高中数学 含绝对值的函数图象的画法及其应用素材

含绝对值的函数图象的画法及其应用

一、三点作图法
三点作图法是画函数
y?k|ax?b|?c(ak?0)
的图象的一种简捷方法（该函数图形 形
状似“V”，故称V型图）。
步骤是：①先画出V型图顶点
?
?
?
?
b
?
，c
?
；
a
?
②在顶点两侧各找出一点；
③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线 ，就得到函数
y?k|ax?b|?c(ak?0)
的
图象。
例1. 作出下列各函数的图象。
（1）
y?|2x?1|?1
；（2）
y?1?|2x?1|
。
解：（1）顶点
?
，
，（1，0）。其图象如图1所示。
?1?
，两点（0，0）
?
2
?
?
1
?

图1
（2）顶点
?
?
?
?
1
?
，（0，0）。其图象如图2所示。
，1
?
，两点（－1，0）
2
?

图2
注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线
x??

二、翻转作图法
翻转作图法是画函数
y?|f(x)|
的图象的一种简捷方法。
步骤是：① 先作出
y?f(x)
的图象；②若
y?f(x)
的图象不位于x轴下方，则函 数
③若函数
y?f(x)
的图象有位于x轴下方的，
y?f(x)
的 图象就是函数
y?|f(x)|
的图象；
则可把x轴下方的图象绕x轴翻转180°到 x轴上方，就得到了函数
y?|f(x)|
的图象。
例2. 作出下列各函数的图象。
（1）
y?||x|?1|
；（2）
y?|x?2 x?3|
；（3）
y?|lg(x?3)|
。
解：（1）先作出
y ?|x|?1
的图象，如图3，把图3中x轴下方的图象翻上去，得到图
4。图4就是要画的函 数图象。
2
b
a
对称。

图3 图4
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1

（2）先作出
y?x
2
?2x?3
的图象 ，如图5。把图5中x轴下方的图象翻上去，得到
图6。图6就是要画的函数图象。

图5 图6
（3）先作出
y?lg(x?3)
的图象，如图7。把图7中x轴下方的图象翻 上去，得到图
8。图8就是要画的函数图象。

图6 图7

三、分段函数作图法
分段函 数作图法是把原函数等价转化为分段函数后再作图，这种方法是画含有绝对值
的函数的图象的有效方法。
例3. 作出下列函数的图象。
（1）
y?x
2
?2|x|?1< br>；（2）
y?|x?1|?|x?1|
；（3）
y?|x
2
? 2x?3|
。
2
?
?
x?2x?1(x?0)
解：（1）
y?x?2|x|?1?
?

2
?
?
x?2x?1 (x?0)
2
图9就是所要画的函数图象。
?
?2x
?
（ 2）
y?|x?1|?|x?1|?
?
2
?
2x
?
(x??1)
(?1?x?1)

(x?1)
图10就是所要画的函数图象。
（3）
y?|x?2x?3|

22
?
?
x?2x?3(x?2x?3?0)

?
?

22
?
?
?x?2x?3(x?2x?3? 0)
2
?
?
x?2x?3(x??1或x?3)

?
?

2
?
?
?x?2x?3(?1?x?3)< br>2
图11就是所要画的函数图象。

图9 图10 图11
注： 分段函数作图法是画含绝对值函数的图象的常规之法。三点作图法、翻转作图法
虽然简便，但要注意适应 的题型，第（3）小题也可用翻转作图法，有兴趣的同学不妨试一
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2

试。

四、应用
把数化为形是“数形结合”思 想。利用图形的直观性化难为易，有事半功倍之效，简
洁明快之感。
1. 求函数值域。
例4. 求函数
y?|x?1|?|x?1|
的值域。
解：由图10知函数的值域为
[2，??)
。

2. 求函数的单调区间。
例5. 求函数
y?|x
2
?2x?3|
的单调递增区间。
解：由图6知函数单调递增区间为［－1，1］
?
[3，??)
。

3. 求方程解的个数。
例6. 求方程
x
2
?2|x|?1?|lg(x?3)|
解的个数。
解： 方程
x
2
?2|x|?1?|lg(x?3)|
解的个数就是函数
y ?x
2
?2|x|?1
的图象与函
数
y?|lg(x?3)|
的图象在同一坐标系中交点的个数。由图12知两个函数图象有5个交点，
所以方程
x
2
?2|x|?1?|lg(x?3)|
有5个解。

图12
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3