高中数学中“1”的代换

◇高中数学解题方法与技巧◇ 编辑：王刚
高中数学中“1”的代换
高中数学中有不少题目，如果能巧妙地利用1的代换，将大大地简化 计算量和计算过
程，能收到事半功倍的良效。

1．“1”在指数函数、对数函数中的应用
例1：计算
lg
3
2?lg
3
5?3lg2lg5

解法一：原式
?
?
lg2?lg5
?
lg
2
2?lg2lg5?lg
2
5?3lg2lg5

2222

?lg2?lg2lg5?lg5?3lg2lg5?lg2?2lg2lg5?lg5
??
lg2?lg5
?
?1

??
2
解法二：< br>1?lg2?lg5?lg5?1?lg2
代入原式得
lg
3
2?< br>?
1?lg2
?
3
?3lg2
?
1?lg2
?
?lg
3
2?1?3lg2?3lg
2
2?lg
3
2?3lg2?3lg
2
2
?1

点评：解法一利用因式分解，解法二利用代入法。 注：
1?lg2?lg5
例2：已知
a?1?b?0
且
a
log
b
（x?1）< br>?1
，求
x
的取值范围。
解：首先
x?1?0
，即
x?1

又
a
l og
b
（x?1）
?1?a
?
，而
a?1

?log
b
（x?1）?0?log
b
1
，而
0?b?1

?x?1?1?x?2

综合知
1?x?2

点 评：本题充分利用1和0的代换把原式转化为与左边同底数的式子，利用函数的单调性
解之。注：
1?a
?
?
a?0
?
0?log
b
1
?
b?0且b?1
?


2．“1”在三角函数中的应用
2
例3：已知
tan
?
?2
，求
sin2
?
?cos
?
的值。
分析：由
tan
?
?2
可求出
sin
?
??
助1的代换来解题。
2
5
5
，
cos
?
??
代入计算，有点麻烦，不妨借
5
5
1

◇高中数学解题方法与技巧◇ 编辑：王刚 2sin
?
cos
?
?cos
2
?
2sin< br>?
cos
?
?cos
2
?
2
cos
?
） 解：原式
?
（分子分母同除以
?
22
1sin
?
?cos
?

?
2tan
?
?1
?1

2
tan
?
?1
22
点评：借助1的代换大大简化了计算量，做完后的心情肯定很爽。注：< br>1?sin
?
?cos
?

1?tan15
?
例4：求值
?
1?tan15
分析：本题解法众多，其中利用1的代换可言简意赅地解出此题 < br>tan45
?
?tan15
?
3
?
???
解 ：原式
?
注：
1?tan45

?tan45?15?ta n30?
??
1?tan45tan153
??

3．“1”在概率中的应用
例5：从3名男生和3名女生中任选3人参加演讲比赛，求所选3人中至少有1名女生的
概率。
分析：记A=“所选3人中至少有1名女生” B=“所选3人中只有1名女生”
C=“所选3人中只有2名女生” D=“所选3人中只有3名女生”
则B、C、D两两互斥，且A=B+C+D 故
P
?
A
?< br>?P
?
B
?
?P
?
C
?
?P
?
D
?

此法明了，但过程较多
另解：记A=“所选3人中至少有1名女生” 则
A
=“所选三人都是男生”
3
19
C
3
1

PA?
3
?
∴
P
?
A
?
?1?PA?

20
C
6
20
??
??
点评：当直接求某事件的概率较为复杂时，可转求其对立事 件的概率。注：
P
?
A
?
?1?PA

4．“1”在其它方面的代换作用
例6：已知
x,y?R
且
x?2 y?1
，求
?
??
11
?
的最小值。
xy
1
8
1
?8

xy
错解：∵
x,y?R
∴
x?2y?1?22xy
∴
xy?即
?
又
11
111
??2?28?42
∴
?
的最小值为
42

xy
xyxy
2

◇高中数学解题方法与技巧◇ 编辑：王刚
点评：本题错误原因是两次利用基本不等式时等号成立的条件不相同
正解：
11x? 2yx?2y2yx2yx
????1???2?3??
?3?22

xyxyxyxy
当且仅当
2yx11
?
时等号成立 故
?
的最小值为
3?22

xyxy
注：本题中的1换成
x?2y
，简捷有效地解决了问题。
纵观上述各题，都是充分利用1的代换，给计算带来极大的方便，因此希望大家牢记：
①
1?a
0
?
a?0
?
， ②
1?log
a
a
?
a?0且a?1
?
， ③
1?lg2?lg5
，
④
1?sin
?
?cos
?
， ⑤
1?tan45
， ⑥
1?P
?
A
?
?PA

22
?
??

3