关于高一数学几何数学经典试题

1. 如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA=AB =2a,DC=a,F是BE的中点，
求证：
(1) FD∥平面ABC;
(2) AF⊥平面EDB.
解；(1)取AB的中点M,连FM,MC,
∵ F、M分别是BE、BA的中点 ∴ FM∥EA, FM= EA
∵ EA、CD都垂直于平面ABC ∴ CD∥EA∴ CD∥FM
又 DC=a, ∴ FM=DC ∴四边形FMCD是平行四边形
∴ FD∥MC
FD∥平面ABC
(2) 因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB
又 CM⊥AE,所以CM⊥面EAB, CM⊥AF, FD⊥AF,
因F是BE的中点, EA=AB所以AF⊥EB.
2、已知四棱锥
P-ABCD
(如图所示)的底面为 正方形，点A是点P在底面AC上的射影，
PA=AB=a
，S是PC
上一个动点．
１） 求证：
BD?PC
；（4分）
２） 当
?SBD
的面积取得最小值时,求平面SBD与平面PCD所成二面角的大小．（10分）
1）证明：连接AC．
∵点A是点P在底面AC上的射影,(1分)
∴PA?面AC.(2分)
PC在面AC上的射影是AC.
正方形ABCD中,BD?AC,(3分)
∴BD?PC.(4分)
2)解:连接OS.
∵BD?AC,BD?PC,
又AC、PC是面PAC上的两相交直线,
∴BD?面PAC. (6分)
∵OS?面PAC,
∴BD?OS.(7分)
正方形ABCD的边长为a，BD=
E
D
C
B
F
A
M
P
S
A
B
O
C
P
D
2a
，（8分）
S
A
B
O
C
D
∴?BSD的面积
S
?BSD
BD
g
OSOS
g
2a
??
．（9分）
22
OS的两个端点中，O是定点，S是动点．
∴当
S
?BSD
取得最小值时，ＯＳ取得最小值，即OS?PC．（10分）
∵PC?BD， OS、BD是面BSD中两相交直线，
∴PC?面BSD．（12分）
又PC?面PCD，∴面BSD?面PCD．（13分）
∴面BSD与面PCD所成二面角的大小为90°．（14分）

4、在三棱锥P－ABC中，
AB?
?1? 求二面角P－AC－B的大小；
.
AC
,
?ACB?60
0
,PA = PB = PC,点P到平面ABC的距离为
2
AC．
P
3
?2? 若
AC?a
，求点B到平面PAC的距离．
解 ：?1? 由条件知△ABC为直角三角形，且∠BAC = 90?，
∵
∴
PA = PB = PC，
点P在平面ABC上的射影是△ABC的外心，
B
A
C
即斜边BC的中点E．
取AC中点D，连PD, DE, PE．
∵
∵
PE⊥平面ABC，DE⊥AC ?∵ DE∥AB?,
AC⊥PD．
∴ ∠PDE为二面角P－AC－B的平面角．
33
0
又PE = AC ，DE = AC ，（
Q?ACB?60
）
22
3
PE
∴ tan ∠PDE = =
2
?3
，
DE
3
2
∴ ∠PDE = 60?．
故二面角P－AC－B的大小为60?．
z
P
5. 如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝
22
，M为 BC的
中点.
(Ⅰ)证明：AM⊥PM；
(Ⅱ)求二面角P－AM－D的大小；
(Ⅲ)求点D到平面AMP的距离.
解：(Ⅰ) ∵四边形ABCD是矩形
∴BC⊥CD
∵平面PCD⊥平面ABCD
∴BC⊥平面PCD……………………………2分
而PC
?
平面PCD
∴BC⊥PC
同理AD⊥PD
在Rt△PCM中，PM=
D
M< br>C
P
B
A
D
x
O
C
y
Ａ< br>B
MC?PC?(2)?2?6

2222
P
同理可求PA=
23
，AM=
6
∴
AM
2
?PM
2
?PA
2
…………………… ……5分
D
E
M
∴∠PMA=90°
即PM⊥AM ……………………6分
(Ⅱ)取CD的中点E，连结PE、EM
∵△PCD为正三角形 < br>C
Ａ
B

∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin6 0°=
3

∵平面PCD⊥平面ABCD
∴PE⊥平面ABCD
由(Ⅰ) 可知PM⊥AM
∴EM⊥AM
∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角……………………………8分
∴sin ∠PME=
PE32

??
PM2
6
∴∠PME=45°
∴二面角P－AM－D为45°
7、（本小题满分14分）
在直三棱柱AB C－A
1
B
1
C
1
中，AB=BC=CA=
a，AA
1
=
2a

（I）求AB
1
与侧面CB
1
所成的角；（4分）
（II）若点P为侧棱AA
1
的中点，求二面角P－BC－A的大小；(5分)
（Ⅲ）在（II）的条件下，求点A到平面PBC的距离.
解：（I）取BC中点D,连结AD,B
1
D
∵三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
是直棱柱
∴侧面CB
1
⊥底面ABC,且交线为BC………………1分
∵△ABC为等边三角形∴AD⊥BC,
∴AD⊥面CB
1
∴∠AB
1
D为AB
1
与侧面CB
1
所成的角………2分
在Rt△ADB
1
中 ∵AD=
A
1
B
1
C
1
3
a
，AB
1
＝
AA
1
2
?AB
2
?2a
2
?a
2
?3a

2
P
B
D
A
C
AD1
?
∴∠AB
1
D=
30
o
∴sin∠AB
1
D＝< br>AB
1
2
（II）连结PB,PC,PD,
∵PA⊥底面ABC AD⊥BC
∴PD⊥BC ∴∠PDA为二面角P－BC－A的平面角
2
a
PA6
2
??
在Rt△PAD ∵tan∠PDA＝
AD3
3
a
2
∴∠PDA＝arctan
6
. < br>3
Ⅲ）设点A到平面PBC的距离为h，则由
V
P?ABC
?V
A?PBC
得
S
?ABC
?PA?S
?PBC
?h

∴
h?
S
?ABC
?PA

S
?PBC

∴
S
?PBC
?
15
2
3
2
BC?PD?a
∵
S
?ABC
?a
，
244
3
2
2
a?a
2
?
30
a
. ∴
h?
4
10
5
2
a
4
6、 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：
AO?
平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的大小的余弦值；
（I）证明：连结OC
在
?AOC
中，由已知可得
AO?1,CO?
A
3.
而
AC?2,

O
D
?AO
2
?CO
2
? AC
2
,??AOC?90
o
,
即
AO?OC.

BE
C
QBDIOC?O,
?AO?
平面
BCD

（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
ME∥AB,OE ∥DC

?
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在
?OME
中，
1
QOM
是直角
?AOC
斜边AC上的中线，
?OM?AC?1,

2