
??a?12 (15?b)
≥
0??a
≤
12b?180
，①
2
2
?
y?ax?b
?
y?3x?15
2
有
2又∵
a?b
≤
14
②
由①②相加，
b
得≤
12b?36
，即
(b?6)
≤
0
.∴
b? 6
.
将
b?6
代入①得
a
≥
108
，
2
再将
b?6
代入②得
a
≤
108
，因此
a??63
，
2
2
2
22
2
将
a??63
，
b?6
代入方程
3x?15?ax?b
得
3x ?63x?9?0
，
2
解得
x??3?
Z.
所以不存在实数
a,b
，使得(1)，(2)同时成立.
证明题1
1解：设F（
x
）＝
f(x)
－
[f(x
1
)? f(x
2
)]
，
则方程
f(x)
＝
[f(x
1
)?f(x
2
)]
①
与方程 F（
x
）＝0 ② 等价
∵F （
x
1
）＝
f(x
1
)
－
[f(x
1
)?f(x
2
)]
＝
[f(x
1
)?f(x< br>2
)]

F（
x
2
）＝
f(x
2< br>)
－
[f(x
1
)?f(x
2
)]
＝
[?f(x
1
)?f(x
2
)]

2
∴ F（< br>x
1
）·F（
x
2
）＝－
[f(x
1
)?f(x
2
)]
，又
f(x
1
)?f(x
2< br>)

1
2
1
2
1
2
1
2< br>1
2
1
2
1
4
∴F（
x
1
）·F（
x
2
）＜0
故方程②必有一根在区间（
x
1，
x
2
）内.由于抛物线y＝F（
x
）在
x
轴 上、下方均有分布，
所以此抛物线与
x
轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等 的实根，从而方程①有两
个不等的实根，且必有一根属于区间（
x
1
，
x
2
）.
点评：本题由于方程是
f(x)
＝
[f(x< br>1
)?f(x
2
)]
，其中因为有
f(x)
表达式， 所以解题中
有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明
f(x)
的图像与
x
轴相交于两个不
同的点，从而证题中着眼于证
f(x
1
) f(x
2
)
＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F
1
2

（
x
）＝
f(x)
－
[f(x
1
)?f(x2
)]
的图像与
x
轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.













1
2

富不贵只能是土豪，你可以一夜暴富，但是贵气却需要三代以上的培养。孔子说“富而不骄， 莫若富而好礼。” 如今我们不缺

土豪，但是我们缺少贵族。
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