上门家教杭州滨江高中数学-2018天津高中数学模拟题
选修1-1模拟测试题
一、选择题
1.
若p、q是两个简单命题,“p或q”的否定是真命题,则必有( )
A.p真q真
2.“cos2α=-
B.p假q假 C.p真q假 D.p假q真
5
?
3
”是“α=kπ+,k∈Z”的( )
1?
2
A.必要不充分条件
件
B.充分不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条
3.
设
f(x)?sinx?cosx
,那么( )
A.
f
?
(x)?cosx?sinx
B
D.
f
?
(x)??cosx?sinx
.
f
?
(x)?cosx?sinx
C.
f
?<
br>(x)??cosx?sinx
4.曲线f(x)=x
3
+x-2在点P
0
处的切线平行于直线y=4x-1,则点P
0
的坐标为( )
A.(1,0) B.(2,8) C.(1,0)和(-1,-4)
D.(2,8)和(-1,-4)
5.平面内有一长度为2的线段AB和一动点P,若满足|PA|+
|PB|=6,则|PA|的取值范围是
A.[1,4] B.[1,6]
C.[2,6] D.[2,4]
6.已知2x+y=0是双曲线x
2
-λy<
br>2
=1的一条渐近线,则双曲线的离心率为( )
A.
2
B.
3
C.
5
D.2
7.抛物线y
2<
br>=2px的准线与对称轴相交于点S,PQ为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦,
则∠PSQ的大小是( )
A.
?
?
B.
2
?
?
C.
?
?
D.与p的大小有关
8.已知命题p: “|x-2|≥2”,命题“q:x∈Z”,如果“p且q”
与“非q”同时为假命题,则满足
条件的x为( )
A.{x|x≥3或x≤-1,x
?
Z}
B.{x|-1≤x≤3,x
?
Z} C.{-1,0,1,2,3}
D.{1,2,3}
9.函数f(x)=x
3
+ax-2在区间(1,+∞)内是增
函数,则实数a的取值范围是( )
A.[3,+∞] B.[-3,+∞]
C.(-3,+∞) D.(-∞,-3)
aa
1
,0),C(,0),且满足条
件sinC-sinB=sinA,则动
2
22
10.若△ABC中A为动点,B、C
为定点,B(-
点A的轨迹方程是( )
16x
2
16y
2
A.
2
-=1(y≠0)
3a
2
a
16y
2
16y
2
B.
2
+ =1(x≠0)
a3a
2
16x
2
16y
2
C.
-=1的左支(y≠0)
2
2
3a
a
16x
2
16y
2
D. -=1的右支(y≠0)
22
3a
a
11.设a>0,f(x)=ax
2
+bx+c,曲线
y=f(x)在点P(x
0
,f(x
0
))处切线的倾斜角的取值范围为[0
,
到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为( )
1
A.[0,]
a
?
],则P
?
B.[0,
1b
]
C.[0,||]
2a2a
D.[0,|
b?1
|]
2ax
2
y
2
12.已知双曲线
2
-
2
=
1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,点P在双曲线的右支
上,且
ab
|PF
1
|=4|PF
2
|,则此双曲线的离心
率e的最大值为( )
5
A.
3
B.
4
C.2
3
D.
7
3
二、填空题
13.
对命题
p
:
?x?R,x
7
?7
x
?0
,
则
?p
是______.
14.函数f(x)=x+
1?x
的单调减区间为__________.
15.抛物线y
2
=
1
x关于直线x-y=0对称的抛物线的焦点坐标是__
________.
4
9
x
2
y
2
16.椭圆+
=1上有3个不同的点A(x
1
,y
1
)、B(4,)、C(x
3<
br>,y
3
),它们与点F(4,0)的距离成等
4
259
差数列
,则x
1
+x
3
=__________.
三、解答题
17.已知函数f(x)=4x
3
+ax
2
+bx+5的图象在x=1处的切
线方程为y=-12x,且f(1)=-12.
(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[-3,1]上的最值.
18.设
P:关于x的不等式a
x
>1的解集是{x|x<0}.Q:函数y=lg(ax
2<
br>-x+a)的定义域为R.如果P和
Q有且仅有一个正确,求a的取值范围.
x
2
19.已知x∈R,求证:cosx≥1-.
2
20. 某商
场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品零售价定为
P
元,则销售量
Q(单
位:件)与零售价
P
(单位:元)有如下关系:
Q?8300?17
0P?P
2
.问该商品零售价定为
多少时毛利润
L
最大,并求出最大
毛利润(毛利润
?
销售收入
?
进货支出).
21.已知a∈R,求函数f(x)=x
2
e
ax
的单调区间.
22.已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点A(0,
2
)为
圆心,1为半径的圆相切,又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若Q是双曲线C上的任一点,F
1
、F<
br>2
为双曲线C的左、右两个焦点,从F
1
引∠F
1
QF
2
的平分
线的垂线,垂足为N,试求点N的轨迹方程.
参考答案:1. B
“p或q”的否定是“
2.A
由“α=kπ+
p且q”,∴p、q是真命题,p、q都是假命题.
5
?
5
?
33
,k∈Z”
?
“cos2α=cos=-”,又“cos2α
=-”
?
“α=k
??
?
22
π±
5
?<
br>5
?
3
,k∈Z”,
∴“cos2α=-”是“α=kπ+,k∈Z”的必要不充分条件.
????
2
3. 4.C f′(x
0
)=3x
0
2
+1=4,∴x
0
=±1.
5.D ∵|PA|+|PB|=6>2,∴P点的轨迹为一椭圆,∴3-1≤|PA|≤3+1.
6.C x
2
-λy
2
=1的渐近线方程为y=±
11
?
x,
1
b
2
∴=2.∴λ=.∴e=
1
?
2
=
1?4
=
5
.
4
a
?
7.B
由|SF|=|PF|=|QF|,知△PSQ为直角三角形.
8.D
“p且q”与“非q”同时为假命题则p假q真.
9.B f′(x)=3x
2
+
a,令3x
2
+a>0,∴a>-3x
2
〔x∈(1,+∞)〕.∴a≥-3
.
1
10.D
由正弦定理知c-b=a,再由双曲线的定义知为双曲线的右支(c>b).
2
11.B
∵f′(x)=2ax+b,∴k=2ax
0
+b∈[0,1],
∴d=|x
0
+
b
|2ax
0
?b|
k1
|==.∴0≤d
≤.
2a2a2a
2a
10
a
2c5
|F
1F
2
||PF
1
|?|PF
2
|
3
1
2.A e==≤==.
2a
|PF
1
|?|PF
2
|
|PF
1
|?|PF
2
|
2a
3
13.
?x?R,x
7
?7
x
?0
;14.
[
31
,1];15. (0, );16. 8.
416
13.这是一个全称命题,其否定是存在性命题.
14.定义域为{x|x≤1},f′(x)=1+
15. y
2
=
13?1
21?x?1
=<0,
1?x
≤, 得x≥.
4<
br>2
21?x
21?x
111
x的焦点F(,0),F关于x-y=0的
对称点为(0, ).
41616
4494
x
1
,
|BF|=5-×4=,|CF|=5-x
3
,
5555
944
由
题知2|BF|=|AF|+|CF|,∴2×=5-x
1
+5-x
3
.∴x
1
+x
3
=8.
555
16.∵|AF|=a-ex1
=5-
17.解:(1)∵f′(x)=12x
2
+2ax+b,而y
=f(x)在x=1处的切线方程为y=-12x,
?
k??12?f
?
(
1)
?
12?2a?b??12
∴
?
?
?
?
a=-3,b=-18,故f(x)=4x
3
-3x
2
-18x+5. <
br>?
f(1)??12
?
4?a?b?5??12
3
(2)∵f
′(x)=12x
2
-6x-18=6(x+1)(2x-3),令f′(x)=0,解得临界
点为x
1
=-1,x
2
=.
2
那么f(x)的增减性及极值如下:
x
f′(x)的符号
f(x)的增减性
(-∞,-1)
+
递增
-1
0
极大值16
(-1,
3
)
2
3
2
3
(,+∞)
2
-
递减
0
极小值-
61
4
+
递增
∵临界点x
1
=-1属于[-3,1],且f(-1)=16,又f(-3)=-76,f(1)=-12,
∴函数f(x)在[-3,1]上的最大值为16,最小值为-76.
18.解:使P正确的
a的取值范围是0?
ax
2
-x+a对一切实数x恒大于
0.
?
a?0
1
当a=0时,ax
2
-x+a=-x不能
对一切实数恒大于0,故Q正确
?
?
a>.
?
2
2
?
?????
α
?0
若P正确而Q不正确,则0故所求的a
的取值范围是(0,
1
;若Q正确而P不正确,则a≥1.
2
1
]∪[1,+∞).
2
x
2
19.证明:令
f(x)=cosx-1+,则f′(x)=x-sinx,
2
当x>0时,由单位圆中的正
弦线知必有x>sinx,∴f′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上是增函数.
又∵f(0)=0,且f(x)连续,∴f(x)在区间[0,+∞]内的最小值 f(0)=0, <
br>x
2
x
2
(?x)
2
即f(x)≥0,得cosx-
1+≥0,即cosx≥1-.∵f(-x)=cos(-x)-1+=f(x),
222
x
2
∴f(x)为偶函数,即当x∈(-∞,0)时,f(x)≥0仍成立,∴对任意的x∈R,
都有cosx≥1-.
2
20.
解:由题意知
L(P)?PQ?20Q?Q(P?20)
?(8300?
170P?P
2
)(P?20)??P
3
?150P
2
?1
1700P?166000
,
?L
?
(P)??3P
2
?
300P?11700
.
令
L
?
(P)?0
,得
P
?30
或
P??130
(舍).
此时
L(30)?
23000
.因为在
P?30
附近的左侧
L
?
(P)?0<
br>,右侧
L
?
(P)?0
,
?L(30)
是极大值.
根据实际意义知,
L(30)
是最大值,即零售价定为每件30元时,有最大毛利润为
23000元.
21.解:函数f(x)的导数f′(x)=2xe
ax
+ax2
e
ax
=(2x+ax
2
)e
ax
.
①当a=0时,若x<0,则f′(x)<0,若x>0,则f′(x)>0.
所以当a=0时,函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数. <
br>22
②当a>0时,由2x+ax
2
>0,解得x<-或x>0,由2x+ax
2
<0,解得-
22
所以当a>0时,函数f(x
)在区间(-∞,-)内为增函数,在区间(-,0)内为减函数,在区间(0,+∞)
aa
内
为增函数.
22
,由2x+ax
2
<0,解得x<0或x>-.
aa
22
所以当a<0时,函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,-)内
为增函数,在区间 (-,+
aa
③当a<0时,由2x+ax
2
>0,解得
0
22.解:(1)设双曲线C的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0,
∵该直线与圆x<
br>2
+(y-
2
)
2
=1相切,∴
2
1?k<
br>2
=1,即k=±1.
x
2
y
2
∴双曲线C的两条
渐近线方程为y=±x,故设双曲线C的方程为
2
-
2
=1.
a<
br>a
又双曲线C的一个焦点为(
2
,0),∴2a
2
=2,a<
br>2
=1.∴双曲线C的方程为x
2
-y
2
=1.
(
2)若Q在双曲线的右支上,则延长QF
2
到T,使|QT|=|QF
1
|.
若Q在双曲线的左支上,则在QF
2
上取一点T,使|QT|=|QF
1|.
根据双曲线的定义|TF
2
|=2,所以点T在以F
2
(
2
,0)为圆心,2为半径的圆上,即点T的轨迹方程
是(x-
2
)
2
+y
2
=4(y≠0). ①
由于点
N是线段F
1
T的中点,设N(x,y)、T(x
T
,y
T
),
?
x
T
?2
x?,
?
?
x?2x?
2,
?
2
则
?
即
?
T
代入①并整理得点N
的轨迹方程为x
2
+y
2
=1(y≠0).
?
y
T
?2y.
?
y?
y
T
,
?
2
?
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