高中数学一个月速成

在大学四年级那一年里， 我前前后后做了八份家教。 我的想法很简单， 就是用最简洁的
方法， 给学生讲明白最本质的道理。 依我看， 以中学数学和物理的深度和广度， 一个智
力正常的学生完全可以在一个月内学完。 我自己曾经就是这么做的。 在我还是中学生的时
候， 每当把自己的这个想法告诉同学， 都会被觉得我在故意炫耀自己， 其实不然。 我一
直相信这些理念和方法的正确性， 只是不能在自己以外的人身上实践。
这一年里， 我连续不断的做家教， 就是希望用家教的形式， 用家教的孩子做试验， 把我
的方法和观念推广出去。

其实最开始并不成功的。 有的学生家长， 总是希望我能搞到几套”葵花宝典”般的题目，
有的家长认为自己的孩子不够聪明， 认为我让孩子超前学习是一种”不会走就会跑”的方
式， 也有的家长认为我说一个月能够学完是一种不负责任的”跳大神”。 我的目的不是挣
钱， 而是育人， 尽管我一度把费用压低到少于20元每小时(北京的物价啊!)， 但是家长们
还是以各种形式婉拒了我。 直到后来， 那一家人的出现。

这是一个在北京的某重点中学读高一的女生， 成绩不靠前， 很讨厌数学和物理。 家
教换过多个， 不见起色。 (我希望如果学生本人看到这段话不会记恨我，我讲的都是你曾
经的真实情况) 大约四个月之后， 她最喜欢的科目变得是物理， 其次是数学， 已经能够
在高一下学期解决一部分<天利38套>高考模拟题。 她的爸爸妈妈为了感谢我， 每次都要
给我塞很多的钱，都被我拒绝， 我只收分内的部分-- 还有什么比看到自己试验成功更喜悦
的呢?

如果时间充裕， 我会补充一些图来说明， 无奈时间有限。 如果编辑读到， 请相信我的话
和经历， 以及我希望为中国的基础教育尽一份力的信念。

我想先谈谈观念的问题。 大家都知道， 看懂解答和会做题是两个层次， 可以说， 这两者
有天壤之别。 数学和物理本身都是非常锻炼思维的学科， 并且是非常注重Fundamental
Principle(基本原理)的科学， 如果只把它们变成了解题训练， 那非常可惜。 因此， 所以
的题目， 都不要看答案。 有的人不喜欢做， 只喜欢看懂， 这是很不好的习惯。 一定要
独立的，不借参照的解出来， 才算真的理解。

从看题到做题，这是一个很难的习惯改变。 在我看来，看题目是一种偷懒的过程， 也
是一种自我欺骗: 看似搞定了一本书或者习题册，心理上有了一些成就感， 或者安慰， 却
照着真正解题还差很远， 只有能真正掌握， 才会理解这种差距有多大。

解题首先请消除畏难心理: 题目不是科学上的开放问题， 而是面向学生的， 所以一定有解
(极少数出错的题目除外)； 所有的背景知识， 名词都是学过的，所以更不必害怕。 所有
的题目都有已知条件， 如果觉得自己不会做， 那么就回忆已经做过的题目和学过的知识，
“由这些已知条件能得到什么题目中没有明说的东西?” 也就是获得求解题目的 ”中间
量” ； 另一方面， 也要仔细品味一下提问， 想想看这个提问是否和已经熟悉的东西等价。
有不少的学生，看到题还没有几分钟，可能也就几秒钟，算了几下， 就觉得做不下去， 说 ”
不会做”， 然后翻看答案， 恍然大悟。 这其实大可不必(要最终杜绝)。 知识都是现有的，
我们要做的， 就是为此岸的已知， 和对岸的答案， 搭上一架架用等式连成的桥。

考试中涉及的知识， 对于已经快要高中毕业的学生来说是很有限的- 差不多每个学生

都知道某个定理， 某个公式- 而真正让学生们拉开差距的， 并非知识， 而是这种”搭桥”
的能力。 高中教育最终面向高考， 就不应该过晚做模拟题， 因为大的题目才能更多的训
练”搭桥”能力； 既然解模拟题是一种能力， 而非知识的罗列， 就要及早开始。

因此要很早就开始做模拟题。 虽然一套题涵盖了所有知识， 但是各个题目却还是相对
独立的: 有一道大题主要考三角函数， 有一道大题主要考解析几何， 云云。 所以在学过
一块知识之后， 就去做模拟题。 这里不主张用那种已经分类的模拟题， 而是像<天利38
套>那样整套的题目， 自己分类之后， 试着解答。 因为分类的题目更侧重”知识”，而高
考题目更侧重搭桥能力。

解题当然要以知识为依托。 这就要依靠自己的自学能力， 进行知识的超前学习。 这
时就有人反对了， 如果我连上课都跟不上， 谈何超前学习? 其实不然。 试想， 作为一个
高中生， 你没有再学全等三角形， 没有学平面几何， 那么拿到初中的题目， 你还会像初
中刚刚学到的时候那样畏惧吗? 即使不会解， 是不是很有信心的， 翻翻初中课本， 刷刷
两下就能解出来呢?

高中不再学平面几何， 回头再看初中的平面几何也不觉得难， 这是为什么呢? 这是因
为人脑对于认知有一个慢热过程。 当知识已经在脑子里过了很多遍， 大脑有了一定的熟悉，
在这个基础上进行理解会轻松得多。 所以如果超前学习， 在老师讲课的时候， 对于自己
就是一个复习。 一个不好理解的知识点， 可能有的同学一旦被卡住， 整节课甚至整个学
期都跟不上， 但是如果作为复习， 就轻车熟路。 有些高三学生， 当第一轮复习的时候，
发现原来的知识不过如此， 而高考成绩却还不理想， 就是因为前两年学知识， 后一年才
学搭桥解题带来的弊病。

以上只说了超前学习的必要性。 那么为了能够解题， 如何超前学习呢? 首先要确保自己真
正理解， 不能囫囵吞枣。 不真正理解的知识， 是会忘记的， 只有真正理解了， 才会像
铭刻一样难忘。 也有的高三学生， 在复习的时候发现前两年的知识点全忘光了， 还得从
头学起， 就是这个原因。 比如学三角函数的时候， 出现了单位圆， 让人不知所措。 如
果只是背诵象限的口诀， 对于简单的题目可以应付， 但是变形出现时， 就有难以招架了。

书不在多， 理科和文科那种需要”博览群书”不同， 把一本好书读透即可。 因此，教材
加上一本好的参考书就足够超前学习。 在学习的时候， 通常是定义+定理+例题+习题的模
式。 把定义看懂， 知道是在描述怎样的一个过程， 看似高深就变得平淡无奇。 例题永远
都是最好的习题。 因为能够被选为例题， 一定是因为有代表性， 因此答案详细。 所以为
了检测自己是否理解概念， 就捂住答案， 把例题当作习题来做。 对于解不出来的题目， 不
要一下子看完答案， 而要在答案帮助自己知道是哪一步卡住了的时候， 再捂上答案自己写
下去。

只有两类题目能够真正帮助自己的进步， 否则再做更多的已经会的题目也没有效果: 一类
是不会的题目， 一类是做错的题目。 不会的题目， 也要试试看， 好搞明白自己到底是哪
里被卡住了； 做错的题目， 当然要知道自己是怎么错的。 不能以”马虎”来糊弄过去。 所
有这样的题目都要在未来的某一时间重新全部做一遍， 往往让人惊讶的是: 总是还会不停
的犯同样的错误。

这样看懂定义就解例题的办法， 就能帮助人理解基本概念， 如此自学下去。 另一个方面，
就是不要认为知识太多， 使得它们在头脑中混乱不成体系。 比如立体几何， 有些同学遇
到就头大。 这样想: 立体几何的求证， 无非是求异面直线的夹角， 求点到线， 点到面的
距离， 证明垂直或者平行等等， 无外乎5种； 而立体几何的题目的大概外形， 不外乎平
行六面体， 立方体(太特殊了，故不算到平行六面体里)， 还有常见的是三棱锥， 不外乎
这三种。 因此纵使再千变万化， 根据乘法原理， 能够出的模式也不过5*3=15种，一个
模式， 比如”求正方体里的一个特殊对称点(顶点，面心，等等)到一条特殊直线距离”； 38
套模拟题里， 套套都有立体几何， 这样算起来，每个模式还能做两遍多呢! 如果能够在头
脑中建立整体的感觉， 就不会觉得内容很多， 却凌乱不堪了。