高中数学基本初等函数知识点梳理-高中数学函数知识点归纳

第二章 基本初等函数(Ⅰ)
〖2.1〗指数函数
【2.1.1】指数与指数幂的运算
（1）根式的概念
①如果
x
n
?a,a?R,x?R,n?1
，且
n?N
?
，那么
x< br>叫做
a
的
n
次方根．当
n
是奇
数时，
a
的
n
次方根用符号
n
a
表示；当
n
是 偶数时，正数
a
的正的
n
次方根用符号
n
a
表示， 负的
n
次方根用符号
?
n
a
表示；0的
n
次方根是0；负数
a
没有
n
次方根．
②式子
n
a
叫做根式，这里
n
叫做根指数，
a
叫做被开方数．当
n为奇数时，
a
为任
意实数；当
n
为偶数时，
a?0．
③根式的性质：
(
n
a)
n
?a
；当n
n
为奇数时，
n
a
n
?a
；当
n< br>为偶数时，
?
a (a?0)
．
a
n
?|a|?
?
?
?a (a?0)
（2）分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是：
a?
n
a
m
(a?0,m,n?N
?
,
且
n?1)
．0的 正分
数指数幂等于0．
?
m
n
m
n
②正数的负 分数指数幂的意义是：
a
1
m
1
?()
n
?
n
()
m
(a?0,m,n?N
?
,
且
aan?1)
．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
（3）分数指数幂的运算性质
①
a?a?a
r
rsr?s
(a?0,r,s?R)
②
(a
r
)
s
?a
rs
(a?0,r,s?R)< br>
③
(ab)?ab(a?0,b?0,r?R)



1
rr

【2.1.2】指数函数及其性质
（4）指数函数
函数名称
定义
指数函数
函数
y?a
x
(a?0
且
a?1)
叫做指数函数
a?1

0?a?1

y?a
x
y?a
x
y


y
y?1

(0,1)
y?1
(0,1)
O
图象





定义域
值域
过定点

x
O

x
R

(0,??)

图象过定点
(0,1)
，即当
x?0
时，
y?1
．
2

奇偶性
单调性 在
R
上是增函数
非奇非偶
在
R
上是减函数
函数值的
变化情况
a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)

a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)
a
x< br>?1(x?0)

a
x
?1(x?0)
a
变化对 图象的影响 在第一象限内，
a
越大图象越高；在第二象限内，
a
越大图象越低．

〖2.2〗对数函数
【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义
①若
a
x
?N(a?0,且a?1)< br>，则
x
叫做以
a
为底
N
的对数，记作
x?l og
a
N
，其中
a
叫
做底数，
N
叫做真数 ．
②负数和零没有对数．
③对数式与指数式的互化：
x?log
a
N?a
x
?N(a?0,a?1,N?0)
．
（2）几个重要的对数恒等 式：
log
a
1?0
，
log
a
a?1
，
log
a
a
b
?b
．
（3）常用对数与自然对数
常用对数：
lgN
，即
log
10
N
；自然对数：
lnN
，即
log
e
N
（其中
e?2.71828
…）．
（4）对数的运算性质 如果
a?0,a?1,M?0,N?0
，那么
①加法：
log
a< br>M?log
a
N?log
a
(MN)
②减法：
log
a
M?log
a
N?log
a
③数乘：nlog
a
M?log
a
M
n
(n?R)
④
a
n
⑤
log
a
b
M?
log
a
N
M

N
?N

n
log
b< br>N
log
a
M(b?0,n?R)
⑥换底公式：
log
a
N?(b?0,且b?1)

b
log
b
a

3

函数
对数函数
名称
定义
函数
y?log
a
x(a ?0
且
a?1)
叫做对数函数
a?1

0?a?1

y
x

?1
y?log
a
x
y
x?1

y?log
a
x

(1,0)

O
图象
(1,0)
x
O






x
定义域
值域
过定点
奇偶性
单调性 在
(0,??)
上是增函数
(0,??)

R

图象过定点
(1,0)
，即当
x?1
时，
y?0
．
非奇非偶
在
(0,??)
上是减函数
函数值的
变化情况
log
a
x?0(x?1)
log
a
x ?0(x?1)
log
a
x?0(0?x?1)

log
a
x?0(x?1)
log
a
x?0(x?1)
log
ax?0(0?x?1)

a
变化对 图象的影响 在第一象限内，
a
越大图象越靠低；在第四象限内，
a
越大图象越靠高．
4

【2.2.2】对数函数及其性质




〖2.3〗幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数
y ?x
?
叫做幂函数，其中
x
为自变量，
?
是常数．
（2）幂函数的图象













5

（3）幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分 布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，
图象分布在第一、二象限(图象关于y
轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图
象关于原点对称)；是非奇非偶函 数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在
(0,??)
都有 定义，并且图象都通过点
(1,1)
．
③单调性：如果
?
?0< br>，则幂函数的图象过原点，并且在
[0,??)
上为增函数．如果
?
? 0
，
则幂函数的图象在
(0,??)
上为减函数，在第一象限内，图象无限接 近
x
轴与
y
轴．
④奇偶性：当
?
为奇数时，幂函 数为奇函数，当
?
为偶数时，幂函数为偶函数．
⑤图象特征：幂函数
y?x
?
,x?(0,??)
，当
?
?1
时，若
0?x? 1
，其图象在直线
y?x
下
方，若
x?1
，其图象在直线< br>y?x
上方，当
?
?1
时，若
0?x?1
，其图象在 直线
y?x
上
方，若
x?1
，其图象在直线
y?x
下方．

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