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特殊基本函数
一、分段函数
分段函数是一个函数,而不是几个函数,在求分
段函数的值
f(x
0
)
时一定首先要判断
x
0
属于
定义域的哪个子集,然后再代相应的关系式;分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域
是各
段值域的并集.
二、反函数
1.函数具有单调性是存在反函数的充分不必要条件
2.互为反函数的两个函数之间的关系:
(1)互为反函数的两个函数图象关于直线
y?x
对称.
(2)若点
(a,b)
在原函数的图像上,则点
(b,a)
必在反函数图像上,反之亦然;
(3)原函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域.
3.求反函数:
(1)确定反函数的定义域,即原函数的值域;
(2)从原函数式
y?f(x)中反解出
x?f
(3)将
x?f
三、幂函数
1.定义
一般地,形如
y?x
(
k
为常数,
k?Q
)叫做幂函数,
需要注意:(1)系数为1;(2)指
数是有理数并且为常数;(3)后面不加任何项;如:
y
?3x,y?x
函数.
x?2
k
?1
?1
(y)
;
(y)
改写成
y?f
?1
(x)
,并注明反函数的定义域.
,y?x
2
?2
都不是幂
??)
(第一象限内)性质 2.
幂函数在
(0,
??)
都有定义,并且图像都经过定点
(1,1)
(1)所有的幂函数在
(0,
??)
为增函数; (2)当
k?0
时
,则幂函数图像过原点,并且在区间
(0,
??)
为减函数; (3)当
k?
0
时,则幂函数在区间
(0,
(4)当
k
为奇数时,幂函数为奇函数
;当
k
为偶数时,幂函数为偶函数;
四、指数函数图像及性质
函数名称 指数函数
形如
y?a(a?0,a?1)
函数叫做指数函数,其中
x
是自变量.
定义
需要注意:(1)系数为1;(2)自变量在指数位置上;(3)函数的底数必须大于<
br>0且不等于1;
x
a?1
0?a?1
图象
定义域
值域
过定点
奇偶性
单调性
R
(0,??)
(0,1)
非奇非偶
在
R
上是增函数
当
x?0
时,
y?1
;
在
R
上是减函数
当
x?0
时,
0?y?1
;
当
x?0
时,
y?1
;
当
x?0
时,
y?1
;
函数值的变化
当
x?0
时,
0?y?1
;
情况
当
x?0
时,
y?1
;
a
变化对图象在第一象限
内,从逆时针方向看图象,
a
逐渐增大;在第二象限内,从逆时
的影响
针方向看图象,
a
逐渐减小.
五.对数
1.定义
如果
a?N(a?0,a?1)
,则数
b
叫做以
a
为底
N
的对数,记作:
b?log
a
N
,其中
a
叫
做对数的底数,
N
叫做真数.
2.指数式与对数式互化
N
b?log
a
?N?a
b(
a?0,a?1,N?0
)
b
3.几个重要的对数恒等式:
log
a
1?0,log
a
a?1,log
a
a?b
.
b
4.常用对数与自然对数:常用对数:
lgN
,即
log<
br>10
N
;自然对数:
lnN
,即
log
e
N
(其
中
e?2.71828
).
5.对数的运算性质
如果
a?0,a?1,M?0,N?0
,那么
①加法:
loga
M?log
a
N?log
a
(MN)
②减
法:
log
a
M?log
a
N?log
a
(
M
)
N
n
③数乘:
nlog
a
M?l
og
a
M(n?R)
④
a
log
a
N
?N
n
⑤log
a
m
b?
n
log
a
b(m?0,n?
R)
m
log
c
b
(c?0且c?1)
log
c
a
⑥换底公式:
log
a
b?
六.对数函数及性质
函数名称
对数函数
形如
y?log
a
x(a?0且a?1)
的函数叫做对数函数.
定义
需要注意:(1)系数为1;(2)自变量在指数位置上;(3)函数的底数必须大于0
且不等
于1;
a?1
0?a?1
图象
定义域
值域
过定点
奇偶性
单调性
(0,??)
R
(1,0)
非奇非偶
在
(0,??)
上是增函数
当
x?1
时,
y?0
;
在
(0,??)
上是减函数
当
x?1
时,
y?0
;
当
0?x?1
时,
y?0
;
当
x?1
时,
y?0
;
函数值的
变化情况
当
0?x?1
时,
y?0
;
当
x?1
时,
y?0
;
a
变化对图在第一象限内
,从顺时针方向看图象,
a
逐渐增大;在第四象限内,从顺时针方向
象的影响
看图象,
a
逐渐减小.
七.指数不等式与对数不等式
(1)解对数不等式
①同底的对数形式:借助对数函数的单调性,得到关于真数的不等式
?
?
0
?a?1
?
a?1
?
?
??
f(x)?0
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
f(x)?0
或
?
g(x)?0
?
g(x)?0
?
??
?
f(x)?g(x)
f(x)?g(x)
?
?
②不同底的对数形式:运用对
数运算法则,化为同底的对数形式
(2)解指数不等式
①同底的指数形式:利用单调性
?
a?1
?
0?a?1
a
f(x)
?a
g(x)
?
?
或
?
?
f(x)?g(x)
?
f(x)?g(x)
②不同底的指数形式:化成同
底
八、解指数方程和对数方程
(1)解指数方程
①同底的指数方程:
a
f(x)
?a
g(x)
,等价转化为方程
f(x)?g(
x)
;
?b
g(x)
,两边取对数转化为方程
f(x)lga?g
(x)lgb
;
②不同底指数方程:
a
③二次方程型:
at
(2)解对数方程
2x
f(x)
?bt
x
?a?0
(
t?0,t?1
),
换元法
?
f(x)?0
?
①同底的对数方程:
log
a<
br>f(x)?log
a
g(x)
,等价转化为:
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
特别地,
log
af(x)?b
,等价为:
?
②不同底的指数形式:化为同底,
③
f(log
a
f(x))?0
型:换元法
?
f(x)?0
b
?
f(x)?a
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