高中数学1.1.2集合间的基本关系人教A版必修1

1.1.2集合间的基本关系
」
应用案?◎圖翁钮
[A 基础达标]
aft ?
培优-通关 <
1 . （2019 ?衡水高一检测）已知集合
A
= {1 , 2, 3, 4, 5, 6} ,
B
= {3 , 4, 5,
X
}，若
B
?
A
,
则
X
可以取的值为（ ）
B. 1 , 2, 3, 4, 6
A. 1, 2, 3, 4, 5, 6
C. 1, 2, 3, 6

解析：选D.由
B
?
A
和集合元素的互异性可知，
D. 1 , 2 , 6
X
可以取的值为1 , 2 , 6.
（ ） 2?已知集合
A
= {
x
|
x
2

— 9= 0},则下列式子表示正确的有
① 3 ? A;②{ — 3} ? A;③?? A;④{3 , — 3}? A
A. 4个
C. 2个
B. 3个
D. 1个
解析：选B.根据题意，集合
A
= {
x
|
x
2
— 9= 0} = { — 3 , 3},依次分析4个式子： 对于①3 ? A,
3是集合
A
的元素，正确；
② { — 3} ? A, { — 3}是集合，有{ — 3}?
A
错误；
③ ?? A,空集是任何集合的子集，正确；
④ {3 , — 3}?
A
,任何集合都是其本身的子集，正确；共有 3个正确.
3.已知
a
为给定的实数，那么集合
M
= {
x
|
x
2
— 3
x
—
a
2

+ 2 = 0 ,
x
? R}的子集的个数为（

）
A. 1
C. 4
2 2 2
B. 2
D.不确定
解析：选C.方程
x
— 3
x
—
a
+ 2 = 0的根的判别式 △ = 1 + 4
a
>0 , 所以方程有两个不相等的
实数根，
所以集合
M
有2个元素，所以集合
M
有2
2

= 4个子集.
? k 1 、 ?
k
1 、
4?已知集合
M
=
x
= 2+ 4，
k
? Z>
N
=
x
= - + - ,
k
? Z『，则（ ）
A.
M
=
N
B.
M N
C.
M N
D.
M
与
N
没有相同元素
-1 -

1
k
1 1
解析：选 C.因为2+4 = 4（2
k
+1） , 4+ 2= 4（
k
+ 2），当
k
? Z 时，2
k
+ 1 是奇数，
k
+ 2
是
整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，所以
M N
故选C.
5.已知集合
P
={
x
|
x
2
= 1},
Q=
{
x
|
ax
= 1}，若
Q
?
P,
则
a
的值是（
A. 1
C. 1 或—1
B. — 1
D. 0, 1 或—1
）
k
1
解析：选D.由题意，当
Q
为空集时，
a
= 0,符合题意；当
Q
不是空集时，由
C
?
P
,得
a
=1或
a
=— 1.所以
a
的值为0, 1或一1.
6 .设集合 M= {(
x
,
y
)|
x
+
y
<0,
xy
>0}和
P
= {(
x
,
y
)|
x
<0,
y
<0}，那么
M
与
P
的关系为
解析：因为
xy
>0，所以
x
,
y
同号，又
x
+
y
<0,所以
x
<0,
y
<0，即集合
M
表示第三象限
内的点，而集合
P
也表示第三象限内的点，故
答案：
M= P
2
M= P.
7.已知？ {
x
|
x
+
x
+
a
= 0}，则实数
a
的取值范围是 ______________ .
._ 2 2
解析：因为？ {
x
|
x
+
x
+
a
= 0}，所以方程
x
+
x
+
a
= 0有实数根，即 △ = 1— 4
a
>0,
a
1
答案：
a
< 4
8 .设
A
= {
x
| — 1<
x
w
3},
B
= {
x
|
x
>
a
}，若
A B,
贝
U a
的取值范围是 ____________ .
解析：集合
A
,
B
在数轴上表示如图，由
A B
可求得
a
w—
1,注意端点能否取到是正确 求解的关
键.
答案：
a
w
— 1
9 ?判断下列集合间的关系：
2
(1)
A
= { — 1, 1} ,
B
= {
x
? N|
x
= 1}.
(2)
P
= {
x
|
x
= 2
n
,
n
? Z}, Q= {
x
|
x
= 2(
n
— 1) ,
n
? Z}.
⑶
A
= {
x
|
x
— 3>2} , B= {
x
|2
x
— 5>0}.
2 2
⑷
A
= {
x
|
x
=
a
+ 1,
a
? R},
B
= {
x
|
x
=
a
— 4
a
+ 5,
a
? F}.
解：(1)用列举法表示集合
B
= {1}，故
B
A.
⑵

因为
Q
中
n
? Z,所以
n
— 1 ? Z,
Q
与
P
都表示偶数集，所以
P
=
Q
⑶ 因为
A
= {
x
|
x
— 3>2} = {
x
|
x
>5},
-2 -

J 51
B
= {
x
|2
x
— 5>0}=伙
x
>1,
所以利用数轴判断
A, B
的关系.
如图所示，
A B.
2
(4)因为
A
= {
x
|
x
=
a
+ 1,
a
? R} = {
x
|
x
> 1},
2 2
B
= {
x
|
x
=
a
— 4
a
+ 5,
a
? R} = {
x
|
x
= (
a
— 2) + 1,
a
? R} = {
x
|
x
> 1}，所以
A
=
B.
10. (2019 ?葫芦岛高一检测)已知集合
A
= {
a
,
a
— 1} , B= {2 ,
y
} ,
C
= {
x
|1<
x
— 1<4}.
⑴若
A
=
B
,求
y
的值；
(2)若
A
? C,求
a
的取值范围.
解：⑴若
a
= 2,则
A
= {1 , 2}，所以
y
= 1.
若
a
— 1 = 2，则
a
= 3,
A
= {2 , 3}，所以
y
= 3, 综上，
y
的值为1或3.
(2)因为
C
={
x
|2<
x
<5},
2<
a
<5,
所以*
2<
a
—1<5.
[B 能力提升]
11.
已知集合
A
= {0 , 1} ,
B
= {
x
|
x
?
A
}，则下列关于集合
A
与
B
的关系正确的是(
A.
A
?
B
B.
A B

)
所以3<
a
<5.
C. B A D. A
?
B
解析：选D.因为
x
? A,所以B= {?, {0} , {1} , {0,1}}，则集合
A
= {0 , 1}是集合
B
中 的元素，所
以
A
?
B,
故选D.
12. _____ __________________________________________________ _____________ 已知集合
A
= {
x
|
ax
2
+ 2
x
+
a
= 0}有且仅有2个子集，则实数
a
的值为 __________________________ .
2
解析：因为集合
A
有且仅有2个子集，所以
A
仅有一个元素，即方程
ax
+ 2
x
+
a
= 0(
a
? R) 仅有
一个根.
① 当
a
= 0时，
方程化为2
x
= 0,此时
A
= {0}，符合题意.
② 当
a
^0
时，
由△ = 2
2

— 4 ?
a
?
a
= 0,
即
a
2
= 1,
-3 -

所以
a
=± 1.
此时
A
= { — 1}或
A
= {1}，符合题意.
综上，
a
= 0或
a
=± 1.
答案：0或
±1
13. 已知
A
= {
x
|
x
< — 2或
x
>3},
B
= {
x
|4
x
+
m
<0}，当
A
?
B
时，求实数
m
的取值范围. 解：
集合
A
在数轴上表示如图.
要使
A
?
B,
则集合
B
中的元素必须都是
A
中的元素, 即
B
中元素必须都位于阴影部分内.
那么由4
x
+
m
<0,
即
x
< — 4知，-
4
^— 2,
即
m
o
8,
故实数
m
的取值范围是8.
14.
5},
B
= {
x
|
(1) 若
B
?
A
,求实数
m
的取值范围；
(2) 当
x
? Z时，求
A
的非空真子集的个数；
(3) 当
x
? R时，不存在元素
x
使
x
?
A
且
x
?
B
同时成立，求实数
m
的取值范围.
解：⑴ 当1 > 2
n
— 1，即
m
x
2时，
B
= ?满足题意；
当
K2 m
— 1，
即
n
>2
时，要使
B
?
A
成立，
则有
m
^ 1>— 2 且 2
m
— K5，可得一3<
me
3，即卩 2<
me
3.
综上可知，当
m
e3
时，
B
?
A
(2) 当
x
? Z时，
A
= { — 2，— 1，0，1，2，3，4，5}，共8个元素，故
A
的非空真子集的 个
数为2
8

— 2 = 254(个).
(3) 因为
x
? R，
A
= {
x
| — 2
e
x
e
5}，
B
= {
x
|
m
^ 1
e
x
<2
m
— 1}，且不存在元素
x
使
x
?
A
且
x
?
B
同时成立，
所以
A, B
没有公共元素.
当
m
^ 1 > 2
m
— 1，即卩
m
x
2时，
B
= ?满足题意；
当
m
^
K2
m
— 1, 即卩
n
>2
时，要使
A, B
没有公共元素，
2, 2,
则有芒 或 < 解得
m
> 4.
ri^ 1
>
5 2
m
—
1
v—
2
,
综上所述，当
m
V
2或
m
>4时，不存在元素
x
使
x
?
A
且
x
?
B
同时成立.
(选做题)已知集合
A
= {
x
| — 2<
x
<
1<
x
W2m-
1}.
-4 -