高中数学函数与方程综合问题

函数与方程综合
A组题
1.已知实数
a
，
b满足
2?3
，
3?2
，则函数
f
?
x
?
?a
x
?x?b
的零点所在的区间是（ ）
ab
A.
?
?2，?1
?
B.
?
?1,0
?
C.
?
0,1
?
D.
?
1,2
?

【解析】
2
a
?3，
3
b
?2
，
?
a?1
，
0?b?1
，又
f
?
x
?
?a
x
?x?b
，
?
f
?
?1
?
?
1
?1?b?0
，
a
f
?
0
?
?1?b?0
，从而由零点存在定理 可知
f
?
x
?
在区间
?
?1,0
?
上存在零点．故选B.
x
2.已知
x
1
是方程
xlnx ?2
的根,
x
2
是
xe?2
的根,则
x
1
x
2
?
(

)
A. 1 B. 错误！未找到引用源。 C. 2 D. 4
【解析】
x
1
是函数
y?lnx
与
y?
2 2
x
图象交点的横坐标，
x
2
是函数
y?e
与y?
图象交点的横坐标，又因为
xx
x

y?lnx
与
y?e
互为反函数，它们的图象关于直线
y?x
对称，则
x1
x
2
?2
.故选C.
3.设函数
f(x)?
1
x?lnx
，则函数
f(x)
( ）
3
1e
A．在区间
(,1)
，
(1,e)
内均有零点 B．在区间
(,1)
，
(1,e)
内均无零点
C．在区间
(,1)
内有零点，在
(1,e)
内无零点 D．在区间
(,1)
内无零点，在(
(1,e)
内有零点
【解析】
f(x)?
1
e
1
e
1
e
111
x?lnx
的定义域为
(0,??)
，
f
'
(x)??，故
f(x)
在
(0,3)
上递减，又
33x

f()?0,f(1)?0,f(e)?0
，故选D.
4. 已知函数
f< br>?
x
?
满足：
f
1
e
?
x?1?
??f
?
x
?
，且
f
?
x
?
是偶函数，当
x?
?
0,1
?
时，
f
?
x
?
?x
2
，若在区间
?
?1,3
?内，
?
?
1
?
?
?
?
1
?< br>?
?
11
?
??
函数
g
?
x
?
?f
?
x
?
?kx?k
有4个零点，则实数
k
的取值范围是（ ）
A．
?
0,??
?
B．
?
0,
?
C．
?
0,
?
D．
?
,
?

43
24
【解析】由
f(x?1)??f(x)?f(x)
的周期为
2
，又
f
?
x
?
是偶函数，且
x?
?
0,1
?
时，
f
?
x
?
?x
，故可示意
f(x)
2
在
[?1,3]
上图象，
g
?
x
?
?f
?
x
?
?kx?k
有4个零点 转化为函数
f(x)
与
y?k(x?1)
在
x?
[?1,3 ]
上有4个交点，
由图象知
k?(0,]
，故选C.
5.已知方程
9?2?3?3k?1?0
有两个实根，则实数
k
的取值范围为（ ）

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xx
1
4

A.
[,1]
B.
(,]
C.
[,??)
D.[1, ＋∞)
x
【解析】设
t?3
，原题转化为函数
g(t)?t?2t?3k?1
在
t?(0,??)
上有两个零点（可以相同），则
2
2
3
12
33
2
3
?
4?4(3k?1)?0
12
?

?
2?0
解得
k?(,]
，故选B.
33
?3k?1?0
?
6.已知函数
f(x)(?xR
满，若函数
y?
)
足
f(?x)?2?f(x
m
x?1
与
y?f( x)
图像的交点为
x
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),???,(x
m
,y
m
),
则
?
(x
i
?y
i
)?
（ ）
i?1
A. 0 B.
m
C.
2m
D.
4m

【解析】 由于
f
?
?x
?
?f
?
x
?
?2
，不妨设
f
?
x
?
?x?1
，与函数
y?
x?11
?1?
的交点为
?
1,2
?
,
?
?1,0
?
，故
xx
x
1
?x
2
?y
1
?y
2
?2
，故选B.（客观上函数
y?f(x)< br>与
y?
关于
(0,1)
对称
x?1
有共同的对称中心
(0,1)
，所以它们的所有交点
x
7.若函数
f
(
x
)
=

1?x
2
-x-m
无零点,则实数
m
的取值范围是 .
【解析】原题转化为函数
y?1?x
2
所表示的上半圆与斜率为1的平行 线系
y?x?m
没有公共点的问题，
画图，可得
m??1
或
m?2
.
8.设常数
a
使 方程
sinx?3cosx?a
在闭区间
[0,2
?
]
上恰 有三个解
x
1
,x
2
,x
3
，则
x
1
?x
2
?x
3
?
.
)，作出函数
y?2sin(x?)
的图象，再作直线
y?a
，从图象可知
33
?
?
?
7
?
7
?
函数
y?2sin(x?)
在
[0,]
上递增，在
[,]
上 递减，在
[,2
?
]
上递增，只有当
a?3
时，才有
36666
?
7
?
三个交点，
x
1
?0,x
2
?,x
3
?2
?
，所以
x< br>1
?x
2
?x
3
?

33
.
【解析】原方程可变为
a?2sin(x?
x?m
?
|x|,
9. 已知函数
f(x)?
?
2
其中
m?0
，若存在实数
b
，使得关于
x
的方程
f(x)?b
有三个不同的根，
x ?2mx?4m,x?m
?
?
?
则
m
的取值范围是____ ____________.
【解析】画出函数图象如下图所示：

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由图所示，要
f
?
x
?< br>?b
有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即
m?m
2?2m?m?4m,m
2
?3m?0
，解得
m?3
.

10.已知函数
f
?
x
?
=x+bx?4
满足f
?
1?x
?
?f
?
1?x
?
，且函 数
g
?
x
?
?a
2x
?
a?0且a?1< br>?
与函数
y?log
3
x
互为
反函数.
（ 1）求函数
f
?
x
?
、
g
?
x
?
解析式；
（2）函数
y?fg
?
x
?
?m
在
x?
?
-1,2
?
上有零点，求实数
m
的取值 范围.
【解析】⑴由
f
?
1?x
?
?f
?
1?x
?
知函数的对称轴
?
所以
f
?
x
?
=x?2x?4
，由函数
g
?
x
?
?a
2x
??
b
=1
，故
b??2

2
?a?0且a?1
?
与函数
y?log
3
x
互为反函数.
知
a?3
故
g
?
x
?
?3
x
x2
⑵令
t?3
因为
x?
?
?1,2
?
，所以
t?
?
,9
?
，则
y?fg
?
x
?
?m
=
t?2t?4?m

3
?1
?
?
?
??
在
t?
?
,9
?
上有零点即函数
y?m
与
y?t?2t?4
在
t?
?
,9
?
时有交点，而
y?
?
t?1
?
?3
，
t?
?
,9
?

333
2
?
1
?
?
?
?
1
?
?
?
2
?
1
?
?
?
所以当
t?1
时，
x?0
，
f
?
x
?
min
?3

当
t?9
时，此时
x?2
，
f
?
x
?max
?67

因此
m
的取值范围是
?
3,67
?
．






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B组题
1.设函数
f(x)?
1
2，
g(x)??x?bx
．若
y?f(x)
的图象与
y?g(x )
的图象有且仅有两个不同的公共点
x
A(x
1
,y
1)
，
B(x
2
,y
2
)
，则下列判断正确的是 ( )
A．
x
1
?x
2
?0
，
y
1
?y
2
?0
B．
x
1
?x
2
?0
，
y
1
?y
2
?0

C．
x
1
?x
2
?0
，
y
1
?y
2
?0
D．
x
1
?x2
?0
，
y
1
?y
2
?0

【解析】依题意，示意图象，可知
x
1
?x
2
?0
，且x
1
,x
2
异号，而
y
1
?y
2?
x
x
1
?x
2
?0
，故选B.
x
1
x
2
2.已知函数
f(x)?xe?ax?1
,则关于< br>f(x)
的零点叙述正确的是( )
A.当
a?0
时,函数
f(x)
有两个零点 B.函数
f(x)
必有一个零点是正数
C.当
a?0
时,函数
f(x)
有两个零点 D.当
a?0
时,函数
f(x)
只有一个零点
【解析】函数
f(x)?xe?ax?1
的零点可转化为函数
y?e
与
y?a?
2
xx
1
图象的交点情况研究，选B.
x
3.已知函数
f (x)?2mx?2(4?m)x?1
，
g(x)?mx
，若对于任意实数
x
，
f(x)
与
g(x)
的值至少有一个为正数,
则实数m
的取值范围是(

)
A.
(0,2)
B.
(0,8)
C.
(2,8)
D.
(??,0)

【解析】依题意，
m?0
不符；
m? 0
时，则对于
?x?[0,??)
，当
x???
时，显然
f (x)?0
，不符；
m?0
时，
?
4?m
?0
4? m
?
则对于
?x?(??,0]
，
f(x)?0
，由
f(0)?1?0
，需对称轴：
x?
，
?0
或
?2
2
?
4(4?m)
2
?8m?0
?
解得x?(0,8)
，故选B.
4.函数
f(x)?lg(x?1)?sin2x
的零点个数为 (

)
A. 9 B. 10 C.
11 D. 12
【解析】示意函数
y ?lg(|x|?1)
与
y?sin2x
的图象可确定选D.
?
?
sin(x)?1,x?0
?
5. 【天水一中2015届高考 第五次模拟考试理12】.已知函数
f(x)?
?
的图象上关于
y
轴
2
?
?
log
a
x(a?0,a?1),x?0

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