高中数学函数的概念与表示法

高中数学-函数




【知识导

读】





概念

，般

化

图像






幕函数



具体化
沪基本初等 *函数

I
指数函数
指数

4
互逆

对数函数


对数



二次函数
函数与方 应用问题
【方法点拨】
函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学 的基础.高
中函数以具体的幕函数，指数函数，对数函数和三角函数 的概念，性质和图像为
主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值 的函数和抽象函数；同时要对初中
所学二次函数作深入理解.
1?
活用“定义法”解题.定义是一切法则与性质的基础，是解题的基 本出发点.利
用定义，可 直接判断所给的对应是否满足函数的条件， 证明或判断函数的单调性
和奇偶性等．

2.
重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当 你所
研究的问题较为抽象时， 当你的思维陷入困境时， 当你对杂乱无 章的条件感到
头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的 直观性，可迅速地破解问
题，乃至最终解决问题．
3.
强化“分类讨论思想”应用． 分类讨论是一种逻辑方法，是一种重 要的数学
思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、 积零为整的思想与归
类整理的方法． 进行分类讨论时， 我们要遵循的 原则是：分类的对象是确定
的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科 学地划分，分清主次，不越级讨论。其
中最重要的一条是 “不漏不重”．
4.
掌握“函数与方程思想” ．函数与方程思想是最重要，最基本的数 学思想方
法之一， 它在整个高中数学中的地位与作用很高． 函数的思 想包括运用函数的
概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．

第1课函数的概念
【考点导读】
1.
体会：函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，对应关系在刻画函数 概
念中的作用；2.了解：构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.
3.应用：理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数. 【基
础练习】
1 ?设有函数组：①y x , y 、x
2

:②y
(x
0)
, , y
(x 0),
的有 ②④⑤.
2｝，从M到
N
有四种对应如图所示:
y
x, y yx
3

:③ y
丘
,
y
X
x
x
⑤
y Igx 1
,
y lg
.其中表示同一个函数
O | 1
③
2 x
10

其中能表示为M到
N
的函数关系的有
3.写出下列函数定义域：
(1)
f (x) 1 3x
的定义域为
1
R
_②③
一

;
(2)
f(x)
——的定义域为 _______________ {xx 1}
(0,)
(1,0)
x 1
----- 1
(3)
f (x) Vx1
一的定义域为 ______________
[ 1,0)
x
4)
f(x)
學』L的定义域为 _______________ .
(
Jx| x
, 1)
4 .已知三个函数:(1)
y
P
^
; (2)y
2
n
丽
(
n N*)
; (3)y log
Q
P(x). 写
Q(x)
(x)
出使各函数式有意义时，
P(x)
,
Q(x)
的约束条件:

(1) _______
⑵
_______
⑶
_________ (x) 0 P(x) 0 Q(x) 0
且
P(x) 0
且
Q(x) 1
5?写出下列函数值域：
(1)
f(x) XX
,
X {1,2,3}
;值域是
{2,6,12}
.
⑵
f(x) x
2
2x 2
；值域是
[1,)
.
⑶
f(x) x 1
,
x (1,2]
.值域是
(2,3]
.
【范例解析】
例
1?
设有函数组：①
f (x) -
1
,
g(x) x 1
:②
f (x) i
厂
jri
,
g(x) x
2

1
；
③
f (x)
后
~2x 1
，
g(x) x 1
:④
f (x) 2x 1
，
g(t) 2t 1
.其中表 示同一个函数的有③④.
分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同. 解：在①中，
f(x)
的定义域为
{XX 1}
,
g(x)
的定义域为
R
，故不是同 一函数；在②中，
f(x)
的定义域为
[1, )
,
g(x)
的定义域为
(,1] [1,)
，故不是同一函数；③④是同一函数.
点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数.而 当一个函数定义域
和对应法则确定时， 它的值域也就确定，故判断两
个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即 可.
例
2?
求下列函数的定义域：
①
y
—一
Jx
2

1
； ②
f(x)
x
；
2
x

2x0
解：①由题意得：

2
，
解得
X 1
且
x 2
或
x 1
且
x 2
,
x
2
1 0,
故定义域为
(，
2) ( 2, 1] [1,2) (2,)
.
② 由题意得：
log
1
(2 x) 0
,解得
1 x 2
，故定义域为
(1,2)
.
2
例
3?
求下列函数的值域：


(1
)

x 4x 2
,
x [0,3)
；
x
—(x R)
；
x 1
2
2
(2)
(3)
分析: 运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域.
(1
)
解：
y


x 4x 2 (x 2)
2 2
2
,
[0,3)
, 函数的值域为
[2,2]
；









(2)
解法一:
由
y^
x 1
Q0
1
2

x
2

1 —
x
1
1
，
1
x
2
1
[0,1)
.
1
，则
Q 1
x 1
1
,故函数值域为
解法二：由
y
2


冷J，则
x
2

x 1
1
，故函数值域为
[0,1)
.






(3)
解：令
t (t 0
)
,则
x
当
t 0
时，
y 2
，故函数值域为
[2,)
.
t
2
1
,
y t
2
2t 1 (t
1)
2
2
,
点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法;
逆求法利用
函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值
范围.
【反馈演练】

1
函数
f(X
)
=
Ji 2
x
的定义域是 __________________ .
(
2. -------------------------
函数
f(x)
2
1

,0]
的定义域
为
,2 (
2
,3) --------------------
.
log ( x 4x 3)
2
3.
函数
y
亠
(x R)
的值域为
(0,
2
1 x
.
.
4
4.
函数
y 2x 3 J13 4x
的值域为
，
4]

-1 3
____________ [ —,0) (—,1]
5
. 函数
y v'log
0.5
(4x
2
3x)
的定义域为
4

.
6?
记函数
f(x)=
2
x

3

的定义域为
A
,
g(x)=lg[(x
-
a
—
1)(2a
—
x)](a<1)
x 1
的定义域为
B .
(1)
求
A
；
(2)
若
B A
,求实数
a
的取值范围.
解：
(
1 )
由
2
— ―
3
>0
得
>0
x<
—
1
或
x
> 1
x 1 x 1
即
A=(
— ^,—
1)
U
[1
,
+
x).
(2)
由
(x
—
a
—
1)(2a
—
x)>0,
得
(x
—
a
—
1)(x
—
2a)<0
.
?
a<1
,
??? a+1>2a
,
B=(2a
,
a+1)
.
v
B A
,
? 2a>l
或
a+1
—
1
,即
a
』或
a
<—
2
,而
a<1
,
1
、
2
? ?— ^a<1
^或
a
冬
-2,
2
故当
B A
时，实数
a
的取值范围是
(
一
x,
2]
U
[-,1)
.
2

第2课函数的表示方法
【考点导读】
1会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法，列表法，解析法)表示函数.
2. 求解析式一般有四种情况：(1)根据某个实际问题须建立一种函数关系式；(2) 给
出函数特征，利用待定系数法求解析式；(3)换元法求解析式；(4)解方程组 法求解
析式.
【基础练习】
1.设函数
f(x) 2x 3

g(x) 3x 5
,郞
7
(
g(x))
6 x 4
；
g(f (x))
2.设函数
1
f(x)
C
，
g(x)

2
,则
g( 1)
f[g(2)]
f[g(x)]
1
x
2

3
f(3) 7
,
f(5)
1 --------------
3.已知函数
f (x)
是一次函数,
|x 1| 2,|x| 1,
1
,则
f(1)
15
4 .设 f( x) =
1
，贝U f[f(-)]二
13
|x| 1 2
，
1 x
2

y
；丨
x 11
3 3
(0
<
x
<
2)
2 2
5.如图所示的图象所表示的函数解析式为
【范例解析】


例1.已知二次函数
y f(x)
的最小值等于4，且
f(0)
式.
分析：给出函数特征，可用待定系数法求解.
c 6,
ax
2
bx c(a 0)
，贝U 4a 2b c
4ac b
2

4a
故所求的解析式为
f (x) 2x
2
4x 6
.
f(2) 6
，求
f (x)
的解析
a
2,
6,解得b
4,
c
6.
4.
解法
设
f (x)