高中数学 1-3-1~3

1．3 简单的逻辑联结词
1.3.1 且( and)
1.3.2 或(or)
1.3.3 非(not)

双基达标 （限时20分钟）
1．命题：“方程x
2
－1＝0的解是x＝±1”，其使用逻辑联结词的情况是
( )．
A．使用了逻辑联结词“且”
C．使用了逻辑联结词“非”
B．使用了逻辑联结词“或”
D．没有使用逻辑联结词
解析 “x＝±1”可以写成“x＝1或x＝－1”，故选B.
答案 B
2．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是( )．
A．“p或q”为假，“非q”为假
B．“p或q”为真，“非q”为假
C．“p且q”为假，“非p”为假
D．“p且q”为真，“p或q”为假
解析 显然p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，
“非q”为假，故选B.
答案 B
3．已知p：??{0}，q：{1}∈{1，2}．由他们构成的新命题“p∧q ”，“p∨q”，
“綈p”中，真命题有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 容易判断命题p：??{0}是真命题，命题q：{1}∈{1，2}是假命题，
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所以p∧q是假命题．p∨q真命题，綈p是假命题，故选A.
答案 A
4．命题p：方向相同的两个向量共线，q：方向相反的两个向量共线，则命题“p∨q”为________．
解析 方向相同的两个向量共线或方向相反的两个向量共线，即“方向相同
或相反的两个向量共线”．
答案 方向相同或相反的两个向量共线
5．若命题“綈p∨綈q”为假命题，则命题“p∧q ”是______命题(用“真”、
“假”填空)．
解析 命题“綈p∨綈q”为假，其否定为“p∧q”，是真命题．
答案 真
6．分别写出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题：
(1)p：π是无理数，q：e是有理数；
(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内 角的和，q：三角形的外角大于
与它不相邻的任一个内角．
解 (1)“p∧q”：π是无理数且e是有理数．
“p∨q”：π是无理数或e是有理数．
“綈p”：π不是无理数．
(2)“p∧q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 且大于与它不相
邻的任一个内角．
“p∨q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的
任一个内角．
“綈p”：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和．
综合提高 （限时25分钟）
7．若命题p：x∈A∪B，则綈p是( )．
A．x?A或x?B
C．x∈A∩B
B．x?A且x?B
D．x?A或x∈B
解析 因x∈A∪B?x∈A或x∈B，所以綈p为x?A且x?B，故选B.
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答案 B
8．已知命题s：“函数y＝sin x是周期函数且是奇函数”，则
①命题s是“p∧q”命题；
②命题s是真命题；
③命题綈s：函数y＝sin x不是周期函数且不是奇函数；
④命题綈s是假命题．
其中，正确叙述的个数是( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 命题s是“p∧q”命题，①正确；命题s是真命题，②正确，④正确；
命题綈s：函数y＝sin x不是周期函数或不是奇函数，③不正确．
答案 D
9．命题“若aa
<2
b
”的否命题为________，命题的否定为________．
解析 命题“若aa
<2
b
”的否命题为“若a≥b，则 2
a
≥2
b
”，命题的
否定为“若aa
≥2
b
”．
答案 若a≥b，则2
a
≥2
b
若aa
≥2
b

10．对于函数①f(x)＝|x＋2| ；②f(x)＝(x－2)
2
；③f(x)＝cos(x－2)．有命题p：f(x
＋ 2)是偶函数；命题q：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，
能使p∧q 为真命题的所有函数的序号是______．
解析 对于①，f(x＋2)＝|x＋4|不是偶函数， 故p为假命题；对于②，f(x＋2)
＝x
2
是偶函数，则p为真命题：f(x)＝( x－2)
2
在(－∞，2)上是减函数，在(2，
＋∞)上是增函数，则q为真命题， 故p∧q为真命题；对于③，f(x)＝cos(x－
2)显然不是(2，＋∞)上的增函数，故q为假 命题．故填②.
答案 ②
11．已知命题p：1∈{x|x
2
2
(1)若“p或q”为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．
解 若p为真，则1∈{x|x
2
2
1；若q为真，则2∈{x|x
2
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即a>4.
(1)若“p或q”为真，则a>1或a>4，即a>1.故实数a的取值范围是(1，＋∞)．
(2)若“p且q”为真，则a>1且a>4，即a>4.故实数a的取值范围是(4，＋∞)． 12．(创新拓展)已知命题p：x
1
和x
2
是方程x
2
－mx－2＝0的两个实根，不等式
a
2
－5a－3≥|x
1
－x
2
|对任意实数m∈[－1，1]恒成立；命题q：不等式ax
2
＋2x－1>0有解．若p∧q是假命题，綈p也是假命题．求实数a的取值范围．
解 ∵p∧q是假命题，綈p是假命题，∴命题p是真命题，命题q是假命题．
∵x
1
， x
2
是方程x
2
－mx－2＝0的两个实根，
?
x
1
＋x
2
＝m，
∴
?
xx＝－2.
?
12
∴|x
1
－x
2
|＝（x
1
＋x
2
）
2
－4x
1
x
2＝m
2
＋8，
∴当m∈[－1，1]时，|x
1
－x
2
|
max
＝3.
由不等式a
2
－5a－3≥|x
1
－x
2
|对任意实数m∈[－1，1]恒成立，可得a
2
－5a －
3≥3.
∴a≥6或a≤－1，
∴当命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.
命题q：不等式ax
2
＋2x－1>0有解，
①当a>0时，显然有解；
②当a＝0时，2x－1>0有解；
③当a<0时，∵ax
2
＋2x－1>0，∴Δ＝4＋4a>0，
∴－1从而命题q：不等式ax
2
＋2x－1>0有解时，a>－1.
又命题q是假命题，∴a≤－1.
?
a≥6或a≤－1，
综上所述：
?
?a≤－1.
?
a≤－1
所以所求a的取值范围为(－∞，－1]．
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