高中数学求函数值域解题方法大全

高中数学求函数值域解题方法大全

一、观察法
：
从自变量
x
的范围出发，推出
y?f(x)
的取值范围。

【例1】
求函数
y?x?1
的值域。
【解析】∵
x?0
，∴
x?1?1
， ∴函数
y?x?1
的值域为
[1,??)
。
y?
1
x
的值域。 【例2】求函数
1
?0
(?? ,0)?(0,??)
x?0
x
【解析】∵

∴

显然函数的值域是：

【例3】已知函数
y?
?
x?1?
?1
，
x?
?
?1,0,1,2
?
，求函数 的值域。
2
【解析】因为
x?
?
?1,0,1,2
?，而
f
?
?1
?
?f
?
3
?
?3
，
f
?
0
?
?f
?
2
??0
，
f
?
1
?
??1
所
以：
y?
?
?1,0,3
?

注意：求函数的值域时，不能忽视定义域 ，如果该题的定义域为
x?R
，则函数的值域
为
?
y|y??1?
。

二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如
F(x)?af
2
(x)?bf(x)?c
的函数的值域问题，均可使用配方法。
【例1】 求函数
y?x?2x?5,x?[?1,2]
的值域。
【解析】 将函数配方得：
时，，当时，
，求函数
∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]
2
故函数的值域是：[4，8]
的最值。 【变式】已知< br>【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次
函数。将二次函数配方得，其对称轴方程， 顶点坐标
第 1 页 共 25 页

，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不 在区间内，如图2所示。函
数的最小值为，最大值为。
图2
【例2】 若函数< br>f(x)?x?2x?2,当x?[t,t?1]
时的最小值为
g(t)
，（1 ）求函数
g(t)

（2）当
t?
[-3,-2]时，求g(t)的 最值。（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点
三分法）
【解析】(1)函数
开口向上。
，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象
2
图2
图1
① 如图1所示，若顶点横坐标在区间
取得最小值
②如图2所示，若顶点横坐标在区间
时， 函数取得最小值
③如图3所示，若顶点横坐标在区间
时，函数取得最小值
。
右侧时，有

，即。当
。
上时，有，即。当
左侧时，有，此时，当
图3
时，函数
综上讨论， g(t)=
f(x)
min
?
(t?1)
2
?1,t?1< br>?
?
?
1,0?t?1

?
t
2
?1t?0
?

t?(??,0]
时，
g(t)?t?1
为减函数
2
?< br>t
2
?1(t?0)
?
(2)
g(t)?
?
1(0?t?1)

?
t
2
?2t?2(t?1)
?
第 2 页 共 25 页

?
在
[?3,?2]
上，
g(t)?t?1
也为减函数
2
?

2
g(t)
min
?g(?2)?5
，
g(t)
max
?g(?3)?10

【例3】 已知
f (x)?x?2x?2
，当
x?[t，t?1](t?R)
时，求
f(x)< br>的最大值．
【解析】由已知可求对称轴为
x?1
．
?f(x)min
?f(t)?t
t
?
?
2
1
t?3，f (x)
max
?f(t?1)?t
2
?2
（1）当时，．
（2）当
t≤1≤t?1
，即
0≤t≤1
时，．
根据对称 性
，
若
t?t?11
?
即
22
0≤t≤
1
2
2
时，
f(x)
max
?f(t)?t?2t?3
．
t?t?111
??t≤1
f(x)
max
?f(t?1)? t
2
?2
222
若即时，．
（3）当
t?1?1
即
t?0
时，
f(x)
max
?f(t)?t
2
? 2t?3
．
综上，
f(x)
max
1
?
2
t?2,t?
?
?
2
?
?

?
t
2
?2t?3,t?
1
?
2
?
观察前两题的解法，为什么 最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种
情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难 观察：二次函数在闭区
间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个< br>二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数
的顶点都有可能取 到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能
是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个 端点，哪个端点距离对称轴远就在哪
个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨 论。根据这
个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。 对二次函数的区间最值结合函
数图象总结如下：
b1
?
f(m)，??(m ?n)(
如图1
)
?
?
2a2
时
f(x)
max
?
?
b1
?
f(n)，??(m?n)(
如图2)
?
2a2
?
当
第 3 页 共 25 页

< br>f(x)
min
b
?
f(n)，??n(
如图3
)< br>?
2a
?
bb
?
?
?
f(?)，m???n (
如图4
)

2a2a
?
b
?
f(m)， ??m(
如图5
)
?
2a
?


b
?
f(n)，??n(
如图6
)
?
2a
?bb
时
f(x)
max
?
?
?
f(?)，m? ??n(
如图7
)
2a2a
?
b
?
f(m)，?? m(
如图8
)
?
2a
?

当
f(x)min
b1
?
f(m)，??(m?n)(
如图9
)
?
?
2a2
?
?

b1
?
f(n)，??( m?n)(
如图10
)
?
2a2
?


【例4】 (1) 求
f(x)?x?2ax?1
在区间[-1,2]上的最大值。
(2) 求函数
y??x(x?a)
在
x?[?1,1]
上的最大值。
【解析】(1)二次函数的对称轴方程为
x??a
，
2

11
即
a??
时，
f(x)
max
?f(2)?4a?5< br>；
22
11
x
a
)?
x
?f(?1)?< br>。
2

a

2
综上所述： 当
?a?即
a??
时，
f(
m
22
当
?a?
第 4 页 共 25 页

f(x)
max
1
?
?2a ?2,a??
?
?
2
?
?
。
?
4a?5 ,a??
1
?
?2
a
2
a
2
aaaa(2)函数
y??(x?)?
图象的对称轴方程为
x?
，应分
? 1??1
，
??1
，
?1
24
2222
即
?2?a?2
，
a??2
和
a?2
这三种情形讨论，下列三图分别为
（1）
a??2
；由图可知
f(x)
max
?f(?1)< br>
（2）
?2?a
?2
；由图可知
f(x)
max< br>?f()

（3）
a?2
时；由图可知
f(x)
max
?f(1)

a
2

?
y
最大
?
?(a?1),a?? 2
?
f(?1),a??2
?
2
?
a
?
a
?
?
?
f(),?2?a?2
；即
y
最大
?
?
,?2?a?2

?
2
?
4
?
?
?
f(1),a?2
?
a?1,a?2
2
【例5】 已 知二次函数
f(x)?ax?(2a?1)x?1
在区间
?
?
数a的 值。
?
3
?
,2
?
上的最大值为3，求实
2??
【分析】这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分
a?0
与
a ?0
两大类五种情形讨
论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点 处取到，因此先
计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。具体解法为：
（1）令
f(?
2a?11
)?3
，得
a??
< br>2a2
1
?
3
?
,2
?
，故
?不合题意；
2
?
2
?
此时抛物线开口向下，对称轴方程为x??2
，且
?2?
?
?
（2）令
f(2)?3
，得
a?
1

2
此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴 较远，故
a?
1
符合题意；
2
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（3）若
f(?
32
)?3
，得
a??

23
此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故
a??
综上，
a?
2
符合题意。
3
12
或
a??
< br>23
解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数
的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、
顶点处取得， 不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，
使解题过程简洁、明了。
【变式】 已知函数
f(x)?ax?2ax?1
在区间
[?3,2]
上的最大值为4，求实数a的值。
【解析】
f(x)?a(x?1)?1?a,x?[?3,2]

（1）若
a?0,f(x)?1,
，不符合题意。
（2）若
a?0 ,
则
f(x)
max
?f(2)?8a?1

2
2
3

8
（3）若
a?0
时，则
f(x)
max
?f(?1)?1?a

由
1?a?4
，得
a??3

3
综上知
a?
或
a??3

8
x
2
?x
在区间
[m,n]
上的最小值是3
m
最大值是3n
，【例6】 已知函数
f(x)??
求
m
，
n
的
2
由
8a?1?4
，得
a?
值。
【解法1】讨论对称轴
①若
解得
②若
，则
?

中1与
m,
?
f(x)
max

?
f(x )
min
?f(m)?3m
m?n
,n
的位置关系。
2< br>?f(n)?3n
?
f(x)
max
?f(1)?3n
m?n
，无解
?1?n
，则
?
f(x)?f(m)?3m
2?
min
?
f(x)
max
?f(1)?3n
m?n< br>，则
?
，无解
2
?
f(x)
min
?f( n)?3m
③若
m?1?
?
f(x)
max
?f(m)?3 n
④若，则
?
，无解
f(x)?f(n)?3m
?
min
综上，
m??4,n?0

1111
【解法2】由
f(x) ??(x?1)
2
?
，知
3n?,n?,
，则
[m,n]? (??,1]
，
2226
)3n
?
f(x)
max
?f(n?
又∵在
[m,n]
上当
x
增大时
f(x)也增大所以
?
解得
)3m
?
f(x)
min
?f(m?
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m??4,n?0

评注：解法2利用闭区间上的最值不超 过整个定义域上的最值，缩小了
m
，
n
的取值范围，
避开了繁难的分 类讨论，解题过程简洁、明了。
【例7】 求函数
y?x?3?5?x
的值域. < br>22
y?x?3?5?x?2(x?3)(5?x)?2?21?(x?4)
【解法1】
22
y?2?21?(x?4)?[2,4]
显然
故函数的值域是：
【解法
y?[2,2]

3≤x≤5,
x?3?2sin
2
?
(
?
?[0,
2】显然
?
2
])?5?x?2cos
2
?
,
y?x?3?5?x? 2(sin
?
?cos
?
)?2sin(
?
?)?[2,2 ]

4

三、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数 法（分母
?
少，分子多），通过该方法可将原函数转化为为
y?k?f(x)
(
k为
常数)的形式此
类问题一般也可以利用反函数法。
x?2
【例1】 求函数
y?
的值域
x?1
【解析】利用恒等变形，得到：
y?1?
1
，容易观察知x≠-1,y≠1，得函数的值域为
y
x?1
∈(-∞,1)∪(1, +∞)
。注意到分数的分子、分母的结构特点，分离 出一个常数后，再通
过观察或配方等其他方法易得函数值域。
x
2
?x
【例2】 求函数
y?
2
的值域。 x?x?1
【解析】观察分子、分母中均含有
x
2
?x
项，可利 用部分分式法；则有
x
2
?xx
2
?x?1?11
y?2
??1?
不妨令：
1
2
3
x?x?1x
2< br>?x?1
(x?)?
24
131
?
3
f(x)?(x ?)
2
?,g(x)?(f(x)?0)
从而
f(x)?
?
,??
?
注意：在本题中应排
24f(x)
?
4
除
f(x)?0
，因为
f(x)
作为分母。所以
g(x)?
?
0,
?
?
3
?
?
1
故
y?
?< br>?,1
?

4
?
?
3
?
第 7 页 共 25 页

【变式】
求下列函数的值域：
(1)
y?
x?1
3x?2
x
2
?1
(2)
y?
2
.
x?1
1
答案：（１）值域
y?(?? ,
1
3
)?(
3
,??)
（２）值域
y ∈[-1,1]

四、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求 反
函数的定义域，得到原函数的值域。
1?2
x
【例1】
求函数
y?
的值域。
x
1?2
1?y1?y
1?2
x
x
x
2??0
，
2?0
【解析】由
y?
解得， ∵，∴
1?y1?y
1? 2
x
1?2
x
∴
?1?y?1
∴函数
y?
的值域为
y?(?1,1)
。
1?2
x
【例2】求函数
y?
3x?4
值域。
5 x?6
【解析】由原函数式可得：
故所求函数的值域为：
(??,)
则其反函 数为：，其定义域为：
3
5
3
(,?)

5
e
x
?1
【例3】 求函数
y?
x
的值域。
e?1
e
x
?1
解答：先证明
y?
x
有反函数，为此，设
x
1
?x
2
且
x
1
,x
2
?R
，
e?1
e
x
1
?1e
x
2
?1e
x
1
? e
x
2
y
1
?y
2
?
x
1
?
x
2
?2
x
1
?0
。
x
2
e?1e?1(e?1)(e?1)
所以
y
为减函数，存在反函数。可以求得 其反函数为：
y
?1
?x
?ln
1
1?x
。此函数 的定义域为
x?(?1,1)
，故原函数的值域为
y?(?1,1)
。
【例4】
求函数
y?
a?bx
(a?0,b?0,a?b,x?[ ?1,1])
的值域。

a?bx
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【解法1】-1≤x≤1 a-b≤a-bx≤a+b
2a2a2a

??
a?ba?bxa?b

2a2a 2aa?ba?b
，
?1?y??1???1??y?
a?ba?bxa?ba?ba ?b
【解法2】（反函数法）：
x?
a2a
?
,由-1≤x≤1bb(y?1)
得：
?1?x?
a2a
??1
，
bb( y?1)
a?ba?b

?y?
a?ba?b
五、
判别式法 ：把函数转化成关于
x
的二次方程
F(x,y)?0
；通过方程有实数根，< br>a
1
x
2
?b
1
x?c
1
判别式< br>??0
，从而求得原函数的值域，形如
y?
（
a
1
、
a
2
不同时
2
a
2
x?b
2
x? c
2
为零）的函数的值域，常用此方法求解。
（解析式中含有分式和根式。）
1?x?x
2
【例1】求函数
y?
的值域。
1?x
2
【解析】原函数化为关于x的一元二次方程
有
,由于x取一切实数，故
（1）当时， 解得：
（2）当y=1时，，而
故函数的值域为
【例2】求函数
y?x?x(2?x)
的值域。
【解析】两边平方整理得：
∵ ∴ 解得：
，得
（1）

但此时的函数的定义域由
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由，仅保证关 于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保
其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根 ，由 求出的范围可能比y的实
际范围大，故不能确定此函数的值域为
可以采取如下方法进一步 确定原函数的值域。
∵
。
代入方程（1） 解得：
即当时， 原函数的值域为：
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数 的定义
域，将扩大的部分剔除。
解法二：
y?x?x(2?x)?x?1?(x? 1)
2
，令
x?1?sin
??
?[?
??
,]< br>
22
y?1?sin
?
?cos
?
?1?2sin (
?
?
?
4
)

?
?
4
?
?
?
?
4
?
3
?

4
?
2
?
?sin(
?
?)?1

24
原函数的值域为：
2x
2
?ax?b
【例3】 已知函数
f(x)?
的值域为[1，3]，求
a,b
的值。
x2
?1
2x
2
?ax?b
?(y?2)x
2
? ax?y?b?0???a
2
?4(y?2)(y?b)?0
【解析】
y?
2
x?1
4y
2
?4(2?b)y?8b?a
2
? 0
。
2x
2
?ax?b
由于
f(x)?
的值域为 [1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y≤3}
x
2
?1
第 10 页 共 25 页

?
y
1
?y
2
?2?b ?1?3
?
a??2
?
2

?
?
?
?
8b?a
?3
?
b?2
?
y
1
y2
?
?4
【例4】求函数
y?
x?1
x
2?2x?2
的值域。
2
【解法1】先将此函数化成隐函数的形式得：
y x?(2y?1)x?2y?1?0
，(1)
这是一个关于
x
的一元二次方 程，原函数有定义，等价于此方程有解，即方程(1)的判别式
1
??(2y?1)
2
?4y(2y?1)?0
，解得：
?
1
2
?y?
2
。
1
故原函数的值域为：
y?[?
1
2
,
2
]
。
【解法2】当x≠-1时
y?
x?1
x? 2x?2
2
?
1
1
(x?1)?
x?1

由于 当x+1< 0时，
(x?1)?
1
??2
，即
y?[?
1
2
,0)

x?1
当x+1＞ 0 时，
(x?1)?
1
?2
，即
y?(0,
1
2]

x?1
1
考虑到x=-1时y=0 故原函数的值域为：
y?[?
1
2
,
2
]

【例5】已知函数
y?
mx?n
的最大值为4，最小值为 —1 ，则
m
= ，
n
=
x2
?1
【解析】
y?
mx?n
?y?x
2
?m x?n?y?0???m
2
?4y(y?n)?0

2
x?1
4y
2
?4ny?m
2
?0
………………
○
1。
2x
2
?ax?b
由于
f(x)?
的值域为[－1，4]， 故不等式
○
1的解集为{y|－1≤y≤4}
2
x?1
?
y
1
?y
2
?n?3
?
m??4
?
2
?
?
?
?
?m
m?3
??4
??
y
1
y
2
?
?4
m??4

n?3

【例6】求函数
y?
x?2
的值域。
x
2
?2x?3
第 11 页 共 25 页

【解析】
y?x?(y?1)x?3y?2?0

2
○
1y=0得x=-2,从而y=0是值域中的一个点；
2
○
2
y?0???(y?1)?4y(3y?2)?0

16y
2
?4y?1)?0
?
?
1
○
2得函数的值 域为R.
?
?y?R
， 由
○
?
y
??48?0
?
?
六、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如
y?ax?b?cx?d
（
a
、
b、
c
、
d
均为常数，且
a?0
）
的函数常用此 法求解。
对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法
将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是
二次式时，用三 角换元。
【例1】求函数
y?2x?1?2x
的值域。
1?t
2
【解析】令
t?1?2x
（
t?0
），则
x?
，
2
15135
∴
y??t
2
?t?1??(t?)
2
?
∵当
t?
，即
x?
时，
y
max?
，无最小值。
24284
5
∴函数
y?2x?1?2x的值域为
(??,]
。
4
x?5
y?2?log
3< br>x?1(2?x?10)
的值域。
【例2】
求函数
x?5
【 解析】
令
y
1
?2,y
2
?log
3
x? 1

则
y
1
,y
2
在[2，10]上都是增函数
所以
y?y
1
?y
2
在[2，10]上是增函数
当x=2时，
y
min
?2
?3
?log
3
2?1 ?
1
8

5
当x=10时，
y
max
?2 ?log
3
9?33

?
1
?
?
8
,33
?
?
故所求 函数的值域为：
?
【例3】
求函数
y?x?1?x?1
的值域。
y?
2
x?1?x?1

第 12 页 共 25 页
【 解析】
原函数可化为：

令
y
1
?x?1,y
2
?x?1
，显然
y
1
,y
2
在
[1,? ?]
上为无上界的增函数
所以
y?y
1
，
y
2< br>在
[1,??]
上也为无上界的增函数
2
所以当x=1时，
y?y
1
?y
2
有最小值
2
，原函数有最大值
2< br>显然
y?0
，故原函数的值域为
(0,2]

?2

【例4】
求函数
y?x?2?1?(x?1)
2
的值域。
2
2
【解析】
因
1?(x?1)?0

即
(x?1)?1

故可令
x?1?cos?,??[0,?]

∴
y?cos??1?1?cos
2
??sin??cos??1

?
?2sin(??)?1
4

∵
0????,0???
?5
??
44

2??sin(??)?1
24
?
?0?2sin(??)?1?1?2
4< br>
??
故所求函数的值域为
[0,1?2]

x
3< br>?x
y?
4
x?2x
2
?1
的值域。
【例 5】
求函数
12x1?x
2
y???
2
2
1?x1 ?x
2

【解析】
原函数可变形为：
2x1?x
2
?sin2?,?cos
2
?
22
1?x
可令
x?tg?< br>，则有
1?x

11
?y??sin2??cos2???sin4?
24

当
??
k??
1
?y
max
?
4

28
时，
k??1
?y
min
??
28
时 ，
4
当
??
而此时
tan?
有意义。
第 13 页 共 25 页

?
11
?
?
?
4
,
4
?
?
故所求函数的值域为
?
?
??
?
x?
?
?,
?
?
122
?
的值域。
【例6】
求函数
y?(sinx?1)(cosx?1)
，
【解析】
y?(sinx?1)(cosx?1)

?sinxcosx?sinx?cosx?1

1
sinxcosx?(t
2
?1)
2
令
sinx?cosx?t
，则
11
y?(t
2
?1)?t?1?(t?1)
2
22

?
??
?
x?
?
?,
?
?
122
?
由
t?sinx?cosx?2sin(x??4)

且
2
?t?2
2


可得：
∴当< br>t?2
时，
y
max
?
3
232
?2
t?y??
2
时，
42

2
，当
?
3< br>?
23
,?2
??
?
422
??
?
。 故所求函数的值域为
?
2
y?x?4?5?x
【例7】
求函数的值域。
2
【解析】
由
5?x?0
，可得
|x|?5

故可令
x?5cos?,??[0,?]

?
y?5cos??4?5sin??10sin(??)?4
4

??5?
?????
44
∵
0????

4
当
???4
时，
y
max
?4?10

当
???
时，
y
min
?4?5

故所求函数的值域为：
[4?5,4?10]

【例8】
求函数y?(x
2
?5x?12)(x
2
?5x?4)?21
的值域。
9
5
?
9
?
【解析】
令
t?x
2
?5x?4?
?
x?
?
?
，则
t??
。
4
2
?
4
?
第 14 页 共 25 页
2

y?t
?
t?8
?
?21?t
2
?8t ?21?
?
t?4
?
?5
，
2
1
?9
1
?
?
9
?
当
t??
时，
y
min
?
?
??4
?
?5?8
，值域为
?
y|y?8
?

16
?
4
16
?
?
4
?
2
【例9】
求函数
y?x?21?x
的值 域。
2
【解析】
令
t?1?x
，则
x?1?t
2
，
t?0
，
y?1?t
2
?2t??
?
t ?1
?
?2

2
当
t?0
时，
t
max
?1?0?2?0?1

所以值域为
(??,1]
。
【例10】
．求函数
y?x?10x?x
2
?23
的值域。
【解析】
由
y?x?10x?x
2
?23
=
x?2 ?
?
x?5
?
，
2
令
x?5?2cos
?
，
2
2
因为
2?
?
x?5
?
?0?2?2cos
?
?0??1 ?cos
?
?1
，
?
?[0,
?
]
， < br>则
2?
?
x?5
?
=
2sin
?
，
2
于是：
y?
?
?
??
5
?
?< br>2sin
?
?2cos
?
?5?2sin
?
?
?
?
?5
，
?
??[,]
，
4
?444
?
?
2
?
??
?sin
?
?< br>?
?
?1
，所以：
5?2?y?7
。
24
??
七、函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数
的有界性，反客为主来 确定函数的值域。
x
2
?1
【例1】
求函数
y?
2
的值域。
x?1
【解析】由函数的解析式可 以知道，函数的定义域为
R
，对函数进行变形可
得
(y?1)x
2
??(y?1)
， ∵
y?1
，∴
x
2
??
y?1
（
x?R
，
y?1
），
y?1
x
2
?1
y?1
?0
，∴
?1?y ?1
， ∴函数
y?
2
∴
?
的值域为
{y|?1?y?1}

x?1
y?1
第 15 页 共 25 页

e
x
?1
y?
x
e?1
的值域。 【例2】求函数
e
x
?
y?1
y?1

【解析】< br>由原函数式可得：
y?1
?0
x
y?1
?1?y?1
故所求函数的值域为
(?1,1)
∵
e?0

∴

解得：

【例3】求函数
y?
cosx
sinx?3
的值域。
y< br>2
?1sinx(x??)?3y
ysinx?cosx?3y
【解析】
由原函数式可得：，可化为：
sinx(x??)?
即
3y
y
2
?1

?1?
∵
x?R

∴
sinx(x??)?[?1,1]

即
3y
y?1
2
?1

解得：
?
22
?y?
44

?
22
?
,
?
?
?
44
??

?
故函数的值域为
?

【例4】
y?
3?sinx

4?2cosx
【解法1】
sin(x ?
?
)?
3?4y
1?4y
2
，
sin(x??
)?
3?4y
1?4y
2
?1
，
解得
1?
3333
?y?1?,1?]
即函数值域为：
y?[1?
3333
【解法2】y看作是两点(4,3)和(2cos x,sin x)连线的斜率．即过点(4,3)且与椭圆有交点
y?
的直线，其斜率取值范围 就是
3?sinx
4?2cosx
聚会取值范围．设y=k(x-4)+3 代入椭圆方程
x
2
?y
2
?1
4

222
(4k?1)x?8(3?4k)kx?4(16k?24k?8)?0
，由Δ＝0得答案． 得
第 16 页 共 25 页

【例5】 已知a>0，x
1
,x
2
是方程ax+bx-a=0的二个实根，并且|x
1
|+|x
2
|=2,求 a的取值范
围以及b的最大值 。
22
【解析】由韦达定理知：
xx=
-a<0,故两根必一正一负，
｜
x
|
+
|
x
|
=2
12
12
从而
|x
1
-x
2
|=2
由韦达定理知：4=|x
1
-x
2
|
2
=(b2
+4a
3
)a
2

从而4a
2
-4a
3
=b
2
≥0
即4a
2
(1-a) ≥ 0
即a≤1,注意到a>0，从而a的取值范围是0< a≤1

从而
b< br>2
?4a
2
(1?a)?2?a?a?(2?2a)?2?(
即b的最 大值为
a?a?2?2a
3
16

)?
327
43
，当且仅当a=23时“＝”成立。

9< br>八、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，
求出函数的值域。
【例1】求函数
y?x?1?2x
的值域。
【解析】∵当
x
增大时，
1?2x
随
x
的增大而减少，
?1?2x
随x
的增大而增
大，
1
∴函数
y?x?1?2x
在定义 域
(??,]
上是增函数。
2
∴
y?

111< br>1
?1?2??
，∴函数
y?x?1?2x
的值域为
(??, ]
。
222
2
1
在区间
x?
?
0,??
?
上的值域。
x
【例2】
求函数
y?x?
【解析 】任取
x
1
,x
2
?
?
0,??
?
，且
x
1
?x
2
，则
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?
?
x
1
?x
2
??
x
1
x
2
?1
?
x
1
x
2
，因为
0?x
1
?x
2
，所以：
x
1
?x
2
?0,x
1
x
2
?0
，
当
1?x
1
?x
2
时，x
1
x
2
?1?0
，则
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
；
当
0? x
1
?x
2
?1
时，
x
1
x
2< br>?1?0
，则
f
?
x
1
?
?f
?< br>x
2
?
；而当
x?1
时，
y
min
?2

于是：函数
y?x?
1
在区间
x?
?
0,??
?
上的值域为
[2,??)
。
x
构造相关函数，利用函数的单调性求值域。
第 17 页 共 25 页

【例4】
求函数
f
?
x
?
?1?x?1? x
的值域。
【解析】因为
?
?
1?x?0
??1?x?1
，而
1?x
与
1?x
在定义域内的单调性不一
?
1 ?x?0
致。现构造相关函数
g
?
x
?
?1?x?1?x< br>，易知
g(x)
在定义域内单调增。
g
max
?g
?
1
?
?2
，
g
min
?g
?
?1
?
??2
，
?g
?
x
?
?2
，< br>0?g
2
?
x
?
?2
，
又
f2
?
x
?
?g
2
?
x
?
?4
，所以：
2?f
2
?
x
?
?4
，
2?f
?
x
?
?2
。
【例5】
求函数
y?3x?6?8?x
的值域。
【解析】此题可以 看作
y?u?v
和
u?3x?6
，
v??8?x
的复合函数 ，显然函数
u?3x?6
为单调递增函数，易验证
v??8?x
亦是单调递增 函数，故函数
y?3x?6?8?x
也是单调递增函数。而此函数的定义域为
[?2, 8]
。
当
x??2
时，
y
取得最小值
?10。当
x?8
时，
y
取得最大值
30
。
故而原函数的值域为
[?10,30]
。
九.
图像法（数型结合 法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的
方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值 域的重要方法。
当函数解析式具
有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等） 或当一个函数的图象易于
作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。
【例1】求函数
y?|x?3|?|x?5|
的值域。
y
?
?2x?2
(x??3)
?
【解析】∵
y?|x?3|?|x?5|??
8

(?3?x?5)
，
?
2x?2
(x ?5)
?
∴
y?|x?3|?|x?5|
的图像如图所示，
由图像知：函数
y?|x?3|?|x?5|
的值域为
[8,??)

【例2】
求函数
y?(x?2)
2
?(x?8)
2
的值域。
8
o
-35
x

第 18 页 共 25 页

【解析】原函数可化简得：
y?|x?2|?|x?8|

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），
B(?8)
间的距离之和。
由上图可知，当点P在线段AB上时，
y?|x?2|?|x?8|?|AB|?10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
y?|x?2|?|x?8|?|AB|?10

故所求函数的值域为：
[10,??]

22
y?x?6x?13?x?4x?5
的值域。
【例3】
求函数
【解析】原函数可变形为：
y?(x?3)
2?(0?2)
2
?(x?2)
2
?(0?1)
2
上式可看成x轴上的点
P(x,0)
到两定点
A(3,2),B(?2,?1)< br>的距离之和，
由图可知当点P为线段与x轴的交点时，
故所求函数的值域为
[43,??]

y
min
?|AB|?(3?2)
2
?(2?1)
2
?43
，




十、 基本不等式法：利用基本不等 式，求函数
的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
x
2
?2
k
【例1】求下列函数的值域：(1)
y?x??3
(k>0);(2)
y?
。
2
x
x?1
【解析】(1)若x>0时，则
y?x?
即
x?k
时成立；
k
k
?3
?2x??3?3?2k
,等号仅当x=kx，
x
x
第 19 页 共 25 页

若x<0时，则
y?x?
x??k
时成立；
故，< br>k
k
?3
??2?x?(?)?3?3?2k
,等号仅当-x=-kx ，即
x
x
y?(??,3?2k]?[3?2k,??)

(2)
解法一：
y?
x
2
?2
x?1
2
=
?x
2
?1?
1
x?1
2
?2
，故
y?[2,??)

解法二：令
t?x
2
?1
,则
y?t?
1
(t?1)
．即方程
f(t)?t
2
?ty?1?0
在[1,+∞)
t
上有解．
所以
t
1
t
2
?1
．从而f(x)=0在区间[1,+∞)只能有一根，另一根在(0 ,1)内，从而f(1)
≤0,即y≥2.

x
2
?2x?2
【例2】
若
?4?x?1
，求的最小值
2x?2
【解析】
x
2
?2x?21(x?1)
2
?11111
???[(x?1) ?]??[?(x?1)?]

2x?22x?12x?12?(x?1)
∵
?4?x?1
∴
0??(x?1)?3

???
11
?

?(x?1)3
从而
[?(x?1)?
111
]?2

?[?(x?1)?]??1
，
?(x?1)2?(x?1)
1
，即x=-2时”=”成立
?(x?1)< br>当且仅当
?(x?1)?
x
2
?2x?2
)
min< br>??1
即
(
2x?2
【例3】
求函数
y?2x2
?
3
,(x?0)
的最小值
x
【解析】
y ?2x
2
?
3333393
?2x
2
???3
3< br>2x
2
???3
3
?
3
36

x2x2x2x2x22
第 20 页 共 25 页

3
6
33
当且仅当
2x?
即
x?
时
y
min< br>?
3
36

2
2x2
2
【例4】
求 y=
14
?
(x?
(0,)
)的最小值。
?
cosxsinx
2
【解析】y>0,y
2
=(sec x+4csc x)
2
= sec
2
x+16csc
2
x+ 8sec xcsc x
?
cos
2
x?sin
2
=(tanx+1)+16(cotx+1)+8
?
?
cosxsinx
?< br>22
x
?
?
?

?
=17+(tan
2
x+4cot x+4cot x)+ (16cot
2
x+ 4tan x+4tan x)
?1?(
3
16)
3
?3
3
tan
2
x?4cotx?4cotx? 3
3
16cot
2
x?4tanx?4tanx

=
1?
3
16

??
3
?
tan
2
x?4cotx?4cotx
?
tan
3
x?4
当且仅当
?
即
?
（这是两个相同的方程）,
2
3
?
16cotx?4tanx?4tanx
?
4cotx?1
即当x=arc tan
3
4
?
(0,
?
2
)
时，“=”成 立（达到最小值）。

【例5】若函数y=f(X)的值域为
[,3]
,则函 数
F(x)?f(x)?

。
解析：f(x)>0,

F(x)?f(x)?
1
2
1
10
的值域是
[2,]

f(x)
3
1
1
1
?2< br>,并且当f(x)=1时等号成立。而
g(t)?t?
在t?
[,1]
时
f(x)
t
2
g(t)?t?
1
t
在区间单调递 减,
g(t)?t?
1
t
在t?[1，3]时单调递增。从而
1< br>[,1]
2
上的值域为
151
[g(1),g()]?[2,]
;
g(t)?t?
在区间[1,3]上的值域为[g(1),g(3)]=[2,103]. 综合知
22t
10
[2,]

3
【例6】求函数
y?
F(x)的值域为
x?2
的值域。
x?3
，则 【解析】令
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（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以
（2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：

注：先换元，后用不等式法
十一、利用向量不等式
性质1 若，则

当且仅当时等式成立
，当且仅当a，同向平行时右边等式成立，a，反向性质2
平行时左边等式成立。
性质3
平行时等式成立。
类型（1）型（
，当且仅当方向相同且两两
同号）
【例1】
求函数
y?5x?1?10?x
的最大值。
【解析】构造向量
由性质1，得


当且仅当
解
，即
显
时，
然

≤2：1x≤10,
x?1?9sin
2
?
?3sin
?< br>(
?
?[0,])?10?x?9(1?sin
2
?
)?3c os
?

4
1
y?15sin
?
?3cos
?
?326sin(
?
?
?
)
(其中
?
?arctan
)
5
??
151
?
?
?
?
?
??
?
?(sin(
?
?
?
))min
?min{sin
?
,sin(?
?
)}?{,}?22
262626
2
所以3≤
y?15sin
?
?3c os
?
?326sin(
?
?
?
)?326
即
类型（2）型
的最大值。

?

(sin(
?< br>?
?
))
max
?sin
?
?1

【例2】
求函数
y?x?3?10?9x
2
【解析】原函数可变为

第 22 页 共 25 页

取

构造向量
由性质1，得
且


从而
当且仅当
类型（3）
，即时，
型（

）
【例3】
求函数
y?x
2
?4?(3?x)
2
?9
的最小值 。
【解析】构造向量
由性质2，得
当且仅当a与b同向平行时等式成立


所以（此时
类型（4）其它类型
）
【例4】
设x< br>1
（i＝1，2，……，2003）为正实数，且
x
1
?x
1
??x
2015
?2015
，试求
y?x
1
?x
2
?x
2
?x
3
?
【解析】构造向量
? x
2014
?x
2015
?x
2015
?x
1的最小值。

由性质3，得

即
，求
【例5】
已知
的最小值。
【解析】构造向量

从而
第 23 页 共 25 页

由性质3，得
当且仅当a=b=c=12时“＝”成立。

所以

十二、一一映射法
原理：因为
y?
ax?b
(c?0)
c x?d
在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道
一个变量范围，就可以求另一个 变量范围。
【例1】求函数
y?
1?3x
2x?1
的值域。
11
??
?
x|x??或x??
?
22
?
【解析】∵定义域为
?
1?y
1?3x
x?
y?
2y?3< br>
2x?1
得由
x?
故
1?y1?y
11
? ?x???
2y?32
或
2y?32

33
y??或y??
22
解得
3
??
3
??
?
??,?
?
?
?
?,??
?
2??
2
?
故函数的值域为
?

十三、多种方法综合运用
【例1】求函数
y?
x?2
x?3
的值域。
2
【解析】令
t?x?2(t?0)
，则
x?3?t?1

y?
（1）当
t?0
时，
t11
??
t
2
?1
t?
1
2
t
，当且仅当t=1，即
x??1< br>时取等号，所以
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0?y?
1
2

（2）当t=0时，y=0。
?
1
?
?
0,
2
?
?
综上所述，函数的值域为：
?
注：先换元，后用不等式法
1?x?2x
2< br>?x
3
?x
4
y?
1?2x
2
?x
4
【例2】 求函数的值域。
y?
【解析】
1?2x?xx?x
?
1?2x
2
?x
4
1?2x
2
?x
4< br>2
243

?
1?x
2
?
x
?< br>??
?
?
1?x
2
?
1?x
2
< br>??
2
?
1?x
2
?
2
?
???cos?
x?tan
?
1?x
2
?
?
2，则
?
令
x1
?sin?
2
2
1?x

1
?
17
?
11
22
??sin???
??
?y?cos?? sin???sin??sin??1
4
?
16

?
22

2
∴当
sin??
17
1
y
max
?
16

4
时，
当
sin?? ?1
时，
y
min
??2

17
??
?< br>?2,
tan
?
16
?
?

2
都存 在，故函数的值域为
?
此时
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用
s in?
的有界性。

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