高中数学空间几何专题试

高中数学空间几何专题试

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2

一、选择题
1、下图（1）所示的圆锥的俯视图为 （ ）





图（1）



2、直线
l:3x?y?3?0
的倾斜角
?
为 （ ）
A
、
30
o
；
B
、
60
o
；
C
、
120
o
；
D
、
150
o
。
3、边长为
a
正四面体的表面积是 （ ）
A
、
3
3
3
3
3
2
a
；
B
、
a
；
C
、
a
；
D
、
3a
2
。
4124
4、对于直线
l:3x?y?6?0
的截距，下列说法正确的是 （ ）
A
、在
y
轴上的截距是6；
B
、在
x
轴上的截距是6；
C
、在
x
轴上的截距是3；
D
、在
y
轴上的截距是
?3
。
5、已知
a
?
,b?
?
，则直线
a
与直线
b
的位置 关系是 （ ）
A
、平行；
B
、相交或异面；
C
、异面；
D
、平行或异面。
6、已知两条直线l
1
:x?2ay?1?0,l
2
:x?4y?0
，且
l
1
l
2
，则满足条件
a
的值为
A
、?
1
；
2
B
、
1
；
C
、
?2
；
D
、
2
。
2
7、在空间四边形
ABCD
中，若
AC?BD?a
，
E,F,G,H
分别是
AB,BC,CD, DA
的中点。
且
AC
与
BD
所成的角为
60
o
，则四边形
EFGH
的面积为 （ ）
A
、
3
2
3
2
3
2
a
；
B
、
a
；
C
、
a
；
D
、
3a
2
。
842

8、在右图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC
1
的中点，
则异面直线AC和MN所成的角为（ ）
D
1


A
1


D

B
1


C
1


N

C

B

M

A．30° B．45° C．90° D． 60°
A


3

9、下列叙述中错误的是 （ ）
A
、若
P?
?
I
?
且
?
I
?
?l
，则
P?l
；
B
、三点
A,B,C
确定一个平面；
C
、若直线
aIb?A
，则直线
a
与
b
能够确定一个平面； D
、若
A?l,B?l
且
A?
?
,B?
?，则
l?
?
。
10、两条不平行的直线，其平行投影不可能是 （ ）
A
、两条平行直线；
B
、一点和一条直线；
C
、两条相交直线；
D
、两个点。
11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个 顶点都在同一个球面上，
则这个球的表面积是 （ ）
A
、
25
?
；
B
、
50
?
；
C
、
125
?
；
D
、都不对。
12、给出下列命题
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直
②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行
③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直
其中正确命题的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

二、填空题

13、圆柱的侧面展开图是边长分别为
2a,a
的矩形，则圆柱的体积为 ；
14．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆
．．
锥、球的体积之比为 ．




M
T

4

15、过点（1，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程
16、已知
a,b
为直线，
?
,
?
,
?< br>为平面，有下列三个命题：
（1）
a
?
?b
?
，则
ab
；
（2）
a?
?
,b?
?
，则
ab
；
（3）
ab,b?
?
，则
a
?
；
（4）
a?b,a?
?
，则
b
?
；
其中正确命题是 。
三、解答题

17、如下图2，建造一个容积为
16m
3
，深为
2m
，宽为
2m
的长方体无盖水池，如果池底的造价为
12 0元m
，池壁
的造价为
80元m
，求水池的总造价。






18、如下图(3)，在四棱锥
P?ABCD中，四边形
ABCD
是平行四边形，
M,N
分别是
AB,PC< br>的中点，求证：
MN?平面PAD
。







2
2
图2
P
N
D
A M
图(3)
C
B


5

19、如下图（4），在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
（1）画出二面角
A?B
1
C?C
1
的平面角；
（2）求证：面
BB
1
DD
1
?
面
AB
1
C











20、求经过M（-1，2），且满足下列条件的直线方程
（1）与直线2x + y + 5 = 0平行 ；
（2）与直线2x + y + 5 = 0垂直；












图（4）

6

21、已知三角形
VABC
的三个顶点是A
?
4,0
?
,B
?
6,7
?
,C< br>?
0,8
?

（1） 求
BC
边上的高所在直线的方程；
（2） 求
BC
边上的中线所在直线的方程。







22、如下图（5），在三棱锥
A?BCD
中，
O,E
分别是
BD,BC
的中点，
CA?CB?CD?BD?2
,
AB?AD?2
。
（1） 求证：
AO?
平面
BCD
；
（2） 求异面直线
AB
与
CD
所成角的余弦值；
（3） 求点
E
到平面
ACD
的距离。







A


B

图（5）
C







7

圆锥曲线
知识点：
1、平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之和等于常数（大于
F
）的点的轨迹称为椭
1
F
2
圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称 为椭圆的焦距．
2、椭圆的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
< br>x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0< br>?

2
ab
?a?x?a
且
?b?y?b

y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
?b?x?b
且
?a?y?a

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?a,0
?

?
1
?
0,?b
?
、?
2
?
0,b
?

F
1
?
? c,0
?
、
F
2
?
c,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?
、
?2
?
b,0
?

F
1
?
0,?c?
、
F
2
?
0,c
?

短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1< br>F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b2
?

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?

aa
a
2
a
2
准线方程
x??

y??

cc
3、设
?
是椭圆上任一点，点
?到
F
1
对应准线的距离为
d
1
，点
?
到
F
2
对应准线的距离
为
d
2
，则
?F< br>1
d
1
?
?F
2
d
2
?e
．
4、平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之差 的绝对值等于常数（小于
F
1
F
2
）的点的轨
迹称为双曲线 ．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
5、双曲线的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上

8

图形

标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率

xy
??1
?
a?0,b?0
?

a
2< br>b
2
x??a
或
x?a
，
y?R

22
yx
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
y??a
或
y?a
，
x?R

22
?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
a
2
x??

c
b
y??x

a
a
2
y??

c
a
y??x

b
准线方程
渐近线方程
6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．
7、设
?
是双曲线上任一点，点
?
到
F
1
对应准线的距离为
d
1
，点
?
到
F
2
对应 准线的距
离为
d
2
，则
?F
1
d
1
?
?F
2
d
2
?e
．
8、平面内与一个定点< br>F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点
F
称
为抛物线的焦点，定直线
l
称为抛物线的准线．
9、抛物线的几何性质：
标准方程
y
2
?2px

y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

?
p?0
?


?
p?0
?


?
p?0
?


?
p?0
?


图形
顶点
?
0,0
?

x
轴
对称轴
y
轴

9

焦点
?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
?
p
?
F
?
?
,0
?

?
2
?
p
??
F
?
0,
?< br>
2
??
p
??
F
?
0,
?
?

2
??
准线方程
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
离心率
e?1

范围
x?0

x?0

y?0

y?0

10、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、< br>?
两点的线段
??
，称为抛物线
的“通径”，即
???2p< br>．
考点：
1、圆锥曲线方程的求解
2、直线与圆锥曲线综合性问题
3、圆锥曲线的离心率问题
典型例题：★★
1．设
O
是坐标原点，
F
是抛物线
y
2
? 2px(p?0)
的焦点，
A
是抛物
uuur
uuur
o< br>线上的一点，
FA
与
x
轴正向的夹角为
60
，则OA
为（ ）
A．
21p

4
B．
21p

2
C．
13
p

6
D．
13
p

36
★★
2．与直线x?y?2?0
和曲线
x
2
?y
2
?12x?12y? 54?0
都相切的半径最小的圆的
标准方程是 ．
★★★
3．（本小题满分14分）
已知椭圆
C
的中心在坐标原点 ，焦点在
x
轴上，椭圆
C
上的点到焦点距离的最大值
为3，最小值为 1．
（1）求椭圆
C
的标准方程；
（2）若直线
l:y?kx? m
与椭圆
C
相交于
A，B
两点（
A，B
不是左右顶 点），且以
AB
为直径的图过椭圆
C
的右顶点．求证：直线
l
过定点，并求出该定点的坐标．



10

圆锥曲线


一．选择题 < br>1．（5分）椭圆的焦点坐标为（﹣5，0）和（5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，
则椭圆的方程为（ ）
A．
+

2．（5分）方程
A． 直线

3．（5分）已知抛物线
心率为（ ）
A．
B．
=1 +=1
C．
+=1
D．
+=1
所表示的曲线是（ ）
B． 椭圆 C． 双曲线 D． 圆
的准线过双曲线的一个焦点，则双曲线的离
B． C． D．

4．（5 分）正方体ABCD_A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD
内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A1
D
1
的距离为，则点P的轨迹是（ ）
A． 两个点 B． 直线 C． 圆 D． 椭圆

5．（5分）给出下列3个命题：
①在平面内， 若动点M到F
1
（﹣1，0）、F
2
（1，0）两点的距离之和等于2，则动 点M的
轨迹是以F
1
，F
2
为焦点的椭圆；
②在平面内， 已知F
1
（﹣5，0），F
2
（5，0），若动点M满足条件：|MF
1
|﹣|MF
2
|=8，则动
点M的轨迹方程是；
③在平面内， 若动点M到点P（1，0）和到直线x﹣y﹣2=0的距离相等，则动点M的轨迹
是抛物线．
上述三个命题中，正确的有（ ）
A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个

6．（5分）已知圆的方程为x
2
+y
2
=4，若抛物 线过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆的切线
为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．


11

7．（5分）设P，Q分别为圆x
2
+（y ﹣6）
2
=2和椭圆
大距离是（ ）
A．
5

+y
2
=1上的点，则P，Q两点间的最
B．
+
C．
7+
D．
6
8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A
1B
1
C
1
D
1
中，E是棱CC
1
的中 点，F是侧面B
1
BCC
1
上的动点，并且A
1
F∥平面A ED
1
，则动点F的轨迹是（ ）
A． 圆


B． 椭圆 C． 抛物线 D． 线段
9．（5分）过抛物线y
2
=4x 焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=8，则直线AB的倾
斜角为（ ）
A． B． C． D．

10．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，与双 曲线x
2
﹣y
2
=1的渐近
线有四个交点，以这四个交点为顶点的四 边形的面积为16，则椭圆C的方程为（ ）
A．
+=1
B．
+=1
C．
+=1
D．
+=1

二．填空题
11．（5分）椭圆
_________ ．

12．（5分）已知实数m是2，8的等比中项，则圆锥曲线

=1的离心率为 _________ ．
+=1与双曲线﹣=1有相同的焦点，则实数m的值是

12

13．（5分）已知下列命题命题：①椭圆中，若a，b，c 成等比数列，则其离心
率；②双曲线x
2
﹣y
2
=a
2（a＞0）的离心率且两条渐近线互相垂直；③在
正方体上任意选择4个顶点，它们可能是每个面都 是直角三角形的四面体的4个顶点；④
若实数x，y∈[﹣1，1]，则满足x
2
+y
2
≥1的概率为

14．（5分）对于圆锥曲线，给出以下结论：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，||﹣||=k，则动点P的轨迹为双曲线；
=（+），则动点P
．其中正确命题的序号是 _________ ．
②过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若
的轨迹为圆；
③方程4x
2
﹣12x+5=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线﹣=1与椭圆+=1有相同的焦点．
⑤椭圆C：+y
2
=1上满足 ?=0的点M有4个（其中F
1
，F
2
为椭圆C的焦点）．
其中正确结论的序号为 _________ （写出所有正确结论的序号）．

15．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F
1
，F< br>2
，
且它们在第一象限的交点为P，△PF
1
F
2
是 以PF
1
为底边的等腰三角形，若|PF
1
|=10，双曲线
的离心 率的值为2，则该椭圆的离心率的值为 _________ ．

三．解答题（共6小题）
16．已知F
1
，F
2
是椭圆C+=1的左，右焦点，以线段 F
1
F
2
为直径的圆与圆C关于直
线x+y﹣2=0对称．
（l）求圆C的方程；
（2）过点P（m，0）作圆C的切线，求切线长的最小值以及相应的点P的坐标．









13

17．已知抛物线y
2
=2px（p＞0） ，焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，
且AB的垂直平分线恒过 定点S（6，0）
①求抛物线方程；
②求△ABS面积的最大值．














18．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面
积为8．
（1）求椭圆的方程；
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆C上，且对角线AC，BD均过坐 标原点O，若k
AC
?k
BD
=
﹣．
①求的范围；
②求四边形ABCD的面积．












14

19．如图，曲线Γ由曲线C
1
：和曲线C
2
：
组成，其中点F
1
，F
2
为曲线C
1
所在圆锥曲线的焦点，点F
3
，F
4
为曲
线C
2< br>所在圆锥曲线的焦点，
（1）若F
2
（2，0），F
3
（﹣6，0），求曲线Γ的方程；
（2）如图，作直线l平行于曲线C
2
的渐近线，交曲线C
1
于点A 、B，求证：弦AB的中点
M必在曲线C
2
的另一条渐近线上；
（3）对于 （1）中的曲线Γ，若直线l
1
过点F
4
交曲线C
1
于点C 、D，求△CDF
1
面积的最大
值．














20．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l
1
：y=2x ，l
2
：y=﹣2x．
（1）求双曲线E的离心率；
（2）如图，O为坐 标原点，动直线l分别交直线l
1
，l
2
于A，B两点（A，B分别在第一、
第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的
双 曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．











15

21．如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方
程为x=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与 直线l相交于点M，记PA，
PB，PM的斜率分别为k
1
，k
2
， k
3
．问：是否存在常数λ，使得k
1
+k
2
=λk
3
？若存在，求λ
的值；若不存在，说明理由．




16