高一数学《函数奇偶性》教案

第三节 函数奇偶性
（高一秋季班组第五次课10.05）


一．教学目标
1.了解奇偶函数的概念，会判断函数奇偶性；
2.奇偶性的应用
3.奇偶性与单调性综合
二．教学内容
1.偶函数： 一般地，如果对于函数
f(x)
的定义域内任意一个
x
，都有
f(? x)?f(x)
，那么函数
f(x)
就
叫做偶函数。
奇函数：一般 地，如果对于函数
f(x)
的定义域内任意一个
x
，都有
f(?x) ??f(x)
，那么函数
f(x)
就叫
做奇函数。
奇偶性：如果函 数
f(x)
是奇函数或偶函数，那么就说明函数
f(x)
具有奇偶性。 正确理解函数奇偶性的定义：定义是判断或讨论函数奇偶性的依据，由定义知，若
x
是定义 域中的一个数
值，那么-
x
也必然在定义域中，因此，函数
y?f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是：定义
域在数轴上所示的区间关于原点对称。换言之，所 给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数必不具
有奇偶性。
无奇偶性函数是非奇非偶函 数；若一个函数同时满足奇函数与偶函数的性质，则既是奇函数，又是偶函数。
两个奇偶函数四则运算的性质：
①两个奇函数的和仍为奇函数；②两个偶函数的和仍为偶函数；③两个奇函数的积是偶函数； ④两个偶
函数的积是偶函数； ⑤一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。
例1.判别下列函数的奇偶性：
f(x)＝|x＋1|+|x－1| f(x)＝
思考：f(x)=0的奇偶性？
练习1.判断下列函数的奇偶性．
3
x
2
f(x)＝x＋
1
x
f(x)＝ f(x)＝x
2
,x∈[-2,3]
2
x
1?x

(1)f(x)＝x
2
－|x|＋1，x∈[－1,4]；(2)f(x)＝； |x＋2|－2
1－x
2
(3)f(x)＝(x－1)
1＋x
?
?
－x
2
＋x ?x>0?，
； (4)f(x)＝
?

2
1－x
?
?
x＋x ?x<0?.

2．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图像必过点( C )
1
A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a)) C．(－a，－f(a)) D．(a，f())
a
解析 ∵f(－a)＝－f(a)，即当x＝－a时，函数值y＝－f(a)，∴必过点(－a，－f(a))．
3．已知f(x)为奇函数，则f(x)－x为( A )
A．奇函数 B．偶函数 C．既不是奇函数又不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
解析 令g(x)＝f(x)－x，g(－x)＝f(－x)＋x＝－f(x)＋x＝－g(x)．
4．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( A )
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
解析 由f(x)是偶函数，可得f(－x)＝f(x)．由g(x)是奇函数，可得g(－x)＝－g(x)．
由|g(x)|为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|为偶函数．

5.设f(x)＝ax＋bx＋5，已知f(－7)＝－17,求f(7)的值。


6.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)－g(x)＝
1
，求f( x)、g(x)。
x?1
7
7．设f(x)是偶函数，g(x)为奇函数，又f(x )＋g(x)＝，则f(x)＝________，g(x)＝________.
x－1
答案 ，
x
2
－1x
2
－1
11
1x
1
解析 ∵f(x)＋g(x)＝， ①∴f(－x)＋g(－x)＝.又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(x)－
x－1－x－1

g(x)＝. ②①＋②，得f(x)＝
2
，①－②，得g(x)＝
2

－x－1x －1x－1.
8.已知函数f(x)，对任意实数x、y，都有f(x+y)＝f(x)＋f(y)，试 判别f(x)的奇偶性。




9.已知f(x)是奇函数，且 在[3，7]是增函数且最大值为4，那么f(x)在[-7，-3]上是 函数，且最 值
是 。



10.已知函数f(x)=ax
2
+bx+3a +b为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求函数值域。
11.设函数
f(x)?
11x
(x?1)(x?a)
为奇函数，则
a?
．
x< br>12．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x) ＝x，则f(7.5)＝________.
答案 －0.5
13．设f(x)是定义在( －∞，＋∞)上的奇函数，且x>0时，f(x)＝x
2
＋1，则f(－2)＝_______ _.
答案 －5解析 由f(x)在(－∞，＋∞)上是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即 f(－2)＝－f(2)，而f(2)＝
2
2
＋1＝5.∴f(－2)＝－5.
2.奇函数、偶函数的图像的性质：
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点 为对称中心的对称图形（奇函数的图像不一定过
原点）；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称 中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。
由于奇函数的图像关于原点对称，那么我们可以得出结论 ：如果奇函数
f(x)
的定义域为R时，那么必有
f(0)?0
。
如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像
是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数。f(x)＝f(|x|)

例2.
y?f(x)
是偶函数，图像与
x
轴有四个交点，则方程f(x)?0
所有实根之和是（）
（A）4 （B）2 （C）1 （D）0
练习1.若函数
f(x)
是定义 在R上的偶函数，在
(??,0]
上是减函数，且
f(2)?0
，则使得f(x)?0
的x
的取值范围是（ ）
（A）
(??,2)
（B）
(2,??)
（C）
(??,?2)?(2,??)
（D）（－2，2）
??)
上为 增函数，且
f(1)?0
，则不等式2.设奇函数
f(x)
在
(0，
，0)?(1，??)
（B）
(??，?1)?(0，1)
（A）< br>(?1
[来源:Zxxk
f(x)?f(?x)
?0
的解集为（ ）
x
?1)?(1，??)
（C）
(??，，0)?(0，1)
（D）
(?1
3.设
f(x)
是定义在R上的奇函数，且
y?f(x )
的图象关于直线
x?
则
f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5 )
=________________．
1
对称，
2
4.已知 定义域为R的函数
f(x)
在
(8,??)
上为减函数，且函数
y? f(x?8)
为偶函数，则（ ）
（A）
f(6)?f(7)
（B）
f(6)?f(9)
（C）
f(7)?f(9)
（D）
f(7)?f(10)

5.下面四个结论：①偶函数的图像一定与y轴相交； ②奇函数的图像一定通过原点；③偶函数的图像关于
y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是 f(x)＝0(x∈R)．其中正确命题的个数是( a )
A．1 B．2 C．3 D．4
3.函数的奇偶性与单调性之间的关系：
一般地，若
f(x)
为奇函数，则
f(x)
在
[a,b]
和
[ ?b,?a]
上具有相同的单调性；若
f(x)
为偶函数，则
f(x)
在
[a,b]
和
[?b,?a]
上具有相反的单调性。
若奇函数 f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上增函数，且有最小值-M .
例3.定义在
(?1,1)
上的奇函数
f(x)
在整个定义域上是减 函数，若
f
(1
?a
)
?f
(1
?a
2< br>)
?
0
，求实数
a
的取值
范围。


练习1．定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－ m)1
答案 m∈[－1，)
2

解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(1－m)1
∴|1－m|>|m|，两边平方，得m<，又f(x)定义域为[－2,2]，
2
?
1
?
－2≤1－m≤2，
?
∴解之得－1≤m≤2，综 上得m∈[－1，)
．

2
－2≤m≤2，
?
?
2 ,设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求 实数m的取值范围．
【解析】 由f(m)＋f(m－1)>0，得f(m)>－f(m－1)，即f(m)>f(1－m)．
又∵f (x)在[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴f(x)在[－2,2]上为减函数．

?
?
∴
?
－2≤1－m≤2，
?
?
m<1－m，
－2≤m≤2，

?
?
－1≤m≤3，解得
?
1
?
?
m<
2
.
－2≤m≤2 ，

1
∴－1≤m<.
2
3.设f(x)是R上的偶函数，且在( 0，＋∞)上是减函数，若x
1
<0，且x
1
＋x
2
>0， 则( A )
A．f(x
1
)>f(－x
2
) B．f(－x
1
)＝f(－x
2
) C．f(－x
1
)2
) D．f(－x
1
)与f(x
2
)大小不定
4..若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( c )
A．f(－1)C．f(2)5．若函数y＝f(x)，x∈R是奇函数，且f(1)A．f(－1)f(－2) C．f(－1)＝f(－2) D．不确定
6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1)．则下列各式中一定成立的是( A )
A．f(－1)f(2) D．f(2)>f(0)
解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－3 )＝f(3)，f(－1)＝f(1)，又f(3)>f(1)，∴f(－3)>f(－1)，f(3)>f(－ 1)都成立．
7．设f(x)为定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增 函数，则f(－2)，f(－π)，f(3)则大
小顺序是( a )
A．f(－π)>f( 3)>f(－2)B．f(－π)>f(－2)>f(3)C．f(－π)解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f( π)．又f(x)在[0，＋∞)上为增函数，∴f(2)

f(－π)，∴f(－2)8．若奇函数f(x)当1≤x≤4时 的关系式是f(x)＝x
2
－4x＋5，则当－4≤x≤－1时，f(x)的最大值是( D )
A．5 B．－5 C．－2 D．－1
解析 当－4≤x≤－1时，1≤－x≤4，∵1≤x≤4时，f(x)＝x
2
－4x＋5.
∴f(－x)＝x
2
＋4x＋5，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－x
2
－4x－5＝－(x＋2)
2
－1, 当x＝－2时，取最大值－1.
9．若奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6 ]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)
的值为________.答案 －15
10．若函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，则满足f(π)答案 (－π，π)
解析 若a≥0，f(x)在[0，＋∞)上是减函数，且f(π)若a<0，∵f(π)＝f(－π), 则由f(x)在[0，＋∞)上是减函数，得知f(x)在(－∞，0]上是增函数．
由于f(－π)－π，即－π