高一数学必修1-函数的概念及基本性质

§1·函数的概念
（一）函数的有关概念
设A，B是非空的数集，如果按某 个确定的对应关系
f
，使对于集合A中的任意一个
x
，在集合B中都有唯一< br>确定的数
f(x)
和它对应，那么就称
f:A?B
为从集合A到集合B 的函数，记作
y?f(x)
， x
?
A
其中
x
叫自变量，
x
的取值范围A叫做函数
y?f(x)
的定义域；与
x< br>的值相对应的
y
的值叫做函数值，函数值的集
合
?
f(x)| x?A
?
（
?
B）叫做函数y=f(x)的值域.
函数符号
y?f(x)
表示“y是x的函数”，有时简记作函数
f(x)
.
(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应
f:A?B

这里 A, B 为非空的数集.
（2）A：定义域，原象的集合；
?
f(x)|x?A< br>?
：值域，象的集合,其中
?
f(x)|x?A
?
? B ；
f
：对应法则 ，
x
?A ，
y
?B
（3）函数符号：
y?f(x)

?
y
是
x
的函数，简记
f(x)

（二）已学函数的定义域和值域
1．一次函数
f(x)?ax?b(a?0)
:定义域R, 值域R;
2． 反比例函
f(x)?
k
(k?0)
:定义域
?
x|x?0< br>?
, 值域
?
x|x?0
?
;
x
2
3．二次函数
f(x)?ax?bx?c
(a?0)
:定义域R
??4ac?b
2
?
4ac?b
2
?
值域：当
a? 0
时，
?
y|y?
?
；当
a?0
时，
?< br>y|y?
?

4a
?
4a
???
（三）函数的值：关于函数值
f(a)

例：
f(x)
=
x
+3x+1 则 f(2)=
2
+3×2+1=11
注意：1?在
y?f(x)
中
f
表示对应法则，不同的函数其含义不一样
2
2
2?
f(x)
不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”
3?
f(x)
与
f(a)
是不同的，前者为变数，后者为常数
（四）函数的三要素： 对应法则
f
、定义域A、值域
?
f(x)|x?A
?

只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数
（五）区间的概念和记号：
在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.

1

设a,b
?
R ,且a①满足不等式a< br>?
x
?
b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
②满足不等式a③满足不等式a
?
x?
b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b) ,(a，b].
这里的实数a和b叫做相应区间的端点.
这样实数集R也可用区间表示为(-
?,+
?
),“
?
”读作“无穷大”，“-
?
”读作“负 无穷大”，“+
?
”读作“正
无穷大”.还可把满足x
?
a，x>a ，x
?
b，x?
)
，（a， +
?
）,(-
?
,b
]
,(-
?
,b).
【例题解析】
例1 判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？为什么？
22
(1)x＋y＝1 (2)x＋y＝1 (3)
y?
1?x
(4)y=
x?1?-x

x?1






例2 求下列函数的定义域：
（1）
f(x)?1?x?







2
例3 已知函数
f(x)
=3
x
-5x+2，求f(3), f(-
2
), f(a+1).
1
x?4
(2)
f(x)?
(x?1)
0
x?x











(x?0)
?
0
例4 已知
f(x)?
?
?
?

(x?0)
，求
f(1)
，
f(?1)
，
f(0)
，
f{f[f(?1) ]}

?
x?1
(x?0)
?


2

x
3
讨论：函数y=x、y=(
x
)、y=
2
、y=
4
x4
、y=
x
2
有何关系？
x

2





例5 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
⑴
y
1
?
(x?3)(x?5)
x?3
y
2?x?5
⑵
y
1
?x?1x?1

y
2
?(x?1)(x?1)







练习：下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
①
f(x)
=
(x?1)
0
；
g(x)
= 1.
②
f(x)
=
x
；
g(x)
=
x
2
.
③
f(x)
=
x
；
g(x)
=
(x?1)
2
.
④
f(x)
= |
x
| ；
g(x)
=
x
2
.
例6 已知函数
f(x)
=4x+3，g(x)= x,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].







22222
复合函数：设
f
(
x
)=2
x
?3，
g
(
x
)=
x
+2，则称
f
[
g
(
x
)] =2(
x
+2)?3=2
x
+1（或
g
[
f
(
x< br>)] =(2
x
?3)+2=4
x
?12
x
+11） 为
复合函数
例7求下列函数的值域（用区间表示）：
（1）y＝x
2
－3x＋4； （2）f(x)?x
2
?2x?4；
?5x?2
（3）y＝； （4）
f(x)?
.
x?3x?3




3
2
2

例8
※ 动手试试

1. 若
f(x?1)?2x
2
?1
，求
f(x)
.









2. 一次函 数
f(x)
满足
f[f(x)]?1?2x
，求
f(x)
.








练习 已知二 次函数f(x)=ax
2
+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f(x－1)=f(3－ x)且方程f(x)=2x有等根，求f(x)的解
析式.













函数的概念习题：
1．如下图可作为函数
?f(x)
的图像的是( )


y

y

y

y

O

x

（A）
O

（B）
x


O


x

（C）
4
O

（D）
x

2.对于函数
y?f(x)
，以下说法正确的有 （ ）
①
y
是
x
的函数；②对于不同的
x,y< br>的值也不同；③
f(a)
表示当
x?a
时函数
f(x)
的值，是一个常量；④
f(x)
一
定可以用一个具体的式子表示出来。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3．在下列四组函数中，
f
（
x
）与
g
（
x
）表示同一函数的是（ ）
x
2
－1
A．
f
（
x
）＝
x
－1，
g
（
x
）＝
x＋1
B．
f
（
x
）＝｜
x
＋1｜，g
（
x
）＝
?
?
x＋1x
?
－1
－1－xx＜－1
?
C．
f
（
x
）＝
x
＋1，
x
∈R，
g
（
x
）＝
x
＋1，
x
∈
Z

2
D．
f
（
x
）＝
x
，
g
（
x
）＝
(x)
< br>4．拟定从甲地到乙地通话
m
分钟的电话费由
f
（
m
）＝1.06×（0.5·［
m
］＋1）（元）决定，其中
m
＞0，［
m
］是大
于或等于
m
的最小整数，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的 电话费为（ ）
A．3.71元 B．3.97元 C．4.24元 D．4.77元
?
x?2 (x≤?1)
?
2
5.设
f(x)?
?
x (?1?x?2)
，若
f(x)?3
，则
x?
。
?
2x (x≥2)
?
6. 求下列函数的定义域，要求把结果写成区间形式．
（1）
y＝





(x－1)
0
－x
2
＋x＋2
；（2 ）
y＝
1
x＋2
；（3）
y＝

2x＋1＋x－1
x－x
7．设
f(x)
的定义域是[?3，
2
]，求函数< br>f(x?2)
的定义域





8．已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x?1, 求f(x)的解析式



5

x
2
9．已知函数
f
（
x
）＝
2
1＋x
（1）求
f
（
x
）+
f()
的值






（2）
f
（1）＋
f
（2）＋
f
（




















1
x
1
11
）＋
f
（3）＋
f
（）＋
f
（4）＋
f
（）＝ ．
3
24
§2·函数的单调性
【知识要点】
1．增函数与减函数
对于函数
f(x)
的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值
x
1
,x
2
，⑴若当
x
1
?x
2
时，都有< br>f(x
1
)?f(x
2
)
,则
说
f(x)< br>在这个区间上是增函数（如图1）；⑵若当
x
1
?x
2
时，都 有
f(x
1
)?f(x
2
)
,则说
f(x)
在这个区间上是减函
数（如图2）.




y

y

y
f

(
x

)

f

(
x

)

2

f

(
x

)

f
(

x

1

)

f

(
x

2

)

6


x
1


图2

f

(
x

)

f

(
x

)

f

(
x

)

1

2

x
1


x
2


图3
f

(
x

)

1

x

1

x

图1

2

x

x
2


x

x

说明：函数是增函数还是减函数 ，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区
间上不是增函数.例如 函数
y?x
（图1），当
x?[0,??)
时是增函数，当在
x?( ??,0)
时是减函数.
2．单调性与单调区间
若函数y=f(x)在某个区间是 增函数或减函数，则就说函数
f(x)
在这一区间具有单调性，这一区间叫做函数
f( x)
的
单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
2

【例题解析】
例1.利用图像判断函数的单调性
1.指出下列函数的单调区间及在该区间上函数的单调性

y





0
-5 5 x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4



y
-
x
5




2.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间：
（1）
y?|x-1|
+2|x+1|； （2）
y?|x?4x?3|

2









例2.单调函数的定义
1.根据单调 函数的定义，判断函数
f(x)??2x
2
?3x?c
在
(??,)
上的单调性。

7
3
4

2.利用定义判断函数
f(x)?










3.求证
f(x)?x?











4．讨论二次函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)
的单调性，并用单调性的定义 对其中一种加以证明















例3.二次函数
1.已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，试比较大小：
(1)f(6)与f(4) (2)f(2)与f(
15
)

8
2
x?a
(a?b?0)
在
(?b,??)
上的单调性.
x?b
1
的(0,1)上是减函数，在
[1,??)
是增函数.
x

2.讨论函数
f(x)?x
2
?2ax?3
在 (-2,2)内的单调性.






23.二次函数f(x)＝x＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围











例4.分式函数
已知
f(x)?














3x?1
，指出
f(x)
的单调区间。
x?2
函数的单调性练习
1．在区间
(??,0)
上为增函数的是


9
（ ）

A．
y?1

2

C．
y??x?2x?1

2
x

1?x
2
D．
y?1?x

B．
y?
2． 函数
f
（
x
）＝－
x
＋2（
a
－1）x
＋2在（－∞，4）上是增函数，则
a
的范围是（ ）
A．
a
≥5
A．
[3,8]

B．
a
≥3 C．
a
≤3
C．
[0,5]

D．
a
≤－5
（ ）
D．
[?2,3]

3．函数
f(x)
在区间
[?2,3]
是增函数，则
y?f(x?5)
的递增区间是
B．
[?7,?2]

4．函数
f(x)
在
(a,b)
和
(c,d)
都是增函数，若
x
1
?(a,b),x
2?(c,d)
，且
x
1
?x
2
那么（ ）
A．
f(x
1
)?f(x
2
)
B．
f(x
1
)?f(x
2
)

C．
f(x
1
)?f(x
2
)
D．无法确定
5．函数
y?(2k?1)x?b
在实数集上是增函数，则 （
A．
k??
1
2
B．
k??
1
2
C．
b?0
D．
b?0

6．已知
f(x)
在实数集上是减函数，若
a?b?0
，则下列正确的是 （
A．
f(a)?f(b)??[f(a)?f(b)]
B．
f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)

C．
f(a)?f(b)??[f(a)?f(b)]
D．
f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)

7．画出函数
f(x) ?2x
2
?3|x|
的图像，并写出其单调减区间.







8.利用函数单调性的定义，判断函数
f(x)? x?
4
x
在（
??
,-2）上的单调性.












§3·单调性与最大（小）值
探究任务：函数最大（小）值的概念
思考：先完成下表，
函数 最高点 最低点
f(x)??2x?3


f(x)??2x?3
,
x?[?1,2]



10
）
）

f(x)?x
2
?2x?1





f(x)?x
2
?2x?1
,
x?[?2,2]


【知识要点】：
设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意 的x∈I，都有f(x)≤M；存在x
0
∈I，
使得f(x
0
) = M. 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）.

试试：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value）的定义．


※ 典型例题

例1一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规 律是
h?130t?5t
2
，那么什么时刻距离地面的
高度达到最大？最大是 多少？










变式：经过多少秒后炮弹落地？









试试：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？









3
例2求
y?
在区间[3，6]上的最大值和最小值.
x?2










3?x
变式：求
y?,x?[3,6]
的最大值和最小值.
x?2



11

试试：
1．函数
y?(x?1)
2
?2,x?[0,1]
的最小值为 ，最大值为 . 如果是
x?[?2,1]
呢？



2.已知函数
y?x?2x?3
在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取 值范围是
A、[ 1，+∞） B、[0，2] C、（-∞，2] D、[1，2]











2
※ 动手试试

练1. 用多种方法求函数
y?2x?x?1
最小值.







变式：求
y?x?1?x
的值域.









练2. 一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右：
欲使每天的的营业额最高，应如何定价？

房价（元） 住房率（%）

160 55

140 65

120 75

100 85


12

※ 知识拓展

求二次函数在闭区间上的值域，需根据对称轴与闭区间的位置关系，结合函数图象进行研究. 例如求< br>aaam?nm?naa
f(x)??x
2
?ax
在区间
[m ,n]
上的值域，则先求得对称轴
x?
，再分
?m
、
m??
、
??n
、
?n
2222222
等四种情况,由图象观察得 解.

当堂检测
1. 函数
f(x)?2x?x
2
的最大值是（ ）.
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
2. 函数
y?|x?1|?2
的最小值是（ ）.
A. 0 B. －1 C. 2 D. 3
3. 函数
y?x?x?2
的最小值是（ ）.
A. 0 B. 2 C. 4 D.
2

4. 已知函数
f(x)
的图象关 于
y
轴对称，且在区间
(??,0)
上，当
x??1
时，< br>f(x)
有最小值3，则在区间
(0,??)
上，
当
x? 时，
f(x)
有最 值为 .
5. 函数
y??x
2
?1,x?[?1,2]
的最大值为 ，最小值为 .
单调性与最大（小）值课后作业
1. 作出函数
y?x
2
?2x?3
的简图，研究当自变量
x
在下列范围内取值时 的最大值与最小值．
（1）
?1?x?0
； （2）
0?x?3
；（3）
x?(??,??)
.














2. 如图，把截面半径为10 cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为
x
，面积为
y
，试将
y
表示成
x
的函数，
并画出函数 的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？














13

3．求下列函数的值域
（1）
y?






4．若函数
y?x?3x?4
的定义域为
[0,m]
,值域为
[?
2
3?x5
2
y?1?2x?x
（2）
y?
（3）（4）
y?2??x?4x

2
4?x
2x?4x?3
25
，?4]
，则
m
的取值范围是（ ）
4
A．
?
0,4
?
B．
[，4]
C．
[，

??）
3]
D．
[，





数学中的运动哲学—函数的故事—之一
3
2
3
2
3
2
对闭眼打转问题的探讨
公 元1896年，挪威生理学家古德贝尔对闭眼打转的问题进行了深入的研究。他收集了大量事例后分析说：这一切
都是由于人自身两条腿在作怪！长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的 步子长一
段微不足道的距离。而正是这一段很小的步差X，导致了这个人走出一个半径为y的大圈子！
现在我们来研究一下x与y之间的函数关系：
假定某个两脚踏线间相隔为d。很明显，当人在 打圈子时，两只脚实际上走出了两个半径相差为d的同心圆。
设该人平均步长为1。那么，一方面这个人 外脚比内脚多走路程
另一方面，这段路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积，即：
化简得
对一般的人，d＝0.1米，1＝0.7米，代入得（单位米）
这就是所求 的迷路人打圈子的半径公式。今设迷路人两脚差为0.1毫米，仅此微小的差异，就足以使他在大约
三公 里的范围内绕圈子！
上述公式中变量x，y之间的关系，在数学上称为反比例函数关系。所
弯曲的曲线，数学上称为等边双曲线，在工业、国防、科技等领域都很有用场。
下面我们看一个有趣的游戏：
在世界著名的水都威厄斯，有个马尔克广场。广场的一端有一座 宽82米的雄伟教堂。教堂的前面是一片开阔
地。这片开阔地经常吸引着四方游人到这里做一种奇特的游 戏：把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端教堂走去，
看谁能到达教堂的正前面！
奇怪的是 ，尽管这段距离只有175米，但却没有一名游客能幸运地做到这一点！全都走成了弧线，或左或右，
偏 斜到了一边！
为什么是这样呢？我们就先来计算一下，当人们闭起眼睛，从广场一端中央的M点抵达教 堂CD的最小的弧
半径是多少。如下图，注意到矩形ABCD边BC=175（米），AM＝MB= 41（米）。那么上述问题，无疑相当于几
何中
∵BC
2
=R
2< br>-（R-MB）
2
=MB（2R-MB）
∴175
2
=41×（2R-41）
R=394

14

这就是说，游人要想成功，他所走的弧线半径必须不小于 394米。那么就让我们再计算一下，要达到上述要
求，游人的两脚的步差需要什么限制。根据公式：
这表明游人的两只脚的步差必须小于0.35毫米，否则是不可能成功的！然而，在闭上眼睛的前提下， 使两脚
的步差这么小一般人是办不到的，这便是在游戏中为什么没有人能被蒙上眼睛走到教堂前面的道理 。












§4·函数的奇偶性
【知识要点】
一.函数的奇偶性定义
偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ，都有
f(?x)?f(x)
，那么f(x)就叫做偶函数．
奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有
f(?x)
注意：
函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
由函数的奇偶 性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是
定义域内 的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
所以判断函数的奇偶性时，首先要看其定义域是否关于原点 对称.如函数
f(x)?x,x?(?1,1]
，则此函数
2
??f(x)< br>，那么f(x)就叫做奇函数．
f(x)
即不是奇函数，也不是偶函数.
二．具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；
奇函数的图象关于原点对称．
【例题解析】
例1 判别下列函数的奇偶性：
（1）
f(x)?
3
x
4
； （2）
f(x)?
3
x?





15
1
； （3）f(x)＝x
2
, x∈[-2,3].
3
x

2
?
(x?0)
?
x?x
(4)
f(x)?
?
.
2
(x?0)
?
?
?x?x










试试：判别下列函数的奇偶性：
小结：判别方法，先看定义域是否
关于原点对称， 再计算
f(?x)
，
并与
f(x)
进行比较.
?
1
2
?
2
x?1,x?0
1
（1）
f
(< br>x
)＝
x
＋； （2）
f
(
x
)＝ |
x
＋1|+|
x
－1|；
(3)
f(x)?
?

1
2
x
??x?1,x?0
?
2





例2.已知函数
f(x)
既是奇函数也是偶函数,求 证:
f(x)?0
.







例3.
（1）已知
f(x)
是
R
上的偶函数， 且当
x?[0,??)
时，
f(x)?x?2x?3
，
则
f(x)
的解析式为 .



16
2

（2 ）已知
f(x)
是
R
上的奇函数，且当
x?[0,??)
时 ，
f(x)?x(1?
则
f(x)
的解析式为 .




例4.
若
f(x)?ax
3
?bx?5
，且
f(?7)?17
，求
f(7)
.

3
x)
，







例5．已知f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是减函数，判断f(x)的(-∞,0) 上的单调性，并给出证明.















变式：已知f (x)是偶函数，且在[a,b]上是减函数，试判断f(x)在[-b,-a]上的单调性，并给出证明.













17

※ 知识拓展

由图象对称性 可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相
反.
※ 知识拓展：奇函数的一个性质
证明：奇函数在
x?0
处有定义，则f(0)?0
，即图象一定经过原点.







【随堂检测】
1. 对于定义域是R的任意奇函数
f(x)
有（ ）.
A．
f(x)?f(?x)?0
B．
f(x)?f(?x)?0

C．
f(x)f(?x)?0
D．
f(0)?0

2. 已知
f(x)
是定义
(??,? ?)
上的奇函数，且
f(x)
在
?
0,??
?
上是 减函数. 下列关系式中正确的是（
A.
f(5)?f(?5)
B.
f(4)?f(3)

C.
f(?2)?f(2)
D.
f(?8)?f(8)

3. 下列说法错误的是（ ）.
A.
f(x)?x?
1
x
是奇函数
B.
f(x)?|x?2|
是偶函数
C.
f(x)?0,x?[?6,6]
既是奇函数，又是偶函数
f(x)?
x< br>3
?x
2
D.
x?1
既不是奇函数，又不是偶函数
4．下列说法
①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；
③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)
其中正确的数是

18
）

5. 函数
f(x)?|x?2|?|x?2|
的奇偶性是 .
6. 已知
f
(
x
)是奇函数，且在[3,7]是增函数且最大 值为4，那么
f
(
x
)在[-7,-3]上是 函数，且最 值
为 .




函数的奇偶性课后练习
1．函数
f(x)?x?1?1?x
的奇偶性是 （ ）
A．奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
2.已知奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值是5，那么f(x )在区间[-7,-3]上是( )
A.增函数且最小值是-5 B. 增函数且最大值是-5
C.减函数且最小值是-5 D. 减函数且最大值是-5
3.若函数
f(x)(f(x)?0)
为奇函数，则必有
A．
f(x)?f(?x)?0
B .
f(x)?f(?x)?0

C.
f(x)?f(?x)
D.
f(x)?f(?x)

4．已知f（x）是奇函数，当x＞0，f（x）=x（1-x），则当x＜0时，f（x）等于（ ）
A．x（x+1） B. x（x-1）
C．x（1-x） D . -x（1+x）
5.已知
f(x)?ax
2
?bx?3a?b
是偶函数，且其定义域为，则_____ ，
6.判断下列函数的奇偶性：
○
1

f(x)?
2x
2
?2x
x?1
； ○
2

f(x)?
1?x
2
|x?2|?2
；





○
3

f(x)?a
（
x?R
） ○
4

f(x)?
?
?
x(1?x)
?
x(1?x)

x?0,
x?0.






19
_______

7.已知函数
f(x)
对一切
x,y?R
，都有
f(x?y )?f(x)?f(y)
，
（1）求证：
f(x)
是奇函数；（2）若f(?3)?a
，用
a
表示
f(12)
．









9.若函数
f(x)?





x?a
在
[?1,1]
上是奇函数,试确定
f(x)
的解析式.
2
x?bx?1



§5·函数的基本性质习题课
问题1：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数？
问题2：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数的定义？

【例1】已知函数
f(x)?1?x
2
.
（1）判断
f(x)
的奇偶性，并证明；
（2）讨论
f(x)
的单调性，并证明.







20

【例2】利用函数的性质，作函数
f(x)?x?




















1
的图像.
x
※ 知识拓展

对勾函数：形如
性质：
（1）奇函数
（2）增区间：
(??,?
（3）减区间：
[?
f(x)?ax?< br>b
(a?0,b?0)
这样的函数，称作对勾函数，由图像得名。
x
bb
]
和，
[,??)
；
aa
bb
,0)
和
(0,]
变化趋势：在y轴左边，增减，在y轴右边，减增，是两个勾。

aa
【例3】 作出函数y＝x
2
－2|x|－3的图象，指出单调区间及单调性.









小结：利用偶函数性质，先作y轴右边，再对称作.
变式：y＝|x
2
－2x－3| 的图象如何作？








21

反思：
如何由
f(x)
的图象，得到f(|x|)
、
|f(x)|
的图象？
※ 知识拓展

形如
f(|x|)
与
|f(x)|
的含绝对值的函数，可以化分段函数分段 作图，还可由对称变换得到图象.
f(|x|)
的图象
可由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧.
|f(x)|
的图象，先作
f(x )
的图象，
再将x轴下方的图象沿x轴对折到x轴上方.


【例4】
1.已知
f(x)
是定义
(??,??)
上的奇 函数，且
f(x)
在
?
0,??
?
上是减函数. 下列关系式中正确的是
A.
f(5)?f(?5)
B.
f(4)?f(3)
C.
f(?2)?f(2)
D.
f(?8)?f(8)



2.已知
f(x)
是定义
(??,??)
上的奇函数，且
f(x)
在
(0,??)< br>上是减函数. 下列关系式中正确的是
A.
f(5)?f(?5)
B.
f(4)?f(3)
C.
f(?2)?f(2)
D.
f(?8)?f(8)


3．若
f(x)
是偶函数，其定义域为
?
??,??
?
，且 在
?
0,??
?
上是减函数，则
f(?
3
)与f( a
2
?2a?
5
22
)
的大小关系是（
A ．
f(?
3
)
>
f(a
2
?2a?
5)
B．
f(?
3
)
<
f(a
2
?2a?
5
2222
)

C．
f(?
32
53
2
5
2
)
?
f(a?2a?
2
)
D．
f(?
2
)
?
f(a?2a?
2
)

4.设函数
f(x)
是定义在
R
上的奇函数，且在区间
(? ?,0]
上是减函数，实数
a
满足不等式
f(a?3)?f(2a?1)?0
，
求实数
a
的取值范围.











【例5】已知函数
f(x)??x
2
?8x
，求
f(x)
在区间
?
t,t?1
?
上的最大值
h(t)
.












22
）

函数的基本性质练习
一、选择题：
1．下面说法正确的选项
A．函数的单调区间可以是函数的定义域
B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间
C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称
D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象
2．函数
y?x?bx?c
(x?(??,1))
是单调函数时，
b
的取值范围
2
（ ）
（ ）
A．
b??2
B．
b??2
C ．
b??2
D．
b??2

3．如果偶函数在
[a,b]
具有最大值，那么该函数在
[?b,?a]
有 （ ）
A．最大值 B．最小值 C ．没有最大值 D． 没有最小值
4．函数
y?x|x|?px
，
x?R
是 （ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．不具有奇偶函数 D．与
p
有关
5．函数
f(x)?x?1?x?1
，那么
f(x)
的奇偶性是 （ ）
A．奇函数 B．既不是奇函数也不是偶函数
C．偶函数 D．既是奇函数也是偶函数
6．函数
y?x(|x|?1)
(|
x
|≤3)的奇偶性是 （ ）
A．奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数
7．定义在R上的偶函数
f(x)
，满 足
f(x?1)??f(x)
，且在区间
[?1,0]
上为递增，则 （ ）
A．
f(3)?f(2)?f(2)
B．
f(2)?f(3)?f(2)

C．
f(3)?f(2)?f(2)
D．
f(2)?f(2)?f(3)


8．设
f(x)
是
R
上的任意函数，下列叙述正确的是 （ ）
A.
f(x)f(?x)
是奇函数 B.
f(x)f(?x)
是奇函数
C.
f(x)?f(?x)
是偶函数 D.
f(x)?f(?x)
是偶函数
9．设
f(x)
是R上的奇函数，
f(x?2)??f(x)
，当
0?x?1
时，
f(x)?x
，则
f(47.5)
等于（
（A）0.5 （B）
?0.5
（C）1.5 （D）
?1.5
10．若函数
f(x)
是定义在R上的奇函数，则函数
F(x)?f(x)?f( x)
的图象关于（ ）
（A）
x
轴对称 （B）
y
轴对称 （C）原点对称 （D）以上均不对
二、填空题：
11．函数
f(x)
在R上为奇函数，且
f(x)? x?1,x?0
，则当
x?0
，
f(x)?
.

12．函数
y??x
2
?|x|
，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 .

13．构造一个满足下面三个条件的函数实例，
①函数在
(??,?1)
上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为0； .



23




）

14．已知
f
?
x
?
是定义在R上的奇函数 ，且当
x?0
时，
f
?
x
?
?x
2
?3
，则
f(x)
= .

15．已知< br>f(x)?x?ax?bx?x
，且
f(?2)?10
，那么
f(2)
等于___________

三、解答题：
16.讨论函数
f (x)?
532
ax?11
(a?)
在
(?2,??)
上的 单调性．
x?22








17. 已知函数
f(x)?x(
1
x
2
?1< br>?
1
2
)
.
（1）求函数
f(x)
的定义域；





2）判断函数
f(x)
的奇偶性并证明你的结论.
24
（