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人教版高一数学函数知识点

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-20 10:37
tags:高中数学 函数

高中数学校本课程数学与文化-高中数学竞赛视频数论

2020年9月20日发(作者:朱哲琴)


人教版高一数学函数知识点



一、一次函数定义与定义式:

自变量x和因变量y有如下关系:

y=kx+b

则此时称y是x的一次函数。

特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。

即:y=kx(k为常数,k≠0)

二、一次函数的性质:

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k

即:y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)

2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质:

1.作法与图形:通过如下3个步骤

(1)列表;

(2)描点;

(3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与
x轴和y轴的交点)

2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:
y=kx+b。(2) 一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交
于(-bk,0)正比例函数的图像总是过原 点。

3.k,b与函数图像所在象限:


当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;

当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。

当b>0时,直线必通过一、二象限;

当b=0时,直线通过原点

当b<0时,直线必通过三、四象限。

特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数
的图像。

这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通
过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式:

已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定 过点A、B的一次函数的
表达式。

(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。

(2)因为在一次函数 上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程:y1=kx1+b…… ①和y2=kx2+b……②

(3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。

(4)最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用:

1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f 一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函
数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

六、常用公式:

1.求函数图像的k值:(y1-y2)(x1-x2)

2.求与x轴平行线段的中点:|x1-x2|2


3.求与y轴平行线段的中点:|y1-y2|2

4.求任意线段的 长:√(x1-x2)’2+(y1-y2)’2(注:根号下(x1-
x2)与(y1-y2)的平方 和)

二次函数

I.定义与定义表达式

一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:

y=ax’2+bx+c

(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开
口方向向上,a<0时 ,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI
越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)
则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式:y=ax’2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

顶点式:y=a(x-h)’2+k[抛物线的顶点P(h,k)]

交点式:y=a (x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?,0)和B(x?,
0)的抛物线]

注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:

h=-b2ak=(4ac-b’2)4ax?,x?=(-b±√b’2-4ac)2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x’2的图像,

可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线


x=-b2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

2.抛物线有一个顶点P,坐标为

P(-b2a,(4ac-b’2)4a)

当-b2a=0时,P在y轴上;当Δ=b’2-4ac=0时,P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。

|a|越大,则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0,c)

6.抛物线与x轴交点个数

Δ=b’2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b’2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b’2-4ac<0时 ,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数
(x=-b±√b’2-4ac的值的相反数,乘上虚数i, 整个式子除以2a)

V.二次函数与一元二次方程

特别地,二次函数(以下称函数)y=ax’2+bx+c,

当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),

即ax’2+bx+c=0


此时,函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=ax’2,y=a(x- h)’2,y=a(x-h)’2+k,
y=ax’2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同, 只是位置不同,它
们的顶点坐标及对称轴如下表:

当h>0时,y=a(x-h)’ 2的图象可由抛物线y=ax’2向右平行移
动h个单位得到,

当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.

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