高中数学存在性与恒成立-高中数学课本必修一知识点
高中数学：选修1-1知识点总结
第一章 简单逻辑用语
1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.
2、“若
p
，则q
”形式的命题中的
p
称为命题的条件，
q
称为命题的结论.
3、原命题：“若
p
，则
q
” 逆命题：
“若
q
，则
p
”
否命题：“若
?p
，则
?q
”
逆否命题：“若
?q
，则
?p
”
4、四种命题的真假性之间的关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
5、若
p?q，则
p
是
q
的充分条件，
q
是
p
的必
要条件．
若
p?q
，则
p
是
q
的充要条件（充分
必要条件）．
利用集合间的包含关系： 例如：若
A?B
，则A是B的充分条件或B
是A的必要条件；
若A=B，则A是B的充要条件；
6、逻辑联结词：⑴且(
and
)
：命题形式
p?q
；⑵或（
or
）：命题形式
p?q
；
⑶非（
not
）：命题形式
?p
.
p
真
真
假
假
q
真
假
真
假
p?q
p?q
?p
假
假
真
真
真
假
假
假
真
真
真
假
7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“
?
”表示；
全称命题
p
：
?x?M,p(x)
；
全称命题
p
的否定
?
p
：
?x?M,?p(x)
。
- 1 -
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“
?
”表示；
特称命题
p
：
?x?M,p(x)
；
特称命题
p
的否定
?
p
：
?x?M,?p(x)
；
第二章 圆锥曲线
1、平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之和等于常数（大于
F
）的点的轨迹称为椭圆．
1<
br>F
2
即：
|
MF
1
|
?
|
MF
2
|
?
2
a
,(2
a?
|
F
1
F
2
|)
。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上 焦点在
y
轴上
图形
标准方程
范围
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
2
ab
y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
2
ab
?a?x?a
且
?b?y?b
?b?x?b
且
?a?y?a
?
1
?
0
,?a
?
、
?
2
?
0,a
?
?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?
顶点
?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?
?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a
F
1<
br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?<
br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?
F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?
关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?
aa
- 2 -
3、平面内与两个定点
F
1，
F
2
的距离之差的绝对值等于常数（小于
F
）的点的轨迹称为
1
F
2
双曲线．即：
||
MF
1
|
?
|
MF
2
||
?
2
a
,(2
a?
|
F
1
F
2
|)
。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
4、双曲线的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上 焦点在
y
轴上
图形
标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
渐近线方程
y??
b
x
a
y
2
x
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?
2
ab
x
2
y2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?
2
ab
x??a
或
x?a
，
y?R
y??a
或
y?a
，
x?R
?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?
虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a
F
1
?
?c,0
?
、<
br>F
2
?
c,0
?
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?
F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2<
br>?b
2
?
关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?
aa
y??
a
x
b
5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
6、平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点
F
称为抛<
br>物线的焦点，定直线
l
称为抛物线的准线．
7、抛物线的几何性质：
- 3 -
标准方
程
图形
y
2
?2px
y
2
??2px
x
2
?2py
x
2
??2py
?
p?0
?
?
p?0
?
?
p?0
?
?
p?0
?
顶点
?
0,0
?
x
轴 对称轴
?
p
?
F
?
,0
?
?
2
?
y
轴
p
??
F
?
0,
?
2
??p
??
F
?
0,
?
?
2
??
焦点
准线方
程
离心率
?
p
?
F
?
?
,0
?
?
2
?
x??
p
2
x?
p
2
y??
p
2
y?
p
2
e?1
范围
x?0
x?0
y?0
y?0
8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、
?
两点的线段??
，称为抛物线的“通
径”，即
???2p
．
9、焦半径公式：
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y
2
?2px
?
p?0
?上，焦点为
F
，则
?F?x
0
?
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
x
2
?2py
?
p?0
?
上，焦点为
F
，则
?F?y<
br>0
?
p
；
2
p
；
2
- 4 -
第三章 导数及其应用
1、函
数
f
?
x
?
从
x
1
到
x
2
的平均变化率：
f
?
x
2
?
?f
?x
1
?
x
2
?x
1
0
2
、导数定义：
f
?
x
?
在点
x
0
处的导数
记作
y
?
x?x
?f
?
(x
0
)?lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
；．
?x?0<
br>?x
3、函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
处的导数的几何意义是曲线
率．
4、常见函数的导数公式：
y?f<
br>?
x
?
在点
?
?
x
0
,f
?
x
0
?
?
处的切线的斜
①
C
'
?0
；②
(x
n
)
'
?nx
n?1
；
③
(sinx)
'
?cosx
；④
(cosx)
'
??sinx
；
⑤
(
a
x
)
'
?
a
x
ln
a
；⑥
(e
x
)
'
?
e
x
；
⑦
(log
a
x)
'
?
5、导数运算法则：
?<
br>?f
?
?
x
?
?g
?
?
x
?
fx?gx
?
????
?
1
?
?
??
；
?
?
2
?
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
??
?f
?
?
x
?
g
?
x
?<
br>?f
?
x
?
g
?
?
x
?
；
11
；⑧
(lnx)
'
?
xlnax
?
f
?
x
?
?
?
f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
g
?
x
?
?0
??
??
?
2
?
?
3
?
?
g<
br>?
x
?
?
?
g
?
x
?
?<
br>?
．
6、在某个区间
?
a,b
?
内，若
f
?
?
x
?
?0
，则函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调递增；
若
f
?
?
x
?
?0
，则函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调
递减．
7、求函数
y?f
?
x
?
的极值的方法是：解方程
f
?
?
x
?
?0
．当
f
?
?
x
0
?
?0
时：
?
1
?
如
果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0
?
是极大值；
?
2
?
如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
??0
，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那么<
br>f
?
x
0
?
是极小值．
8、求函数
y?f
?
x
?
在
?
a,b
?
上的最大值与最小值
的步骤是：
?
1
?
求函数
y?f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的极值；
- 5 -
?
2
?
将函数
y?f
?
x
?
的各
极值与端点处的函数值
f
?
a
?
，
f
?
b
?
比较，其中最大的一个是最大
值，最小的一个是最小值．
9、导数在实际问题中的应用：最优化问题。
- 6 -