高一数学知识点：函数的有关概念

高一数学知识点：函数的有关概念
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点：函数的有关概念》的文章，供大家学习参考!
函数的有关概念
1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定
的对应 关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B
中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：AB为从集
合A到集合B的一个函数.记作： y=f(x)，xA.其中，x叫做
自变量， x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应
的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| xA }叫做函数的值域.
注意：2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，
则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3
函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
定义域补充
能使函数式有意义的实 数x的集合称为函数的定义域，求函
数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必
须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如
果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它
的定义域是使各部分都有意义的x的值组成 的集合.(6)指数
为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保
证实际问题有意义.
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(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)
构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
再注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对 应关系和值域.
由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函
数的定义域和对应关 系完全一致，即称这两个函数相等(或为
同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关
系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函
数的判断方法：①表达式相同;②定 义域一致 (两点必须同时
具备)
(见课本21页相关例2)
值域补充
(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方
法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函
数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是
求解复杂 函数值域的基础。
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x
为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函
数 y=f(x),(x A)的图象.
C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过 来，以
满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均
在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , xA }
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图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与
任意平行与Y轴的直线最多只有 一个交点的若干条曲线或
离散点组成。
(2) 画法
A、描点法：根据函数解析式 和定义域，求出x,y的一些对
应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，
最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法(请参考必修4三角函数)
常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用：
1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题
的思路。提高解题的速度。
发现解题中的错误。
4.快去了解区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间 、半开半闭区间;(2)无穷区
间;(3)区间的数轴表示.
5.什么叫做映射
一 般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的
对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x ，在集合B
中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B
为从集合A到集合B的一个映射。记作f：A B
给定一个集合A到B的映射，如果aA,bB.且元素a和元素b
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对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元
素b的原象
说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①
集合A、B及对应法则f是确定的;②对应 法则有方向性，即
强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系
一般是不同的;③对 于映射f：AB来说，则应满足：(Ⅰ)集合
A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的; (Ⅱ)
集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一
个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一 个元素在集合A中都有原象。
常用的函数表示法及各自的优点：
1 函数图象既可以是连续 的曲线，也可以是直线、折线、离
散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2 解
析法：必须注明函数的定义域;3 图象法：描点法作图要注意：
确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4 列
表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.
注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数
值。图象法：便于量出函数值
补充一：分段函数 (参见课本P24-25)
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的 函数。在不同
的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段
函数的解析式不能写成 几个不同的方程，而就写函数值几种
不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分
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的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值
域是各段值域的并集.
补充二：复合函数
如果y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=f[g(x)]=F(x)，(xA) 称为f、
g的复合函数。
例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)
7.函数单调性
(1).增函数
设 函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间
D内的任意两个自变量x1，x2，当 x1
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，
那么就说f( x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单
调减区间.
注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，
是函数的局部性质;
2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2;当x1
(2) 图象的特点
如果函数y =f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数
y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性 ，在单调区间上增函
数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降
的.
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(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1 任取x1，x2D，且x1
(B)图象法(从图象上看升降)_
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，< br>单调性密切相关，其规律如下：
函数
单调性
u=g(x)
增
增
减
减
y=f(u)
增
减
增
减
y=f[g(x)]
增
减
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y=f(u)的

减
增
注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把
单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选
修里学习简单易行的导数法判定单调性吗?
8.函数的奇偶性
(1)偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有
f(-x) =f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地，对于函数f(x)的定 义域内的任意一个x，都有
f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.
注意：1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数
的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也 可能既
是奇函数又是偶函数。
2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条< br>件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内
的一个自变量(即定义域关于原点对 称).
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函
数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称;2 确定f(-x)
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与f(x)的关系;3 作出相应结论：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) =
0，则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，则f(x)
是奇函数.
注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要
条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函
数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根 据定义判定; (2)有时判定
f(-x)=f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)f(x) =0或
f(x)f(-x)=1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求
出函数的定义域.
(2).求 函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消
参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定 系数法;
已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意
元的取值范围;当 已知表达式较简单时，也可用凑配法;若已
知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，
让幼儿学习、模仿。如领读，我读一 句，让幼儿读一句，边
读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边
学边仿；第三 赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，
一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。10.函数 最大
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(小)值(定义见课本p36页)
其实,任何 一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技
巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么 会向高层
次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的
写作水平,单靠分析文章 的写作技巧是远远不够的,必须从基
础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时
间、空间里给学生的脑海里注入无限的 内容。日积月累,积少
成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值2 利用
图象求函数的最大(小)值3 利用函数 单调性的判断函数的最
大(小)值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间
[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果
函数y=f(x)在区 间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递
增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b );
唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，
其相应传授者称为 “博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚
远。而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“ 讲师”。
“教授”和“助教”均原为学官称谓。前者始于宋，乃“宗学”“律
学”“医学”“武 学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代
即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。“助教”在 古代
不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。唐代
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国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。
至明清两代，只设国子监（国子 学）一科的“助教”，其身价
不谓显赫，也称得上朝廷要员。至此，无论是“博士”“讲师”，
还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。
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