高中数学中1的代换

浅谈高中数学中“1”的代换

一、在指数函数、对数函数中的应用
1.例1：计算
lg
3
2?l g
3
5?3lg2lg5

解法一：原式
?
?
lg 2?lg5
?
lg
2
2?lg2lg5?lg
2
5?3lg 2lg5


?lg
2
2?lg2lg5?lg
2
5?3lg2lg5


?lg
2
2?2lg2lg5?lg
2
5


?
?
lg2?lg5
?

2
??

?1

解法二：
1?lg2?lg5?lg5?1?lg2
代入原式
原式
?lg
3
2?
?
1?lg2
?
?3lg2
?
1?lg2
?

3

?lg
3
2?1?3lg2?3lg
2
2?lg
3
2?3lg2?3lg
2
2


?1

点评：解法一利用因式分解，解法二利用代入法。
注：
1?lg2?lg5

2. 例2：已知
a?1?b?0
且
a
log
b
?1
，求
x。
解：首先
x?1?0
，即
x?1


a

x?1
log
b
x?1
?1?a
?
，
a>1
x?1

?log
b
?0?log
1
b
，
0
?x?1?1?x?2

综合知
1?x?2

点评：本题充分利用1和0的代换把原式转化为与左边同底数的式子，利用函数
的单调性解之。
注：

1?a
?
?
a?0
?
0?log< br>?
b?0且b?1
?
1
b

二、在三角函数中的应用
1.例3：已知
tan
?
?2
，求
sin2
??cos
2
?
的值。

分析：由
ta n
?
?2
可求出
sin
?
??
借助1的代换来解题 。
2
5
5
，
cos
?
??
代入计算，有 点麻烦，不妨
5
5
2sin
?
cos
?
?cos< br>2
?
解：原式
?

1
2sin
?
c os
?
?cos
2
?
2
cos
?
）
?
（分子分母同除以
22
sin
?
?cos
?2tan
?
?1
?1

2
tan
?
? 1
点评：借助1的代换大大简化了计算量，做完后的心情肯定很爽。

?
注：
1?sin
2
?
?cos
2
?

1?tan15
?
2.例4：求值
1?tan15
?
分析：本题解法众多，其中利用1的代换可言简意赅地解出此题。
tan45
?
?tan15
?
3
???
解：原式< br>?

?tan45?15?tan30?
1?tan45
?
t an15
?
3
??
注：
1?tan45
?

三、在概率中的应用
1.例5：从3名男生和3名女生中任选3人参加演讲比赛，求所选3人 中至少有1
名女生的概率。
分析：记
A
=“所选3人中至少有1名女生”
B
=“所选3人中只有1名女生”
C
=“所选3人中只有2名女生”
D
=“所选3人中只有3名女生”
则B、C、D两两互斥，且A=B+C+D
故
P
?
A?
?P
?
B
?
?P
?
C
?
? P
?
D
?

此法明了，但过程较多
另解：记
A
=“所选3人中至少有1名女生”
则
A
=“所选三人都是男生”
3
C
3
1

PA?
3
?

C
6
20
??

19

20
点评：当直接求某事件的概率较为复杂时，可转求其对立事件的概率。
∴
P
?
A
?
?1?PA?
??
注：
P?
A
?
?1?PA

四、在其它方面的代换作用
11
1．例6：已知
x,y?R
?
且
x?2y?1
，求
?
的最小值。
xy
??
错解：∵
x,y?R
?

∴
x?2y?1?22xy

11
∴
xy?即?8

8xy
111
又
??2?28?42

xyxy
11
∴
?
的最小值为
42

xy
点评：本题错误原因是两次利用基本不等式时等号成立的条件不相同。
11x?2yx?2y
?
正解1：
??

xyxy

?1?
2yx
??2

xy
2yx
?

xy

?3?

?3?22

当且仅当
2yx
2?2
?
且
x?2y?1
,即x=
2
-1，y=时,等号成立。
xy
2
11
故
?
的最小值为
3?22

xy

11
11
正解2：
?
=(x+2y)(
?
)
xy
xy

?1?
2yx
??2

xy
2yx
?

xy

?3?

?3?22

当且仅当
2yx
2?2
?
且
x?2y?1
,即x=
2
-1，y=时,等号成立。
xy
2
11
故
?
的最小值为
3?22

xy
点评：本题中的正解1把分 子中的1换成
x?2y
；正解2则把原式的系数1换成
x?2y
，简捷有效地 解决了问题。
纵观上述各题，都是充分利用1的代换，给计算带来极大的方便，因此希望大
2 2
家牢记：①
1?a
0
?
a?0
?
②
1?log
a
a
?
a?0且a?1
?
③
1?lg2?lg5
④
1?sin
?
?cos
?

⑤
1?tan45
?
⑥
1?P
?
A
?
?PA
。

??