数学名师叶中豪高中数学竞赛平面几何讲义完整版

高中平面几何
叶中豪
学习要点
几何问题的转化
圆幂与根轴
P’tolemy定理及应用
几何变换及相似理论
位似及其应用
完全四边形与Miquel点
垂足三角形与等角共轭
反演与配极，调和四边形
射影几何
复数法及重心坐标方法
例题和习题
1．四边形ABCD中，AB=BC，DE⊥AB，CD⊥BC，EF⊥BC，且
sin
?
1
?tan
?
?
?
?
?
?
。 求证：2EF=DE+DC。（）
sin
?
2
2．已知相交两圆O和O'交 于A、B两点，且O'恰在圆O上，P为圆O的AO'B
弧段上任意一点。∠APB的平分线交圆O'于 Q点。求证：PQ
2
=PA×PB。
（ gsp）
3．设三角形ABC的F ermat点为R，连结AR，BR，CR，三角形ABR，BCR，
ACR的九点圆心分别为D，E， F，则三角形DEF为正三角形。（）
4．在△ABC中，已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交 外接圆于D、E，
点A关于D、E的对称点分别为F、G，△ADG和△AEF的外接圆交于A
和另一点P。求证：APBC。（）
5．圆O
1
和圆O
2
相交于A 、B两点，P是直线AB上一点，过P作两圆作切线，
分别切圆O
1
和圆O
2
于点C、D，又两圆的一条外公切线分别切圆O
1
和圆
O
2
于点E，F。求证：AB、CE、DF共点。（）
6．四边形ABCD中，M是AB边中点，且MC= MD，过C、D分别作BC、AD
的垂线，两条垂线交于P点，再作PQ⊥AB于Q。求证：∠PQC= ∠PQD。
（）
7．已知RT△ABD∽RT△ADC，M是BC中点，AD与BC交于E， 自C作AM
垂线交AD于F。求证：DE=EF。（）
8．在△ABC中，AB=AC，D为 BC边的中点，E是△ABC外一点，满足CE⊥
AB，BE=BD。过线段BE的中点M作直线MF⊥ BE，交△ABD的外接圆
的劣弧AD于点F。求证：ED⊥DF。（
2010年女子竞赛）（）
9．设圆I
1
是△ABC的BC边外的旁切圆，D、E、F分别是切点， 若I
1
D与EF
交于P点。求证：AP平分底边BC。（）

10．如图，⊙O切△ABC的边AB于点D，切边AC于点C，M是边BC上一
点，AM交CD于点N ．求证：M是BC中点的充要条件是ON⊥BC。
（）
11．已知：BC是圆上的定弦，而动 点A在圆上运动，M是AC中点，作MP⊥
AB于P。求P点的轨迹。（）
12．△ABC外 接圆为圆O，P为AB上一点，过P分别作OA、OB的垂线，与
AC、BC交于S、T，与AB交于M 、N。求证：PM=MS的充要条件是PN=NT。
（）
13．在ΔABC中AC＞BC，F 是AB的中点，过F作它的外接圆直径DE，使得
C、E在AB同一侧，又过C做AB的平行线交DE于 L。
求证 ：(AC+BC)
2
＝4DL×EF。 （）
14．已知： P是垂直ABC外接圆BC弧上任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥CA于
E，PF⊥AB于F。求证： (BCPD)＝(ACPE)+(ABPF)。（）
15．已知O是△ABC的外心，M是BC边中点 ，D是OM延长线上一点，满足
DO=DB，E、F分别是AB、AC边上的点，满足∠MEA=∠MF A=∠A。求
证：AD⊥EF。（）
16．已知△ABC中，AB＝AC，线段AB上有一点 D，线段AC延长线上有一点
E，使得DE＝AB。线段DE与△ABC的外接圆交于点T，P是线段A T延
长线上的一点。求证：点P满足PD＋PE＝AT的充要条件是P在△ADE的
外接圆上。 （
2000年国家集训队
）（）
17．已知△ABC中，内心I关于BC边中点M的 对称点为I'，S是BC弧（不含
A点）中点，直线SI'交△ABC的外接圆于另一点P。求证：P点 到△ABC
较远的顶点距离等于到另两个顶点距离的和。（）
18．在△ABC外作△DBC∽△ECA∽△FAB，联结AD、BE、CF。
求证：AF+FB+BD+DC+CE+EA≥AD+BE+CF。（）
19．过△ABC内 一点O引三边AB、BC、CA的平行线与其它两边的交点分别
为E、F、G、H、I、K，过O作△A BC的外接圆的弦AL。
求证：OE·OF＋OG·OH＋OI·OK＝OA·OL。（）
20．一小圆内切大圆于点N，BA、BC是大圆的两条弦，且分别切小圆于K、M，
劣弧AB和劣弧B C的中点分别为Q、P，又设△BQK、△BPM外接圆的另
一个交点为B
1
。求证： BPB
1
Q为平行四边形。（）
21．圆O与圆O
1
、圆O
2
同时相切，切点为S、T，圆O
1
与圆O
2
交于A、B两
点，且圆O
2
的圆心恰在圆O
1
上。设公共弦AB延长交圆O于C、D两点 ，
联结SC、SD分别交圆O
1
于P和Q。求证：PQ与圆O
2
相切 。（
40届IMO
）
（）
22．设KL、KN是圆O的切线，M是KN延长 线上一点，过K、L、M三点的
圆与圆O交于P，作NQ⊥LM于Q。求证：∠MPQ=2∠NML。（
98年伊朗竞
赛
）（10081601-5、）（）
23．设△ABC内接 于圆O，过O作OE⊥BC交圆O于E，交AB于F，交AC
延长线于G。过G作圆O的切线GT，T为 切点。求证：TF⊥GE。
（）
24．已知圆O外一点P向圆O作切线PA、PB和一条割线 PEF，M是EF上一
点，联结BM延长交圆O于C。求证：ACPEF的充要条件是M为EF中
点。（.gsp）

25．过点P任作圆O的两条割线PAB、PCD，直线AD与B C交于Q，弦DEPQ，
BE交PQ延长线于M。求证：OM⊥PQ。（）
26．如图，设⊙ O
1
与⊙O
2
交于AB两点。AC是⊙O
2
的切线，交⊙O
1
于C点。
AD是⊙O
1
的切线，交⊙O
2
于D点 。过A任作直线，交⊙O
1
、⊙O
2
及经过
A、C、D三点的圆分别 于M、N、P。求证：AM=NP。（）
27．两圆圆O
1
和圆O
2
相交于M、P，过M作圆O
2
的切线交圆O
1
于A；又过
M作圆O
1
的切线交圆O
2
于B，在直线MP上截取PH=MP。求证：四边形
MAHB内接于圆。（）
28．已知两个半径不等的圆O
1
和圆O
2相交于M、N两点，且圆O
1
和圆O
2
分
别与圆O内切于S、T 两点。求证：OM⊥MN的充要条件是S、N、T三点
共线。（
1997年全国联赛
） （）
29．设以O为圆心的圆经过△ABC的两个顶点A和C，且与边AB、BC分别交
于K 和N，又设△ABC和△KBN的外接圆交于B和另一点M。求证：∠
OMB=90°。 （
1985年IMO
）（）
30．已知：在△OAB与△OCD中，OA=OB，O C=OD，直线AB与CD交于点
P，△PAC与△PBD的外接圆交于P、Q两点。求证：OQ⊥PQ 。（）
31．已知半圆圆心为O，直径为AB，一直线交半圆于C、D，交AB延长线于P，
设M是△AOC与△BOD外接圆除O点外的另一交点。求证：OM⊥MP。
（）
32．凸四 边形ABCD内接于圆O，两组对边所在直线分别交于点E、F，对角线
AC、BD交于G，作GH⊥E F于H，圆O的弦MN经过G点。求证：GH
与圆O交点恰是△HMN的内心。（）
33．⊙ O为△ABC的外接圆，P为劣弧AB上一点，E、F分别为AC、AB延长
线上的点，BE、CF交于 D，PE、PF分别交⊙O于S、R。若AD、BC、RS
共点，求证：点D在⊙O上。（）（） 34．已知：D、E、F分别在△ABC三边上，满足EB＝ED，FC＝FD，O是△
ABC外心 。求证：A、E、O、F四点共圆。（）
35．如图，设N是△ABC的BAC弧中点，M是BC边中 点，I是△ABC的内
心。求证：∠ANI＝2∠IMC。（）
36．设T为△ABC的内切 圆与BC边的切点，D为BC上任一点，I
1
、I
2
分别为
△ABD 、△ACD的内心。求证：T I
1
⊥T I
2
。（）
37．矩形 ABCD中，AB＝
2
AC。P是以为AB直径的半圆上任意一点，PC、
PD分别交 AB于F、E。求证：AE
2
＋BF
2
＝AB
2
。（）
38． AB是圆O的直径，P是过B所作切线上的任一点，过P作圆O的割线
PCE，联结直 线PO分别交AC、AD于E、F。求证：OE=OF。（）
39．自圆O外一点P作切线PA、PB 及割线PCD，自C作PA的平行线，分别
交AB、AD于E、F。求证：CE=EF。（）
40．A为圆O上一点，B为圆外一点，BC、BD分别相切圆O于C、D，DE
垂直AO于E，DE分 别交AB、AC于F、G。求证：DF＝FG。（）
41．P为圆外一点，PA、PD为切线，PCE 为割线。过D作PA的平行线，分
别与AC延长线及线段AE交于B、F。求证：D为BF中点。（）
42．已知P、Q是等腰三角形ABC（AB=AC）内两点，满足∠ABP=∠QCB，
且∠ ACP=∠QBC。求证：A、P、Q三点共线。（）

43．已知锐角△ABC中，A D是高，O是外心，AO的延长线交过O、B、C三
点的圆于P，自P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于 F。求证：DEPF是平行四
边形。（）
44．已知E、F是圆内接四边形ABCD对边AB 、CD的中点，M是EF的中点，
自E分别作BC、AD的垂线，垂足记为P、Q。求证：MP=MQ。 （）
45．AD为△ABC内角平分线，I
1
、I
2
为△ABD、 △ACD的内心，以I
1
I
2
为底向
1
BC边作等腰△E I
1
I
2
，使得∠I
1
EI
2
＝∠BAC 。求证：DE⊥BC。
2
（）
46．已知P是凸四边形内一点，满足∠PAB=∠C AD，∠PCB=∠ACD。求证：
PB=PD的充要条件是ABCD四点共圆。（
2004年 IMO
）（）
（）
47．已知D是△ABC底边BC上任一点，P是形内一点，满足 ∠1=∠2，∠3=
∠4。求证：(PBPC)=(ABAC)。（）
48．已知：D是△A BC的BC中垂线上一点，I
1
、I
2
是△ABD、△ACD的内心，
E是△ABC外接圆弧BAC的中点。求证：A、E、I
1
、I
2
四点共圆 。
（）
49．如图，△ABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆分别与AB、AC交于E、F两点，圆在E、F两点的切线交于点D。
求证：DM⊥BC。（）
50．已 知：⊙O两切线PA、PB和一割线PCD，AD、AP交C处的切线于
E、F，BE交DF于K。求证 ：K在圆O上。（）
51．设⊙O
1
与⊙O
2
交于C、D。过D的 直线交⊙O
1
与⊙O
2
于A、B。点P
在弧AD上，PD与AC的延 长线交于M，Q在弧BD上，QD与BC的延
长线交于N，O为△ABC外心。求证：MN⊥OD是P、 Q、M、N四点共
圆的充要条件。（）
52．设X是P点的Simson线关于△ABC的垂 极点。求证：XP被Simson线
所平分。（）
53．已知：AD是高，O、H是外心和垂 心，过D作OD垂线，交AC于E。
求证：∠DHE=∠C。（）
54．△ABC中，AD为 边BC上的中线，E、F、G分别为AB、AC、AD上的
点，且A、E、G、F四点共圆。设△BDE 外心为O
1
、半径为
r
1
；△CDF
外心为O
2< br>、半径为
r
2
。求证：GO
1
2
＋GO
2< br>2
＝
r
1
2
＋
r
2
2
。（ ）
55．已知P是△ABC内一点，A
1
、B
1
、C
1< br>分别是圆弧BPC、CPA、APB的中点。
求证：P、A
1
、B
1< br>、C
1
四点共圆。（）
56．给定△ABC，D、E、F是边BC、CA、A B上的任意三点，M、N分别是△
BDF、△CDE的外心。P、Q分别是BC、MN上的点，满足(B PPC)=(MQQN)。
AP与⊙AEF相交于R点。求证：（1）QR=QD；（2）∠RQD=2 ∠APC。
（）
57．已知⊙O
1
与⊙O
2
交于C、D两 点，A、B分别是两圆上的点，满足PA
＝PB，E、F是弧AQ、BQ中点。求证：C、D、E、F四 点共圆。（）
58．△ABC中，D、E、F是边BC、CA、AB的中点，X、Y、Z是各边上高的

垂足，EZ与FY交于L，FX与DZ交于M，DY与EX交于N。求证：L、
M、N三点共线。（）
59．设△ABC的内切圆分别与三边切于D、E、F，联结AD交内切圆于另 一点
P，联PB、PE、PF。求证：PFBC的充要条件是∠BPD=∠EPD。
（）
60．已知△ABC和任意直线d，自A、B、C作d的垂线，垂足分别为A'、
B'、C'； 再自A'、B'、C'分别作对边BC、CA、AB的垂线，设这三条垂
线共点于H。在d上任取一个动 点M，自M作d的垂线，分别交AB、
AC所在直线于K、L。在线段BK、CL及HA'延长线上分别 取分点P、Q、
X，满足(BPPK)=(CQQL)=(HA'A'X)。求证：XM⊥PQ。（）
61．已知ABCD是等腰梯形，P是其底边BC上任意一点，E、F两点分别位
于AB、AC 上，满足EB＝EP，FP＝FC。联接EF，并作P点关于EF的轴
对称点Q。求证：DQ⊥PQ。（ ）
62．设D、E分别为△ABC的边AB、BC上的点，P是△ABC内一点，且PE
＝P C，△DEP∽△PCA。求证：BP是△PAD的外接圆的切线。
（）
63．在凸四边形A BCD中，∠DCA与∠CDB的外角平分线分别是边CB与DA，
E、F分别为AC、BD的延长线上 的点，且C、E、F、D四点共圆。平面
上的一点P使得DA是∠PDE的外角平分线，CB是∠PCF 的外角平分线。
边AD与BC所在直线交于点Q。求证：点P在边AB上的充分必要条件
是点Q 在线段EF上。（）
64．平面上有四个点A
1
、A
2
、A
3
、A
4
，其中任意三个点都不在一条直线上。
并且它们满足：A
1
A
2
×A
3
A
4
＝A
1
A3
×A
2
A
4
＝A
1
A
4
× A
2
A
3
。对于任意｛i，j，
k，l｝＝｛1，2，3，4｝，我 们设O
i
为△A
j
A
k
A
l
的外心。若对 于1≤i≤4均
有A
i
≠O
i
，证明：四条直线A
i
O
i
平行或共点。（）
65．圆O
1
和圆O
2
相交于P、Q两点，AB是两圆的外公切线，BP、AP分别交
另一圆于C、D，直线AC、BD交于X 点，过X、A、B三点的圆与过X、
C、D三点的圆交于另一点M。求证：∠MBX=∠MQP。（）
66．在任意△ABC的BC边下方取D点，满足∠ABD＝∠ACD＝120°，并作
正三角 形EBC。求证：△ABC的Euler线平行于DE。（）
67．已知M、N是四边形ABCD对边 AD、BC上任意两点，E、F是对边AB、
CD上两点，满足(AEEB)=(CFFD)=(AMM D)*(CNNB)，AN、BM交于P，
CM、DN交于Q。求证：PQEF。（）