高一数学必修一函数经典题型复习

函数奇偶性
a?
（已知函数奇偶例题1：.已知函数
f

(

x

)

?

1
是奇函数，则常数
a

?
4
x
?1
性求未知数的值）
练习：
1
?a
是奇函数，则实数
a?

2
x
?1
1
（2）若函数
f(x)?a?
x
为奇函数，则
a
=_____________.
9?1
（1） 若函数
f(x)?
例题2：.已知函数
f(x)?ax?bx?3a?b
是偶函数， 定义域为
?
a?1,2a
?
，
2
则
f(0)?
( ) （已知定义域求未知数的值）
A.
1
B.
2
C. 1 D. -1

33
53
例题3．已知
f(x)?x?ax?bx? 2
,且
f(?5)?17
，则
f(5)
的值为( ) （自己先判
断函数奇偶性）
A．－13 B．13 C．－19 D．19
练习．
已知
f(x)?ax
5
?bx
3
?cx?5(a,b,c是常数)
，且
f(5)?9
，则
f(?5)
的值为 ．

例题4. 设
f(x)
在R上是奇函数，当x>0时，
f(x)?x(1?x)
， 试问：当
x
<0时，
f(x)
的表达式是什么？（已知函数部分解析式求另外 部分的解析式）

练习：
f
?
x
?
?x1?
3
x,
（1）设函数
f
?
x
?
是R上的偶函数，且当
x?
?
0 ,??
?
时，
??
则当x?
?
??，0
?
时，f
?
x
?
等于（ ）
A、xx?
3
x; B、?xx?
3
x; C、?xx?
3
x； D、xx?
3
x.

（2）已知
f(x)
为
R
上的奇函数，且
x?0
时
f(x)??2x?4x?1
，则
f(?1)?
____ __

例题5：若定义在R上的函数
f(x)
满足：对任意
x
1
,x2
?R
,有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)?1
，
下列说法一定正确的是（）
A、
f(x)
是奇函数 B、
f(x)
是偶函数
C
f(x)
+1是奇函数 D、
f(x)
+1是偶函数 练习：已知函数
y?f(x)
的定义域为
R
，且对任意
a,b? R
，都有
f(a?b)?f(a)?f(b)
，
2
????????
求证：函数
y?f(x)
是奇函数．

1

函数单调性
证明函数单调性的步骤：
第一 步：设x
1
、x
2
∈给定区间，且x
1
2；
第二步：计算f(x
1
)－f(x
2
)至最简；
第三步：判断差的符号；
第四步：下结论.
3
例题1:求
y?
在区间[3，6]上的最大值和最小值.
x?2

3?x
变式：求
y?,x?[3,6]
的最大值和最小值.
x?2

例题2. 函数
y?x
2
?bx?c
(x ?(??,1))
是单调函数时，
b
的取值范围 （ ）.

A．
b??2
B．
b??2

C ．
b??2
D．
b??2

练习：
（1）若函数< br>y?x?(2a?1)x?1
在区间（－∞，2
]
上是减函数，则实数
a
的取值范围是( )
A．
[
－
2
3
3
，+∞） B．（－∞，－
]

2
2
C．
[
55
，+∞） D．（－∞，
]

22
（2） 函数
f(x)?x
2
?2x
的单调增区间是（ ）
A.
(??,1]
B.
[1,??)
C. R D.不存在

（3） 在区间
(??,0)
上为增函数的是（ ）
2
A．
y??2x
B．
y?

x
C．
y?|x|
D．
y??x
2

例题： 已知
f(x)
是定义在
(?1,1)
上的减函数，且
f(2?a)?f(a?3)?0
. 求实数a的取值范
围.

练习 (07福建)已知函数
f
?
x
?
为R上的减函数，则满足
f?
?
是（ ）
A.
?
?1,1
?
B.
?
0,1
?

C.
?
?1,0
?
?
?
0,1
?
D.
?
??,?1
?
?
?
1,??
?

函数的奇偶性与单调性
例题1．已知定义域为
?
??,0
?
?
1
?
x
?
?
?
?f
?
1?
的实数
x
的取值范围
?
??)
上为增函数，且
f(1)?0
，
?
0,??
?
的偶函数
f(x)
在
(0，
则不等式
x?f(x)?0
的解集为 ．


2

练习：
（1）已知定义在R上 的偶函数
f(x)
在
?
??,0
?
上是减函数，若
f()?0
，则不等
1
2
f(log
4
x)?0
的 解集是 .

（2）设
f(x)
是奇函数，且在
(0,??)
内是增函数，又
f(?3)?0
，则
x?f(x)?0
的解集是（ ）
A、
?
x|?3?x?0或x?3
?
B、
?
x|x??3或0?x?3
?

C、
?
x|x??3或x?3
?
D、
?
x|?3?x?0或0?x?3
?


px
2
?2
5
练习：已知函数
f(x)?
是奇函数，且
f(2) ??
.
q?3x
3
（1）求函数
f(x)
的解析式；
（2）判断函数
f(x)
在
(0,1)
上的单调性，并加以证明．


























3

一、选择题：
１、设全集
U?Z,
集合
A?
?
?1,1,2
?
,B?
?
?1,0,1,2
?
,
从
A
到
B
的一个映射为
x?y?f(x)?
x
|x|
，其中
x?A,y?B,P?
?
y|y?f(x)
?
,则
B?(C
U
P)?
_________________。
2、已知
x
1
是方程
x?lgx?3
的根，
x2
是方程
x?10?3
的根，则
x
1
?x
2< br>值为
______________。
3、已知函数
y?f(x)
的图象关于直线
x??1
对称，且当
x?0
时
f(x)?
x
1
,
则当
x
x??2
时
f(x)?

________________。
4、函数
y?f(x)
的反函数y?f
?1
(x)
的图像与
y
轴交于点
P(0,2)< br>（如图所示），则方程
f(x)?0
在
[1,4]
上的根是
x ?

x?1
?
?
2e,x＜2，
5、设
f(x)?
?
则f(f(2))的值为

2
?
?
log
3
(x?1)，x?2.
A、0 B、1 C、2 D、3
6、从甲城市到乙城市
m
分钟的电 话费由函数
f(m)?1.06?([m]?)
给出，其中
，则从甲城市到
m ?0
，
[m]
表示不大于
m
的最大整数（如
[3]?3,[ 3.9]?3,[3,1]?3
）
乙城市
5.8
分钟的电话费为______ ________。
7、函数
f(x)?
3
4
7
4< br>ax?1
在区间
(?2,??)
上为增函数，则
a
的取值范围 是______________。
x?2
x?1
?
?
2?2,x ?(??,2]
8、函数
y?
?
1?x
的值域为_________ _____。
?
?
2?2,x?(2,??)
A、
(?
3 3
,??)
B、
(??,0]
C、
(??,?)
D、
(?2,0]

22
2x?1
9、若
f(5)?x ?2
，则
f(125)?
__________
2
10、已 知映射
f:A?B
，其中A＝B＝R，对应法则为
f:x?y?x?2x?3

若对实数
k?B
，在集合中A不存在原象，则
k
的取值范围是___ ___________
11、偶函数
f(x)
在
（-?，0
）上是减函数，若
f(-1)?f(lgx)
，则实数
x
的取值范围是
______________．
12、关于
x
的方程
|x?4x?3| ?a?0
有三个不相等的实数根，则实数
a
的值是
2

4

_________________。
13、关于
x< br>的方程
()?
1
2
x
1
有正根，则实数
a< br>的取值范围是______________
1?lga
14、 已知函数f(x)=
(log
1
4
x)
2
?log
1
x?5
,
x?
?
2，4
?
，则当
x= ，
4

f(x)
有最大值 ；当
x
= 时，f(x)有最小值 .

二、解答题：本大题共４小题，解答时应写出文字说明、演算步骤．
1,2,3,m
?
，集合
B?4,7,a,a?3a
，其中 15、 已知集合
A?
?
42
??
m?N
*
,a?N
*
,x?A,y?B.
f:x?y?3x?1
是从集合
A
到集合< br>B
的函数，求
m,a,A,B

16、已知函数
f(x)?x ?ax?3
，当
x?[?2,2]
时，
f(x)?a
恒成立，求a
的最小值．

17、已知函数
f(x)?2
x?1
2
，将函数
y?f
?1
(x)
的图象向左平移２个单位，再向上平移
１个单位，就得到
y?g(x)
的图象．
(1)写出
y?g(x)
的解析式；
(2)求
F(x)?g(x)?f

18、一片森林面积为
a
，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐面积的百分比相等，则砍伐
到面积的一半时，所用时间是T年．为 保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的
2?1
(x)
的最小值.
2
1
．已知到今年为止，森林剩余面积为原来的．
2
4
(1)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(2)今后最多还能砍伐多少年？








5

恒成立问题
类型一、利用二次函数的图象
例：函数
f(x)?x?ax?3
，当
x?R
时，
f(x)?a
恒成立，求a的范围
解析：∵
f(x) ?a
恒成立，∴
x?ax?3?a?0
恒成立，把左边看成二次函数，则
2< br>2
??0
∴
?6?a?2

类型二、能分离参量
例：不等式
x?x?2?ax?5
当0解析：∵不等式
x?x?2?ax?5
当02
2
x
2
?x?33
?1?x?
当0a?
xx
又∵0x?
∴
a?23?1

类型三、需要改写不等式
例：不等式
2x?1?m(x?1)
对满足
?2?m?2
的所有都成立，求m的取值范围
解析：∵不等式
2x?1?m(x? 1)
对满足
?2?m?2
的所有都成立
∴
(x?1)m?(2x?1)?0对－2?m?2
恒成立
2
2
2
3
?1?23?1

x
?
f(?2)?0
7?13?1
?x?
令
f(m)?(x?1)m?(2x?1 )
，则
?
，∴
22
f(2)?0
?
2
类 型四、若
x?
?
?2,2
?
时，
f(x)?x?ax?3? a?0
恒成立，求
a
的取值范围。
2
a
?
a2
?
解：
f(x)?
?
x?
?
??a?3，令
f(x)
在
?
?2,2
?
上的最小值为
g (a)
。
2
?
4
?
⑴当
?
2
a 7
??2
，即
a?4
时，
g(a)?f(?2)?7?3a?0
?a?
又
a?4

23
?a
不存在。
aa
2
a
?a?3?0

??6?a?2
又⑵当
?2???2
，即
?4?a?4
时，
g(a)?f()??
24
2
?4?a?4

??4?a?2

a
⑶当
??2
，即
a??4
时，
g(a)?
2
??7?a ??4


6
f(2?)?7a?

?a??7
又
a??4

总上所述，
?7?a?2
。

抽象函数
1. 设函数f（x）定义于实数集上，对于任意实数x、y，
f(x?y)?f(x)f(y )
总成
立，且存在
x
1
?x
2
，使得
f( x
1
)?f(x
2
)
，求函数
f(x)
的值域。
2. 设对满足
x?0，x?1
的所有实数x，函数
f(x)
满足< br>f（x）的解析式。
f(x)?f(
x?1
)?1?x
x
，求
3. 设f（x） 定义于实数集上，当
x?0
时，
f(x)?1
，且对于任意实数x、y，有< br>f(x?y)?f(x)?f(y)
，求证：
f(x)
在R上为增函数。
4. 已知函数
f(x)(x?R，x?0)
对任意不等于零的实数
x
1
、x
2
都有
f(x
1
?x
2
)?f( x
1
)?f(x
2
)
，试判断函数f（x）的奇偶性。
5. 已知函数
y?f(x)
满足
f(x)?f(?x)?2002
，求
f
?1
(x)?f
?1
(2002?x)
的值。
6. 定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有
f(m?n)?f(m)?f (n)
，
且当x>0时，0（1）判断f（x）的单调性；
（2）设
A?{(x，y)|f(x)?f(y)?f(1)}
，
22B?{(x，y)|f(ax?y?2)?1，a?R}
，若
A?B??
，试确定 a的取值范
围。



7