最新版高中数学平面几何试题集锦

§9.1 平面 练习二
1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）空间三点可以确定一个平面 （ ）
（2）两条直线可以确定一个平面 （ ）
（3）两条相交直线可以确定一个平面 （ ）
（4）一条直线和一个点可以确定一个平面 （ ）
（5）三条平行直线可以确定三个平面 （ ）
（6）两两相交的三条直线确定一个平面 （ ）
（7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合 （ ）
（8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线 （ ）
2．看图填空
D

C

（1）AC∩BD=
O

（2）平面AB
1
∩平面A
1
C
1
=
A

B

（3）平面A
1
C
1
CA∩平面AC=
（4）平面A
1
C
1
CA∩平面D
1
B
1
BD=
（5）平面A
1
C
1
∩平面AB
1
∩平面B
1
C=
（6）A< br>1
B
1
∩B
1
B∩B
1
C
1
=
D
1
C
1
3．根据下列条件作图：
O
1
（1） A??，a ? ?，A?a
A
1
B
1



（2） a ? ?，b ? ?，c ? ?，且a∩b=A，b∩c=B，c∩a=C；



（3）?∩?=l，A??，且A??；



（4）A??，A?l，l∩?=B，?∩?=m，B?m.

4．已知平面?∩平面?=l ，点M??，N??，点P??且P?l，又MN∩l=R，过M、N、P三点
的平面为?，则平面?∩ 平面?= .并画图.

§9.2 练习二
1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）平行于同一直线的两条直线平行 （ ）
（2）垂直于同一直线的两条直线平行 （ ）
（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 （ ）
（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条 （ ）
（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ）
（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）
相等 （ ）
2．填空题
（1）三条直线a，b，c中，ab，b与c相交，那么a与c的位置关系是 .
（2）空间四边形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，则四边形MNPQ是 四边形
3．如图ABCD，AB∩?=E，CD∩?= F，画出AD与平面?的交点，写出画法，并说明理由.
C
A



F
E
?


B D
4．将一张长 方形的纸片ABCD对折一次，EF为折痕，再打开竖直在桌面上，如图所示连
结AD、BC，求证：⊿ ADE≌⊿BCF
A
E

D



F
B


C
5．正方体ABCD—A
1B
1
C
1
D
1
中，M、N分别是棱AA
1、CC
1
的中点，
（1）判断四边形DMB
1
N的形状
C

D

（2）求四边形DMB
1
N的面积
A


B

N


M



C
1
D
1

A
1
B
1

§9.2 练习三
1．选择题
（1）分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 （ ）
（A）异面 （B）平行 （C）相交 （D）以上都有可能
（2）异面直线a，b满足a??，b??，?∩?=l，则l与a，b的位置关系一定是（ ）
（A）l与a，b都相交 （B）l至少与a，b中的一条相交
（C）l至多与a，b中的一条相交 （D）l至少与a，b中的一条平行
（3）两异面直线所成的角的范围是 （ ）
（A）（0°，90°）（B）[0°，90°) （C）（0°，90°] （D）[0°，90°]
2．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行 （ ）
（2）和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线 （ ）
（3）平行移动两条异面直线中的任一条，它们所成的角不变 （ ）
（4）四边相等且四个角也相等的四边形是正方形 （ ）
3 ．如图所示，ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
是边长为a的正方体，计算下列问题：
（1）A
1
D
1
与B
1
B所成角的大小；
D
1
E
C
1
（2）A
1
D
1
与AC所成角的大小；
F
A
1
（3）AD
1
与B
1
C所成角的大小；
B
1
（4）A
1
C与AB所成角的正切值；
H

D

C

A
G B
（5）A
1
D
1
与B
1
B的距离；
（6）A
1
C
1
与BD的距离；
（7）A
1
D
1
与AB
1
的距离；
（8）若E、F、G、H为对应棱的中点，求EF、EH所成的角.



4．E、F分别是空间四边形ABCD的边AB、CD的中点，且EF=5，BC=6，AD=8，求异面
直线AD与EF所成角的正弦值.
A


E






D
B
F
C

练习四
1．判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 （ ）
（2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB⊥CD （ ）
（3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60? （ ）
（4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直 （ ）
2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中
N
① BM与ED平行；
D
C M
② CN与BE是异面直线；
③ CN与BM成60?角；
E
B
④ DM与BN垂直.
以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）
A
F
（A）①②③ （B）②④ （C）③④ （D）②③④
3．在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点
A
（1）若AC⊥BD时，求证：EFGH为矩形；


H
E

（2）若BD=2，AC=6，求EG
2
+HF
2
；
D
G

B

F C

（3）若AC、BD成30?角，AC=6，BD=4，求四边形EFGH的面积；




（4）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC与BD间的距离.

A





D
C


B

§9.2 练习一
1．选择题
（1）“a，b是异面直线”是指
① a∩b=Φ且a不平行于b；
② a ? 平面?，b ? 平面?且a∩b=Φ
③ a ? 平面?，b ? 平面?
④ 不存在平面?，能使a ? ?且b ? ?成立
上述结论中，正确的是 （ ）
（A）①② （B）①③ （C）①④ （D）③④
（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （
（A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对
（3）两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b的位置关系是（
（A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线
（C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线
（4）一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是 （
（A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面
2．画图表示两条异面直线（至少要画两种不同的图形）





3．命题“平面内一点和平面外一点的连线和平面内不过该点的直线是异面直线”
（1）改写为符号叙述
（2）试证明该命题.





4．用以上结论证明空间四边形对边是异面直线.












）
）
）

§9.3直线与平面平行的判定和性质（二）
1．选择题
（1）直线与平面平行的充要条件是 （ ）
（A）直线与平面内的一条直线平行
（B）直线与平面内的两条直线平行
（C）直线与平面内的任意一条直线平行
（D）直线与平面内的无数条直线平行
（2）直线a∥平面?，点A∈?，则过点A且平行于直线a的直线 （ ）
（A）只有一条，但不一定在平面?内
（B）只有一条，且在平面?内
（C）有无数条，但都不在平面?内
（D）有无数条，且都在平面?内
（3）若a??，b??，a∥?，条件甲是“a∥b”，条件乙是“b∥?”，则条件甲是条件乙的
（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件
（4）A、B是直线l外的两点，过A、B且和l平行的平面的个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）无数个 （D）以上都有可能
2．平面?与⊿ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD∶DB=AE∶EC，
求证：BC∥平面?



3．空间四边形ABCD，E、F分别是AB、BC的中点，求证：EF∥平面ACD.



4．经过正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱BB
1
作一平面交平面AA
1
D1
D于E
1
E，
求证：E
1
E∥B
1
B.



5．试证过两异面直线a，b中的一条，且平行于另一条的平面有且只有一个.

§9.3直线与平面平行的判定和性质（三）
1．选择题
（1）直线a，b异面直线，直线a和平面?平行，则直线b和平面?的位置关系是（ ）
（A）b?? （B）b∥? （C）b与?相交 （D）以上都有可能
（2）如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面 （ ）
（A）只有一个 （B）恰有两个
（C）或没有，或只有一个 （D）有无数个
2．判断下列命题的真假.
（1）若直线l??，则l不可能与平面?内无数条直线都相交. （ ）
（2）若直线l与平面?不平行，则l与?内任何一条直线都不平行. （ ）
D

3．P是长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中AC面上的一点
C

P

（1）画出经过P、B
1
、C
1
的平面与长方体各侧面的交线；
A

B

（2）画出经过P、B
1
、D
1
的平面截长方体所得的截面；
（3）以上各条与面的交线与平面A
1
C
1
是什么关系
D
1
C
1

A
1

B
1



4．已知a∥?，a∥?，?∩?=l，试判断a与l的位置关系，并证明之.







5．过空间四边形ABCD的边AB、CD、A D的中点P、Q、R的平面交BC于S，求证S是
BC的中点.

§9.3直线与平面平行的判定和性质（一）
1．选择题
（1）以下命题（其中a，b表示直线，?表示平面）
①若a∥b，b??，则a∥?
②若a∥?，b∥?，则a∥b
③若a∥b，b∥?，则a∥?
④若a∥?，b??，则a∥b
其中正确命题的个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
（2）已知a∥?，b∥?，则 直线a，b的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④
相交；⑤不垂直且不相交.
其中可能成立的有 （ ）
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个
（3）如果平面?外有两点A、B，它们到平面?的距离都是a，则直线AB和平面?的位置关
系一定是 （ ）
（A）平行 （B）相交 （C）平行或相交 （D）AB??
（4）已知m，n为异面直线，m∥平面?，n∥平面?，?∩?=l，则l （ ）
（A）与m，n都相交 （B）与m，n中至少一条相交
（C）与m，n都不相交 （D）与m，n中一条相交
2．判断下列命题的真假
（1）过直线外一点只能引一条直线与这条直线平行. （ ）
（2）过平面外一点只能引一条直线与这个平面平行. （ ）
（3）若两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行. （ ）
（4）若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线平行. （ ）
3．画图表示直线a，b与平面?的下列各位置关系
（1）a?? （2）?∩a=A （3）a∥?




（4）a??，b??且a∥b （5）a??，b??且a与b异面

§9.4直线与平面垂直的判定和性质（二）
1．选择题
（1）直线l与平面?内的两条直线都垂直，则直线l与平面?的位置关系是 （ ）
（A）平行 （B）垂直 （C）在平面?内 （D）无法确定
（2）下面各命题中正确的是 （ ）
（A）直线a，b异面，a??，b??，则?∥?；
（B）直线a∥b，a??，b??，则?∥?；
（C）直线a⊥b，a⊥?，b⊥?，则a⊥?；
（D）直线a??，b??，?∥?，则a，b异面.
（3）对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：
①与a是异面直线；②与a所成的角为定值θ；③与a距离为定值d.
那么这样的直线b有 （ ）
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）无数条
2．求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直.



3．地面上有两根相距a米的直立旗杆，它们的长分别是b米，c米（b>c），求它们上端间
的距 离.



4．平行四边形ABCD所在平面?外有一点P，且PA=PB =PC=PD，求证：点P与平行四边
形对角线交点O的连线PO垂直于AB、AD.




5．矩形ABCD所在平面外一点P，且PA⊥平面AC，连PB、P C、PD，E、F分别是AB、
PC的中点
（1）求证：CD⊥PD；
（2）求证：EF∥平面PAD

§9.4直线与平面垂直的判定和性质（三）
1．选择题
（1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是 （ ）
（A）（0?，90?） （B）[0?，90?] （C）[0?，180?] （D）[0?，180?)
（2）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；
④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（3）从平面外一点P引与平面相交的直线，使P点与交点的距离等于1，则满足条件的 直
线条数不可能是 （ ）
（A）0条 （B）1条 （C）2条 （D）无数条
（4）已知平面?的斜线a与?内一直线b相交成θ角，且a与?相交成?
1
角，a在?上的射
影c与b相交成?
2
角，则有 （ ）
（A）coSθ=coS?
1
coS?
2
（B）coS?
1
=coSθcoS ?
2

（C）Sinθ=Sin?
1
Sin?
2
（D）Sin?
1
=SinθSin?
2

2．填空题
（1）设斜线与平面?所成角为θ，斜线长为l，则它在平面内的射影长是 .
（2）一条与平面相交的线段，其长度为10cm，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，这
条线 段与平面?所成的角是 .
（3）若（2）中的线段与平面不相交 ，两端点到平面的距离分别是2cm，3cm，则线段所
在直线与平面?所成的角是 .
3．若P为⊿ABC所在平面外一点，且PA=PB=PC，求证点P在⊿ABC所在平面内的射影 是
⊿ABC的外心.




4．如图，已知AP⊥BP ，PA⊥PC，∠ABP=∠ACP=60?，PB=PC=
求AD与平面PBC所成角的余弦值.














2
BC，D是BC中点，
P
A
D
B
C

§9.4直线与平面垂直的判定和性质（四）
1．选择题
（1）如图BC是Rt⊿ABC的斜边，过A作⊿ABC所在
平面?垂线AP，连PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连PD，
那么图中直角三角形的个数是 （ ）
C
D
（A）4个 （B）6个
B
??
A
（C）7个 （D）8个
（2）直线a与平面?斜交，则在平面?内与直线a垂直的直线 （ ）
（A）没有 （B）有一条 （C）有无数条 （D）?内所有直线
2．填空题
（1）过长为a的正六边形ABCDEF在平面?内，PA⊥?，PA=a，则P到CD的距离为 ，
A
P到BC的距离为 .
（2）AC是平面?的斜线，且AO=a，
AO与?成60?角，OC??，AA＇⊥?于A＇，
∠A＇OC=45?，则A到直线OC的距离
A′
O
?
C
是 ，∠AOC的余弦值是 .
A

D

3．在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，求证：A
1
C⊥平面BC
1
D.

B

C




D
1
A
1

B
1
C
1

4．如图MA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且MA=AB=a，试求：
（1）点M到BD的距离
（2）求异面直线MB与AC所成的角.




5．已知H是锐角三角形ABC的垂心，过H作平面ABC的垂线，在垂线上取一点P，使∠
APB=90?，求证：PB⊥平面PAC











P

§9.4直线与平面垂直的判定和性质（一）
1．选择题
（1）“直线l垂直于平面?内的无数条直线”是“l⊥?”的 （ ）
（A）充分条件 （B）必要条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（2）如果一条直线l与平面?的一条垂线垂直，那么直线l与平面?的位置关系是（ ）
（A）l?? （B）l⊥? （C）l∥? （D）l??或l∥?
2．填空题
（1）过直线外一点作直线的垂线有 条；垂面有 个；平行
线有 条；平行平面有 个.
（2）过平面外一点作该平面的垂线有 条；垂面有 个；
平行线有 条；平行平面有 个.
3． 能否作一条直线同时垂直于两条相交直线？能否作一条直线同时垂直于两个相交平面？
为什么？





4．在空间四边形ABCD中，AC=BC，AD=BD，试求AB与CD所成的角.








5．直线a，b，c是两 两垂直的异面直线，直线d是a，b的公垂线，求直线c，d的位置关
系.

§9.5两个平面平行的判定和性质（二）
1．选择题
（1）a∥?，b∥?，a∥b，则?与?的位置关系是 （ ）
（A）平行 （B）相交 （C）平行或相交 （D）一定垂直
（2）以下命题中正确的是 （ ）
（A）在一个平面内有两个点，到另一个平面的距离都是d（d＞0），则这两个平面平行
（B）在一平面内有不共线的三个点，到另一个平面的距离都是d（d＞0），则这两个平面
平行
（C）在一平面内有无数个点，到另一个平面的距离都是d（d＞0），则这两个平面平行
（D）在一平面内的任意一点，到另一个平面的距离都是d（d＞0），则这两个平面平行
（3）已知直线a，b，平面?，?，
①a??，b??，a∥b；
②a??，b??，a∥?，b∥?；
③a⊥?，b⊥?；
④a∥b，a⊥?，b⊥?.
以上条件中能推出?∥?的是 （ ）
（A）①② （B）②③ （C）①④ （D）③④
2．填空题
（1）当?∥?时l⊥?，则l与?的关系是 ；
（2）当?∥?，?∥?，则?与?的关系是 ；
（3）a，b是异面直线，l是它们的公垂线，?∥?，则l与?的关系是 . 3．已知?∥?，a??，b??，且a，b是异面直线，A∈?，B∈?，AB=12cm，若AB与?成 60?，
求a，b之间的距离.




4．a，b是异面直线.
（1）求证：过a，b分别有平面?，?，使?∥?.




（2）求证：a，b之间的距离等于?，?之间的距离.

§9.5两个平面平行的判定和性质（三）
1．选择题
（1）设?，?是不重合的两个平面，l和m是不重合的两条直线，则?∥?的一个充分条件
是 （ ）
（A）l??，m??，且l∥?，m∥? （B）l??，m??，且l∥m
（C）l⊥?，m⊥?，且l∥m （D）l∥?，m∥?，且l∥m
（2）直线a在平面?内，则平面?平行于平面?是直线a平行于平面?的 （ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（3）与不共面的四点距离相等的平面有 （ ）
（A）7个 （B）4个 （C）3个 （D）1个
2．填空题
（1）已知? ∥?，A∈?，B∈?，C∈?，D∈?，若AC=70，BD=37，且BD在?内射影长为
12，则 AC与?所成的角为 ；
（2）已知?∥?，O是两平面外一点 ，过O作三条直线和平面?于A、B、C三点，和平面?
交于A′、B′、C′三点，则⊿ABC与⊿A ′B′C′的关系是 ，若AO=a，
A′B′=b，B′C′=c，则BC的长是 .
3 ．正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，M、N、E、F四点分别是A
1
B
1
，A
1
D
1
，B
1
C
1
，C
1
D
1
的中点，
求证：（1）E、F、D、B四点共面；（2）平面AMN∥平面EFDB







4．如图，直线PQ分别和平行平面?、?交于 A、B两点，PD、QF分别和平面?、?交于C、
D、E、F，若PA=9，AB=12，QB=16 ，S
⊿
AFC
=72，求S
⊿
BDE

P


C

F
A
??



D

??
E
B


Q

§9.5两个平面平行的判定和性质（一）
1．选择题
（1）若平面?∥平面?，直线a
?
?，直线b??，那么直线a，b的位置关系是 （ ）
（A）垂直 （B）平行 （C）异面 （D）不相交
（2）当?∥?时，必须满足的条件 （ ）
（A）平面?内有无数条直线平行于平面?；
（B）平面?与平面?同平行于一条直线；
（C）平面?内有两条直线平行于平面?；
（D）平面?内有两条相交直线与?平面平行.
2．填空题
（1）两条直线没有公共点时，它们的位置关系是 ；
两个平面没有公共点时，它们的位置关系是 .
（2）过平面外一点，可以作 条直线与已知平面平行；
过平面外一点，可以作 个平面与已知平面平行.
（3）已知?∥?，它们间的距离为1，直线l与平面?成60?角，则l夹在?、?之间的线段长
为 ；
已知?∥?，夹在?、?之间的两条直线所夹部分线段相等，则这两条直线的位置关系
是 .
3．判断题
（1）若一条直线和两个平面成等角，则两个平面平行. （ ）
（2）两个平面平行，则一个平面内的任意直线与另一个平面平行. （ ）
（3）若直线平行平面，则直线平行平面内的任意直线. （ ）
4．设AB、CD是夹在 两个平面?、?之间的异面线段，M、N分别是AB、CD的中点，求证：
直线MN∥?.






5．已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，求证：平面AB
1
D
1
∥平面C
1
DB.

§9.6两个平面垂直的判定和性质（二）
1．选择题
（1）已知两个平面互相垂直，一条直线与两个平面相交，那么这条直线与两个平面所成的
角的和是 （ ）
（A）小于90? （B）等于90? （C）大于90? （D）不大于90?
（2）A为二面角?-l-?棱l上一点，AP在?内，且与l成45?角，与?成30?角，则二面 角?-l-?
平面角的度数是 （ ）
（A）30? （B）45? （C）60? （D）90?
2．已知如图，空间四边形ABCD，及两条对角线AC、BD，AB =AC=AD=a，BD=DC=CB=b，
A
AH⊥面BCD，垂足为H，求平面ABD与平面BCD所成角的大小.




B
C


D

3．矩 形ABCD，AB=3，BC=4，设对角线BD把⊿ABD折起，使点A在平面BCD上的射影
A
A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小.


C
D

A′

B
4．如图，边长为a的正三角形ABC，PA⊥平面 ABC，PA=a，QC⊥平面ABC，DC=
平面PQB与平面ABC所成的角.
P
Q
a
，求
2


A
F
C


B
5．将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧 面吻合，则吻合后的几
何体呈现几个面？

§9.6两个平面垂直的判定和性质（三）
1．选择题
（1）不能肯定两个平面一定垂直的情况是 （ ）
（A）两个平面相交，所成二面角是直二面角.
（B）一个平面经过另一个平面的一条垂线.
（C）一个平面垂直于另一个平面内的一条直线.
（D）平面?内的直线a与平面?内的直线b是垂直的.
（2）下列命题正确的是 （ ）
（A）平面?内的一条直线和平面?内的无数条直线垂直，则平面?⊥平面?.
（B）过平面?外一点P有且只有一个平面?和平面?垂直.
（C）直线l∥平面?，l⊥平面?，则?⊥?
（D）垂直于同一平面的两个平面平行.
2．填空题
（1）过平面?外一条直线的平面?和平面?都垂直，则平面?的个数可以是 .
（2）平面?平面?，?∩?=l，点P∈?，点Q∈l，那么PQ⊥l是PQ⊥?的 条件.
（3）平面?⊥平面?，a??，b??，且b∥?，a⊥b，则a和?的位置关系是 .
3．在矩形ABCD中，AB=
2
，BC=2，E为BC中点，把⊿ABE和⊿C DE分别沿AE、DE
折起使B与C重合于点P，（1）求证：平面PDE⊥平面PAD；（2）求二面 角P-AD-E的
P
大小.

D
C


E

A
B
4．试证垂直于同一平面的两个平面的交线垂直于这个平面.




5．如图，在正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1< br>中（正三棱柱室底面为正三角形，侧棱与底面垂直的三
C

棱柱），E∈BB< br>1
，且BE=EB
1
，求证：截面A
1
EC⊥侧面AC
1
.
A


B



E


C
1
A
1


B
1

§9.6两个平面垂直的判定和性质（一）
1．选择题
（1）二面角是指 （ ）
（A）两个平面相交的图形；
（B）一个平面绕这个平面内一条直线旋转而成的图形；
（C）从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；
（D）以两个相交平面交线上任意一点为端点，在两个平面内分别引垂直于交线的
射线，这两条射线所成的角.
（2）一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的
关系是 （ ）
（A）相等 （B）互补 （C）相等或互补 （D）不能确定
（3）在二 面角?-l-?中，A∈?，AB⊥平面?于B，BC⊥平面?于C，若AB=6，BC=3，则二
面角 ?-l-?的平面角的大小为 （ ）
（A）30? （B）60? （C）30?或150? （D）60?或120?
2．填空题
（1）“二面角?-l-?的平面角”的三个主要特征是① ，
② ，③ .
（2）已知二面角?-l-?的度数是60?，面?内一点A到棱l的距离为2
3
，则A到面?的距
离是 .
3．试画出四个以上不同位置的二面角，并给写不同的命名.





4．如图，ABCD是正方形，PA平面AC，且PA=AB，
P
（1）求二面角B-PA-D的度数；
（2）求二面角B-PA-C的度数；
（3）求二面角A-BD-P的度数；
（4）求二面角A-PD-P的度数；
A
（5）求二面角B-PC-D的度数.

B










D
C

§9.7 棱柱（二）
1．选择题
y′
（1）如图所示，是水平放置的⊿ABC
A′
（AD为BC边长的中线）的直观图，
试按此图判定原⊿ABC中的四条线段
（A）AB （B）BC
（C）AC （D）AD
x′
B′ D′ C′
其中最长的线段是（ ）；最短的线段是（ ）
A
1
B
1
（2）P为正方体A BCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中棱C
1
D
1
上
异于两个端点的一个内点，连A
1
P并延长（如图所
D
1
C
1
P

示），则 （ ）
（A）A
1
P与CC
1
相交
A

B

（B）A
1
P与BC相交
（C）A
1
P与B
1
B直线相交
D

C

（D）A
1
P与B
1
C
1
直线相交
2．填空题
（1）正方体的体积为64cm
3
，它的全面积为 .
（2）长方体表面积是24，所有棱长的和为28，则长方体的对角线长是 .
（3）正六棱柱的高为5cm，最长的对角线长为13cm，则它的侧面积为 .
3．已知正三角形边长为2cm，请选择不同的坐标系作出直观图（不写作法，保留作图痕迹）



4．已知一个正五棱柱的高为3cm，底面外接圆半径为2cm，画出它的直观图（不写画法）




5．长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
三度分别为2，①若对角线AC
1
与过A 的相邻三个面所成角分别
为?、?、?，求cos
2
?+cos
2
? +cos
2
?的值；②若对角线AC
1
与过A的三条棱所成的角为x、y、< br>z，求cos
2
x+cos
2
y+cos
2
z的值.

§9.7 棱柱（三）
1．选择题
（1）一个正三棱柱的每一条棱长都是a，则经过底面一边和相对侧棱的一个端点的截面面
积为 （ ）
（A）
7
2
a
4
（B）
7
2
a
2
（C）
6
2
a
3
（D）
7
a
2

（2）已知斜三棱柱直截面（ 与侧棱垂直且与侧棱都相交的截面）的周长为8，则棱柱的高
为4，侧棱与底面成60?角，则斜三棱柱 的侧面积为 （ ）
（A）32 （B）16 （C）16
3
（D）
64
3
3

2．填空题
（1）用一张长宽分别为8cm、4cm的矩形硬纸板，折成正四棱柱的侧面，则此四棱柱的对
角线长为 .
（2）正四棱柱的表面积为S，过相对侧棱的截面面积为P，则正四棱柱的体积为 .
3．如图，斜三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的底面 是边长为a的正三角形，侧棱AA
1
长为
C
1
AB、AC均为60?，
（1）求证：平面A
1
BC⊥平面ABC；
A
1
B
1
（2）求A到侧面BC
1
的距离；
（3）求斜三棱柱的全面积和体积.


C


A

B





4．一个四棱 柱底面是梯形，（1）求证：它有四个侧面互相平行；（2）如果不平行的两个侧
面都与底面垂直，求证 它是直棱柱.






3
a，它和
2
§9.8 棱锥（一）
1．判断下列命题的正误
（1）底面是正多边形的棱锥是正棱锥.
（2）所有侧棱长都相等的棱锥是正棱锥.
（3）各条侧棱和底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥.









（ ）
（ ）
（ ）

（4）各侧面和底面所成的角相等的棱锥是正棱锥.
2．选择题
（1）正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比为
（A）1∶2 （B）2∶1 （C）1∶
2

（ ）
（ ）
（D）
2
∶1
（2）四棱锥的底面是菱形，顶点在底面的射影是底面菱形的对角线交点，则 （ ）
（A）这个棱锥的侧棱与底面所成的角相等；
（B）这个棱锥的侧面与底面所成的角相等；
（C）这个棱锥的相邻两个侧面所成的角相等；
（D）以上结论都不对.
（3）一个n棱锥的所有侧面与底面所成的二面角都是30?，若此棱锥的底面积为S，则它
的侧面积为 （ ）
（A）
1
S
2
（B）
3
S
2
（C）
23
S
3
（D）2S
3．填空题
（1）三棱锥的侧棱长都相等时，高通过底面三角形的 心；
三棱锥的侧面和底面所成的角都相等时，高通过底面三角形的 心；
三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三棱锥的高通过底面三角形的 心.
（2）三棱锥的侧面积为S，过棱锥的高的三等分点的两个平行于底面的截面将棱锥分成三
部 分的面积分别为 ；三部分的体积比为 . 4．棱锥底面是腰长为10cm，底边长为12cm的等腰三角形，它的各侧面与底面所成的二面
角 都是45?，求这个棱锥的体积.

§9.7棱柱（一）
1．判断下列命题是否正确
（1）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 （ ）
（2）有两个面平行，其余各面均为平行四边形的几何体是棱柱 （ ）
（3）棱柱被平行于侧棱的平面所截，截面是平行四边形 （ ）
（4）长方体是直棱柱，直棱柱也是长方体 （ ）
2．选择题
（1 ）设M={正四棱柱}，N={长方体}，P={直四棱柱}，Q={正方体}，则这些集合的关系
是 （ ）


（A）Q ?M ? N ? P
? ??
（C）P ?M ?N ? Q
? ? ?
（B）Q ?M ?N ? P
? ? ?
（D）Q ? N ?M ?P
?? ?
（2）有四个命题：① 底面是矩形的平行六面体是长方体；
② 棱长相等的直四棱柱是正方体；
③ 有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④ 对角线相等的平行六面体是直平行六面体.
其中真命题的个数是 （ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（3）从长方体的一个顶点出发的三条 棱上各取一点E、F、G，过此三点作长方体的截面，
那么这个截面的形状是 （ ）
（A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）以上都有可能
3．填空题
（1）棱柱的顶点数用V表示，面数用F表示，棱数用E表示，平行六面体的V= ；
F= ；E= ；V+F-E= ；五棱柱的V= ；
F= ；E= ；V+F-E= .
（2）四棱柱有对角线 条，对角面 个，正四棱柱对角线长相等
吗？ ，四个侧面全等吗？ .
（3）长方体中共顶点的三个面的面积为S
1
、S
2
、S3
，则它的体积是 .
（4）直平行六面体底面两边的长分 别等于3cm，4cm，夹角为60?，侧棱的长为底面两边
长的等比中项，那么平行六面体的对角线长 为 .
4．斜三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，已知二面角B-A
1
A-C，A-C
1
C-B分别 为30?和95?，求二面角
C-B
1
B-A的大小.

5．平行六面体的两个对面是矩形，求证：此平行六面体为直平行六面体.

§9.8 棱锥（二）
1．选择题
（1）把一个三棱锥的各棱都增大到原来的2倍，那么它的体积增大的倍数是 （ ）
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
（2）侧棱长和底面边长都为1的正三棱锥的体积是 （ ）
（A）
13

24
（B）
2

12
（C）
11

24
（D）
2

4
（3）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D- ABC的体积
是 （ ）

a
3
（A）
6
a
3
（B）
12
3a
3
（C）
12
2a
3
（D）
12
2．填空题
（1）三棱锥的三条侧棱两两垂直且长度为1cm、2cm、3cm，则此棱锥的体积为 .
（2）用平行于圆锥底面的平面截圆锥，把圆锥的体积分成相等的两部分，那么截得的小圆
锥 与原来圆锥的高之比为 .
（3）某长方体的八个顶点中，有四 个顶点恰好是一个正四面体的顶点，这个长方体的表面
积与正四面体的表面积之比为 .
3．画出侧棱长为4cm，侧棱和底面成60?角繁荣正三棱锥的直观图（不写作法，保留作图痕迹）




4．四面体ABCD中，AD=
2
，其余五条棱长都等于1，
（1）求AD与平面BCD所成的角的余弦值；
（2）试问：在这个四面体的四个面中，是否存在着两个面互相垂直？证明你的结论.
A





D
C





B

§9.8 棱锥（三）
1．选择题
（1）给出下列命题，其中正确的是 （ ）
（A）每个面都是正多边形的多面体是正多边形
（B）每个面都是相同边数正多边形的多面体是正多边形
（C）长方体的各侧面是正方形时，它就是正多边形
（D）正三棱锥是正四面体.
（2）下列命题中假命题的是 （ ）
（A）多面体的面数最少是4个 （B）正多面体有且只有五种
（C）四面体都是三棱锥 （D）五面体就是三棱柱
2．填空题
（1）已知M={正多面体}，N={多面体}，R={凸多面体}，Q={棱 长相等的三棱锥}，则集
合M、N、R、Q之间的关系是 .
（2）棱长为a的正四面体A-BCD相对两棱AB、CD间的距离是 .
3．将两个棱长相应的正四面体的一个面重合，所得的多面体是正多面体吗？为什么？






4．求正四面体相邻两个面所成二面角的大小






5．棱长为a的正八面体，
（1）求相邻两面所成二面角的大小；
（2）求相邻两面中心间的距离；
（3）求八面体的体积.

§9.9 多面体欧拉公式的发现（二）
1．求证：平行于正四面体的相对两棱的平面截这个四面体的截面是矩形.











2 ．已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼起来，使一个表面重合，所得
的多面体有多少 个面？








< br>3．已知铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶
有24 个顶点，以每个顶点有一端都有三条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目.

§9.9 多面体欧拉公式的发现（一）
1．判断下列命题是否正确
（1）凸多面体是简单多面体. （ ）
（2）简单多面体是凸多面体. （ ）
（3）欧拉公式：V+F-E=2适用于所有多面体. （ ）
2．选择题
（1）一个凸十二面体共有8个顶点，其中2个顶点处各有6条棱，其他的顶点处都有相同
数 目的棱，则其他顶点各有棱 （ ）
（A）1条 （B）5条 （C）6条 （D）7条
（2）连接正十二面体各面中心，得到一个 （ ）
（A）正六面体 （B）正八面体 （C）正十二面体 （D）正二十面体
（3）已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，那么2F-V等于 （ ）
（A）2 （B）4 （C）8 （D）12
3．求证：任一简单多面体中，所有面的内角和：S=（V-2）2π，其中V是多面体的顶点数.





4．正六面体各面中心是一个正八面体的顶点，求这个正六面体和正八面体的表面积之比.






5．已知一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，求证：V=2F-4.

§9.10 球（二）
1．选择题
（1）三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两球体积和的 （ ）
（A）1倍 （B）2倍 （C）3倍 （D）8倍
（2）若球的大圆的面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的 （ ）
（A）3倍 （B）27倍 （C）3
3
倍 （D）
3
3
倍
2．填空题
（1）已知球内接正方体的表面积为S，则球体积等于 .
（2）将一半径为R的木球加工成一正方体木块的最大体积为 .
3．设球O的体积为V，求以球O的三条两两垂直的直径端点为顶点的八面体的体积.







4．一个正四面体的棱长为2
6
，求该四面体的外接球的体积.







5．求球体积、以球半径为半径的等边圆柱体积及与以球半径为半径的等边圆锥的体积之比.

§9.10 球（三）
1．选择题
（1）设正方体、等边圆柱和球的体积相等，则它们的表面积S
正、S
柱
、S
球
的大小关系是
（ ）
（A）S
正
＞S
柱
＞S
球
（B）S
正
＞S
球
＞S
柱

（C）S
球
＞S
正
＞S
柱

（D）S
柱
＞S
正
＞S
球

（2）长 方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这
个球的体积是 （ ）
（A）20
2
π （B）25
2
π （C）50π （D）200π
（3）球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的
圆的周 长为4π，那么这个球的半径为
（A）4
3
（B）2
3


1
，经过三个点的小
6
（ ）
（C）2 （D）3
（4）64个直径都为
a
的球，记它们的体积之和为V
甲
，表面积之和为S
甲
，一个直径为a
4
的球，记其体积为V
乙，表面积为S
乙
，则 （ ）
（A）V
甲
＞V
乙
且S
甲
＞S
乙
（B）V
甲
＜V
乙
且S
甲
＜S
乙

（C）V
甲
= V
乙
且S
甲
= S
乙
（D）V
甲
=V
乙
且S
甲
= S
乙

2．已知正方体的全面积为24，
（1）求外接球的表面积；
（2）求内切球的表面积.




3．已知等边圆锥的底半径为2，求该圆锥外接球的面积.



4．有一个直径D=4R，高为h=28R的圆柱形的桶，问能装放直径为2R的球多少个（装入的
水不 得超出圆柱口）.

§9.10 球（一）
1．选择题
（1）① 当平面到球心的距离小于球半径时，球面与平面的交线总是一个圆；
② 过球面上两点只能作一个球大圆；
③ 过空间四点总能作一个球；
④ 球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径.
以上四个命题中正确的有 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
（2）在北纬45?圈上的甲、 乙两地，甲在东经30?，乙在西经60?处，若地球半径为R，则
甲、乙两地的球面距离是 （ ）
（A）R （B）
1
R
3
（C）
1
πR
3
（D）
2
πR
4
2．填空题
（1）过球半径的中点，作一个垂直于这半径的截面，那么这个截面的面积与球的大圆面积
之比是 .
（2）在半径为25cm的球内有一截面，它的面积是49πcm
2
，那么球心 到这个截面的距离
是 .
3．半径为13cm的球 面上有A、B、C三点，每两点间的距离是AB=6cm，BC=8cm，CA=10cm，
求这三点所 在的平面到球心的距离.



O

A
C


B

4．如图，A、B、C是半径为1的球面上的三点，B、 C两点间的球面距离为
B、C两点间的球面距离均为
1
π，点A与
3
?
，O为球心，求：
2
O
A
B
H
C
（1）∠BOC、∠AOB的大小；
（2）球心O到截面ABC的距离.

单元综合训练
一、填空题
1．用符号表示下列命题
（1）直线a与平面?相交于一点A. ；
（2）平面?与平面?相交于直线a. ；
（3）直线a与直线b不相交. ；
（4）直线b在平面?内，且不过?内一点A. ；
（5）直线a不在平面?内. .
2．若?∩?=l，A∈?，A∈?，则A l，其理由 .
3．将命题“a??，且a∩b=P?P∈?改成文字语言，即是 .
4．三个平面可将空间分成 部分.
5．正方体12条棱中，组成异面直线的对数是 .
6．在长方体 ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB= BC=3，A
1
A=4，则异面直线A
1
B和AD
1
所成角 的余
弦值为 .
二、根据下列条件画出图形
1．平面?∩平面?=AB，直线a??，直线b??，a∥AB，b∥AB


2．平面?∩平面?=MN，⊿ABC的三个顶点满足条件A∈MN，B??，B?MN，C??，C?MN


三、选择题
1．下面判断中正确的是 （ ）
（A）任意三点确定一个平面 （B）两条垂直的直线确定一个平面
（C）一条直线和任一点确定一个平面
（D）与一条直线都相交的三条平行直线共面
2．在以下四图中直线a与直线b平行的位置关系只能是 （ ）

a
a

b
b


(A) (B)


a
a b b



(C) (D)
3．空间中有四个点，如果其中任意三个点都不在同一直线上，那么其中三个点的平面
（ ）
（A）可能有三个，也可能有两个； （B）可能有四个，也可能有三个；
（C）可能有三个，也可能有一个； （D）可能有四个，也可能有一个；
4．一条直线和这条直线外不共线的三个点，能够确定的平面的个数是 （ ）
（A）一个 （B）四个
（C）三个 （D）一个或三个或四个

四、解答题
1．如图所示，⊿ABC各边所在直线分别交平面?于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点
A
共线.

B


C

P

R
Q
?


2．试证两两相交且不全过同一点的四条直线共面







3．若等边空间四边形ABCD的对角线相等，且对角线与边长相等
（1）试证：顺次连结四边中点所得的四边形的对角线互相垂直；
（2）如果E、F分别为DC、AB的中点，求EF与DA所成的角.

单元综合训练
班级 姓名 学号
1．选择题
（1）已知a∥平面?，b??，那么a，b的位置关系是 （ ）
（A）a∥b （B）a，b异面
（C）a∥b或a，b异面 （D）a∥b或a⊥b
（2）如果直 线l与一平面平行，夹在直线和平面间的两条线段长相等，那么这两条线段所
在直线的位置关系是 （ ）
（A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）以上都有可能
（3）下列命题中正确的是 （ ）
（A）如果两条直线没有公共点，那么这两条直线平行；
（B）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；
（C）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线平行；
（D）如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行.
（4）平面外两条异面直线在平面内的射影是 （ ）
（A）两条相交直线 （B）两条平行直线
（C）一条直线和一个点 （D）以上都有可能
（5）a，b是两条异面直线，下面结论正确的是 （ ）
（A）过不在a，b上任意一点，可以作一个平面与a，b都平行；
（B）过不在a，b上任意一点，可以作一条直线与a，b都相交；
（C）过不在a，b上任意一点，可以作一条直线与a，b都平行；
（D）过a可以并且只可以作一个平面与b平行.
（6）PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面， C为圆周上除A、B外的任意一点，则下列
结论中不成立的是 （ ）
（A）PC⊥CB （B）BC⊥平面PAC
（C）AC⊥PB （D）PB与平面PAC的夹角是∠BPC
（7）已知平面?的斜线l与?所成的角为θ，在平面?内任意引l的异面直线m，则l与m
所成的角有 （ ）
（A）最小值是θ，最大值是
?
2
（B）最小值是θ，最大值是π-θ
（C）最小值是θ，最大值是π （D）不存在最小值与最大值.
（8）一条线段AB的两端点A，B和平面?的距离分别是30cm 和50cm，P为AB上一点，
且PA∶PB=3∶7，则P到平面?的距离为 （ ）
（A）36cm （B）6cm （C）36cm或6cm （D）以上都不对
（9）在 正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中， E、F分别是底面上AB、BC的中点，M为EF的中点，
则B
1
M与面ABCD的夹 角θ满足 （ ）
（A）tgθ=2
2
（B）tgθ=
2

4
（C）coSθ=
22
（D）θ=60?
3
（ ） （10）以下四个命题中，不正确的有几个
① 直线a，b与平面?成等角，则a∥b；
② 两直线a∥b，直线a∥平面?，则必有b∥平面?；

③ 一直线与平面的一斜线在平面?内的射影垂直，则必与斜线垂直；
④ 两点A，B与平面?的距离相等，则直线AB∥平面?
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
2．填空题
（1）PA垂直于⊿ABC所在的平面，若AB=AC=13，B C=10，PA=12，则P到BC的距离
为 .
（2）长方体A BCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，AD=a ，AB=b，则AA
1
到对角面DD
1
B
1
B的距离
是 .
（3）经过一点和一直线垂直的直线有 条；经过一点和一平面垂直的直线有
条；经过平面外一点和平面平行的直线有 条.
（4）已知∠ACB=90?，S为平面ABC外一点，且∠SCA=∠SCB=60?，则S C和平面ABC
所成的角为 .
3．解答题
（1）在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1中求A
1
B与对角面BB
1
D
1
D所成的角.



（2）已知Rt⊿ABC中，∠C=90?，C∈?，AB∥平面 ?，AB=8，AC、BC与平面?所成角分
A
别为30?、60?，求AB到平面?的距离.
B



?
C

（3）从平面?外一点A向?作垂线AD，且AD=4，斜线AC 、AB与?所成的角为45?，斜足
C与垂足D之间的距离为2，求斜线AB与平面?所成的角及斜线段 AB在平面?上的
A
射影的长.




B
D

C
?

单元综合训练
班级 姓名 学号
一、选择题
1．下列命题中错误的是 （ ）
（A）平行于同一直线的两个平面平行 （B）平行于同一平面的两个平面平行
（C）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则这条直线必和另一个相交
（D）一条直线与两平行平面所成的角相等.
2．平面?∥平面?，直线a??，直线b??，下面 四种情形：①a∥b；②a⊥b；③a与b异面；
④a与b相交，其中可能可能出现的情形有 （ ）
（A）1种 （B）2种 （C）3种 （D）4种
3． 下列命题中正确的是 （ ）
（A）若a∥?，?⊥?，则a⊥? （B）?⊥?，?⊥?，则?⊥?
（C）a⊥?，?⊥?，则a∥? （D）?∥?，a??则a∥?
4．从平面外一点向平面引垂线和若干斜线，若斜线和平面所成的角相等，则（ ）
（A）斜足是一个正多边形的顶点 （B）垂足是斜足多边形内切圆的圆心
（C）垂足是斜足多边形外接圆的圆心 （D）垂足是斜足多边形的垂心
5．?、?是两个不重合的平面，在下列条件中可判定?∥?的是 （ ）
（A）?、?都垂直于平面?
（B）?内不共线的三点到?的距离相等
（C）l、m是?内两直线，且l∥?，m∥?
（D）l、m是两条异面直线，且l∥?，m∥?，l∥?，m∥?
6．若两条异面直线所成的角为 80?，则过空间任意一点P的直线与这两条直线所成的角都
是50?，这样的直线有且仅有 （ ）
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条
二、填空题
7 ．直角三角形ABC的斜边BC在平面?内，顶点A??，则⊿ABC的两条直角边在平面?内
的射影与 斜边BC所成的图形是 .
8．点A是二面角?-l-?内一点， AB⊥?于B，AC⊥?于C，设AB=3，AC=2，∠BAC=60?，
则点A到棱l的距离是 .
9．?、?是两个不同的平面，m、n是平面?及?之外的两条不同直线，给出四个论断：①m
⊥n；
②?⊥?；
③n⊥?；
④m⊥?
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命
题 .

三、解答题
10．在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=BD =AC=a，E、F为BD、AD的中点，求证：
EF是BC与AD的公垂线，并求EF的长.

11．⊿ABC中，AB=3，BC=4，B=45?，且BC边在平面?内，⊿ABC所在平面?成30?角 ，
求⊿ABC在平面?内的射影的面积.








12．两个边长为2的正方形ABCD和ADEF各与对方所在平面垂 直，M、N分别是对角线
AE、BD上的点，且EM=DN
（1）求证：MN∥平面DCE；
E
（2）设EM=x，MN=y，求y与x的函数关系式；
（3）求M、N两点间的最短距离.
F

D

M
C

N

A
B

第九章单元综合训练（一）
班级 姓名 学号
一、选择题
1．三个平面最多可将空间分成n部分，则n等于 （ ）
（A）4 （B）6 （C）7 （D）8
2．下列命题：① 三个点确定一个平面；② 经过一条直线和一个点的平面有且只有一个；
③ 一条直线与两条平行直线都相交，则经过这三条直线的平面有且只有一个. 其中正
确的命题的个数是 （ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
3．正方体的一条对角线与正方体的棱可以组成异面直线 （ ）
（A）12对 （B）8对 （C）6对 （D）10对
4．已知异面直线a、b的公垂线是直线m，n是异于m的 直线，甲：m∥n，乙：n⊥a，n
⊥b，那么甲是乙成立的 （ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
5．如果直线l、m与平面?、?、?满足：l=?∩?，l∥?，m??和m⊥?，那么必有（ ）
（A）?⊥?且l⊥m （B）?⊥?且m∥?
（C）m∥?且l⊥m （D）?∥?且?⊥?
6．在下列命题中，真命题是 （ ）
（A）若直线m、n都平行于平面?，则m∥n；
（B）设?-l-?是直二面角，若直线m⊥l，则m⊥?；
（C）若直线m、n在平面?内的射影依次是一个点和一条直线，且m⊥n，则n在?内
或n与?平行；
（D）设m、n是异面直线，若m与平面?平行，则n与?相交.
7．已知两条异面直线a、b所成角为60?，过空间一点O作与a、b都成60?角的直线有
（ ）
（A）无数条 （B）2条 （C）3条 （D）4条
8．平面?上有一个 四边形ABCD，P为?外一点，P到ABCD四条边的距离都相等，则四边
形ABCD是 （ ）
（A）正方形 （B）菱形
（C）圆内接四边形 （D）圆外切四边形
9．?是一个平面，a是一条直线，则?内至少有一条直线与a （ ）
（A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）垂直
10．正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，M为A
1
B
1< br>的中点，N是BB
1
的中点，则异面直线AM与
CN所成角的余弦值等于 （ ）
（A）
1

2
（B）
3

3
（C）
2

5
（D）
3

4< br>11．二面角?-AB-?是锐角，C是?内一点，CD⊥平面?于D，E是AB上一任意一点，且∠CEB是锐角，则∠CEB、∠DEB的大小关系是 （ ）
（A）∠CEB＞∠DEB （B）∠CEB＝∠DEB
（C）∠CEB＜∠DEB （D）∠CEB、∠DEB大小不能确定.
12．已知二面角?-a-?等于60?，点P为这个二面 角内一点，作PA⊥?，PB⊥?，垂足分别

为A、B，若PA=1，PB=2，则点P 到棱a的距离等于
（A）
（ ）
2
3
21
（B）
1
3
7
（C）
1
3
21
（D）
2
3
7

二、填空题
13．三棱锥S- ABC的三条侧棱两两垂直，且SA=1，SB=
3
，SC=
6
，则底面内角
∠ABC为 .
14．山坡与水平面成30?角，坡面上有一条 与坡角水平线成30?角的直线小路，某人沿小路
上坡走了一段路程后升高了100米，则此人行走的路 程为 .
15．D为二面角?-AB-?的棱AB上的一点，DP?? ，且与AB成45?角，如果DP与?所成角
为30?，则二面角?-AB-?的度数可以是 .
16．三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，Q是底面三角形ABC内的一点，Q到三个侧面的< br>距离分别为4cm、6cm、12cm，则PQ的长为 .
三、解答题
17．若Rt⊿ABC所在平面?外一点P，到直角顶点B的距离为22，到两直 角边的距离都是
17，求P到平面?的距离.







18．正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，P为A
1
C
1
上任意一点，求证：DP ∥平面AB
1
C.






19．如图，已知a⊥?，a∥?，a∥?，?∩?=c，?∩?=b，?∩?=d，求证：b⊥?



b

a

?
d
c

?

?




20．已知正三角形ABC，PA⊥平面BAC，且PA=AB=2，
（1）求PB与AC所成角的大小；

（2）求二面角A-PC-B的大小.